Introduction a la Cryptologie Chapitre Classification et construction des corps finis

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Michael Eisermann

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Niveau: Supérieur, Master
Introduction a la Cryptologie Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Annee 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis a jour le 7 juillet 2009FOURIERINSTITUTfi www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours _ crypto 1/32

isomorphisme de groupes exp?

corps de cardinal pn

caracterisation des polynomes irreductibles sur fp corps

unicite du corps de cardinal pn

corps fini

Voir

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Corps fini

Introduction`alaCryptologie Chapitre 11 : Classiﬁcation et construction des corps ﬁnis

Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)

Anne´ e 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2

document mis a` jour le 7 juillet 2009

www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto

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Objectifs de ce chapitre

Les corps ﬁnis sont une des plus belles structures alge´ briques. Ils sont `a la base de nombreuses applications algorithmiques, notamment en cryptographie et en codage de l’information.

Nous connaissons de´ j `a le corpsFp=Z/pZou`pest un nombre premier. Cechapitre´etablitd’abordlaclassiﬁcationde tous les corps ﬁnis : 1Tout corps ﬁni est de cardinalpn`oupest premier etn≥1. 2Pour tout tel couple(p n)il existe un corps de cardinalpn. 3inﬁsprocxueDalinrdcameˆeemsdrohpse.ostnsimo

Cesuperber´esultat,dˆua`Galois,estunbijoudel’alge`bredu19esie`cle. Pourlerendreeffectifsurordinateur,ilfautne´anmoinsˆetreplusexplicite. Le de´ veloppement choisi ici explicitera commentconstruirentmete`ercnoc un corps de cardinalpndonne´ puis commentl’imple´ mentersur ordinateur.

Litt´eraturepourallerplusloin: Lidl & Niederreiter,Finite Fields, Cambridge 1997. Gathen & Gerhard,Modern Computer Algebra, Cambridge 1999.

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Sommaire

Structure d’un corps ﬁni Sous-corps premier et cardinal d’un corps ﬁni Automorphismes d’un corps ﬁnis Sous-corps d’un corps ﬁni

Unicit´educorpsdecardinalpn Caracte´risationdespolynoˆmesirr´eductiblessurFp re Corpsﬁnisetpolynˆomesir´ductiblessurFp Unicite´ du corps de cardinalpn