Introduction la Théorie des En sembles et nombres cardinaux

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mémoire

exposé - matière potentielle : complet sur la définition des nombres car - dinaux

Introduction à la Théorie des En- sembles et nombres cardinaux. Antoine Blanchon Printemps 2009 Travail effectué dans le cadre optionnel des TIPE de l'université Lyon 1 et sous la direction de M.Altinel de l'Institut Camille Jordan.

nombres ordinaux

ensembles finis

fondement

révolution- naire dans le sens

mathématiques modernes

travaux d'initiative personnelle

crise des fondements mathématiques au coeur

cadre de la théorie

point unique

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Introduction à la Théorie des En-sembles et nombres cardinaux.

Antoine Blanchon

Printemps 2009

Travail eﬀectué dans le cadre optionnel des TIPE de l’université Lyon 1 et sous la direction de M.Altinel de l’Institut Camille Jordan.

Table des matières

Introduction 1 Les fondements 1.1 Langage de la Théorie des ensembles et notion de propriétés . . . 1.2 Les Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notions et déﬁnitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nombres Naturels 2.1 Introduction aux nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés des nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le théorème de récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Premières classiﬁcations des ensembles 3.1 Cardinalité des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ensembles ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ensembles indénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Déﬁnitions alternatives à la ﬁnitude, Dedekind inﬁni . . . . . . . 4 Nombres Ordinaux 4.1 Ensembles bien-ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nombres ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Induction et récursion transﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Arithmétique des ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Nombres Cardinaux 5.1 Alephs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Arithmétique des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie et remerciements

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