Introduction aux courbes hyperelliptiques en cryptologie
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Niveau: Supérieur
Introduction aux courbes hyperelliptiques en cryptologie Andreas Enge INRIA Futurs et Ecole polytechnique, Palaiseau Les courbes hyperelliptiques ont ete suggerees pour la cryptographie peu apres les courbes elliptiques [7]. En effet, la Jacobienne d'une courbe hyperel- liptique sur un corps fini etant un groupe abelien fini, tous les schemas cryp- tographiques se fondant sur le probleme du logarithme discret se transposent aisement dans le contexte des courbes hyperelliptiques. Pour l'exploitation d'une classe de courbes algebriques en cryptographie, un certain nombre de problemes doivent etre resolus : – le groupe sousjacent doit etre represente explicitement sur ordinateur, et son arithmetique doit etre rendue explicite ; – la difficulte du probleme du logarithme discret dans le groupe doit etre etudiee ; – il faut etre capable de determiner le cardinal du groupe, d'une part parce qu'il influe sur la difficulte du probleme du logarithme discret, d'autre part parce que certains schemas cryptographiques en ont besoin. Faute de temps, nous n'allons pas traiter le dernier point, qui demande le plus de connaissances en geometrie algebrique. Arithmetique de Jacobiennes Une courbe hyperelliptique de genre g sur un corps K est donnee par une equation du type Y2 + h(X)Y = f(X) avec h ? K[X] de degre au plus g et f ? K[X] unitaire de degre 2g + 1.
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Introduction aux courbes hyperelliptiques en cryptologie Andreas Enge INRIA Futurs et Ecole polytechnique, Palaiseau Les courbes hyperelliptiques ont ete suggerees pour la cryptographie peu apres les courbes elliptiques [7]. En effet, la Jacobienne d'une courbe hyperel- liptique sur un corps fini etant un groupe abelien fini, tous les schemas cryp- tographiques se fondant sur le probleme du logarithme discret se transposent aisement dans le contexte des courbes hyperelliptiques. Pour l'exploitation d'une classe de courbes algebriques en cryptographie, un certain nombre de problemes doivent etre resolus : – le groupe sousjacent doit etre represente explicitement sur ordinateur, et son arithmetique doit etre rendue explicite ; – la difficulte du probleme du logarithme discret dans le groupe doit etre etudiee ; – il faut etre capable de determiner le cardinal du groupe, d'une part parce qu'il influe sur la difficulte du probleme du logarithme discret, d'autre part parce que certains schemas cryptographiques en ont besoin. Faute de temps, nous n'allons pas traiter le dernier point, qui demande le plus de connaissances en geometrie algebrique. Arithmetique de Jacobiennes Une courbe hyperelliptique de genre g sur un corps K est donnee par une equation du type Y2 + h(X)Y = f(X) avec h ? K[X] de degre au plus g et f ? K[X] unitaire de degre 2g + 1.
- hyperelliptic curves
- courbe elliptique
- logarithmes discrets
- small genus
- corps fini
- complexite sousexponentielle
Topologie et Calcul Di¤érentiel (F. Rouvière) Résumé de cours 2004-2005 (cours fait en 12 amphis de 2 heures, un horaire clairement insu¢ sant)
I ESPACES MÉTRIQUES
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