Introduction a la Cryptologie Chapitre Classification et construction des corps finis

Introduction a` la Cryptologie
Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Annee´ 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis a` jour le 7 juillet 2009
INSTITUTi f FOURIER
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours#cryptoIls sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.pn
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.
Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .Le dev´ eloppement choisi ici explicitera comment construire concretement` un
ncorps de cardinalp donne´ puis comment l’implementer´ sur ordinateur.
Objectifs de ce chapitre
Les corps finis sont une des plus belles structures algebr´ iques.
Ils sont a` la base de nombreuses applications algorithmiques,
notamment en cryptographie et en codage de l’information.
´ `Nous connaissons deja le corpsF =Z=pZ ou` p est un nombre premier.p
Ce chapitre etab´ lit d’abord la classification de tous les corps finis :
n
1 Tout corps fini est de cardinalp ou` p est premier etn 1.
n
2 Pour tout tel couple (p;n) il existe un corps de cardinalp .
3 Deux corps finis de memeˆ cardinal sont isomorphes.
Ce superbe resultat,´ duˆ a` Galois, est un bijou de l’algebre` du 19e siecle` .
Pour le rendre effectif sur ordinateur, il faut neanmoins´ etreˆ plus explicite.