Introduction a la Cryptologie Chapitre Anneaux et corps

Introduction a` la Cryptologie
Chapitre 8 : Anneaux et corps
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Annee´ 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis a` jour le 7 juillet 2009
INSTITUTi f FOURIER
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours#cryptoSommaire
1 Anneaux et corps
2 Morphismes d’anneaux et de corps
3 Ideaux´ et anneaux quotients
4 ExercicesSommaire
1 Anneaux et corps
Definitions´ et exemples
Diviseurs de zero´ , anneaux integ` res
Le groupe des el´ ements´ inversibles
2 Morphismes d’anneaux et de corps
´3 Ideaux et anneaux quotients
4 ExercicesOn dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :
D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :
´(A1 : associativite) 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)
´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a
(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =a
(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0
Ensuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :
´(A1 : associativite) 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)
´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a
(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =a
(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0
Ensuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.
On dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :´(A1 : associativite) 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)
´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a
(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =a
(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0
Ensuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.
On dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :
D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a
(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =a
(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0
Ensuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.
On dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :
D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :
(A1 : associativite)´ 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =a
(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0
Ensuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.
On dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :
D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :
(A1 : associativite)´ 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)
´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0
Ensuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.
On dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :
D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :
(A1 : associativite)´ 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)
´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a
(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =aEnsuite on exige que la multiplication soit distributive sur l’addition :
(D : distributivite)´ 8a;b;c2A : a (b +c) = (ab) + (ac)
Finalement on exige que (A ;) soit un groupe abelien,´ ou` A =Arf0g :
´(M1 : associativite) 8a;b;c2A : (ab)c =a (bc)
(M2 : commutativite)´ 8a;b2A : ab =ba
(M3 : el´ ement´ neutre) 912A 8a2A : 1a =a
(M4 : el´ ement´ inverse) 8a2A 9b2A : ab = 1
Pour un anneau (A; +;) on n’exige que (A1–A4), (D) et (M1).
Un anneau est commutatif s’il ver´ ifie (M2), et unitaire s’il ver´ ifie (M3) :
Dans la suite nous dirons« anneau» pour« anneau commutatif unitaire».
Anneaux et corps
SoitA un ensemble muni de deux oper´ ations +;: AA!A.
On dit que (A; +;) est un corps s’il ver´ ifie aux axiomes suivants :
D’abord on exige que (A; +) soit un groupe abelien´ :
(A1 : associativite)´ 8a;b;c2A : (a +b) +c =a + (b +c)
´(A2 : commutativite) 8a;b2A : a +b =b +a
(A3 : el´ ement´ neutre) 902A8a2A : 0 +a =a
(A4 : el´ ement´ oppose)´ 8a2A9b2A : a +b = 0