Introduction a la Cryptologie Chapitre Arithmetique des nombres entiers

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Michael Eisermann

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Niveau: Supérieur, Master
Introduction a la Cryptologie Chapitre 2 : Arithmetique des nombres entiers Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Annee 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis a jour le 7 juillet 2009FOURIERINSTITUTfi www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours _ crypto 1/41

numeration romaine

arithmetiques

fourierinstitutfi www-fourier

division euclidienne des entiers

cout en temps et en memoire

etablir des algorithmes pour les operations arithmetiques

Voir

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Numération romaine

Introduction`alaCryptologie Chapitre2:Arithm´etiquedesnombresentiers

Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)

Anne´ e 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2

document mis a` jour le 7 juillet 2009

www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto

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Objectifs

Questions de base : 1Qu’est-ce que les nombres entiers ? 2Comment les implementer sur ordinateur ? ´

D´eveloppementmathe´matique: Retracer le fondement axiomatique. De´ﬁnirlesop´erationsarithme´tiquesete´tablirleurspropri´ete´s. Introduire notamment la division euclidienne des entiers.

De´ veloppement algorithmique : Lanume´rationpositionnelleestunerepr´esentationefﬁcace. ´ Etablirdesalgorithmespourlesope´rationsarithm´etiques. Estimerleurcomplexite´:coˆutentempsetenm´emoire.

2/41

Sommaire

Remarques historiques

Langage mathematique ´

Les nombres naturelsN

Imple´ mentation artisanale

Les nombres entiersZ

Impl´ementationsprofessionnelles

/314

Qu’est-ce que les nombres naturels ?

Nume´ ration romaine utilise´ e jusqu’au moyen aˆ ge :

I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X, . . .

Num´erationindo-arabeutilis´eedenosjours:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, . . .

Quatreop´erationsarithm´etiques:

DXXXVII537 +LXXIX+79 DMXVI616

XLIII43 ×LXXIX×79 MMMXXXIIIX3397

MMVIII2008 −LXXIX−79 MCMXXIX1929

MMMXXXIIIX3397 ÷LXXIX÷79 XLIII43

Ceci n’est pas uneﬁnitd´eoin: il ne s’agit qued’exemples.

/414

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