Introduction a l'analyse numerique TD5 Matrices
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD5. Matrices. 1 Decomposition LU d'une matrice tridiagonale. Soit (a1, . . . , an) ? Rn, (b1, . . . , bn?1) ? Rn?1, (c1, . . . , cn?1) ? Rn?1 etA = (ai,j)1≤i,j≤n definie par ?i ? J1, nK, aii = ai, ?i ? J1, n? 1K, ai,i+1 = bi, ?i ? J2, nK, ai,i?1 = ci et aij = 0 sinon. Pour k ? J1, nK, on pose ?k = det(aij)1≤i,j≤k. 1. Etablir une relation de recurrence sur les ?k. 2. On suppose que tous les ?k sont non-nuls. Etablir l'existence d'une decomposition de A sous la forme LU : A = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 · · · 0 l1 1 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · ln?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 b1 0 · · · 0 0 ?2 ?1 b2 · · · 0 .
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Introduction a l'analyse numerique, TD5. Matrices. 1 Decomposition LU d'une matrice tridiagonale. Soit (a1, . . . , an) ? Rn, (b1, . . . , bn?1) ? Rn?1, (c1, . . . , cn?1) ? Rn?1 etA = (ai,j)1≤i,j≤n definie par ?i ? J1, nK, aii = ai, ?i ? J1, n? 1K, ai,i+1 = bi, ?i ? J2, nK, ai,i?1 = ci et aij = 0 sinon. Pour k ? J1, nK, on pose ?k = det(aij)1≤i,j≤k. 1. Etablir une relation de recurrence sur les ?k. 2. On suppose que tous les ?k sont non-nuls. Etablir l'existence d'une decomposition de A sous la forme LU : A = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 · · · 0 l1 1 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · ln?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 b1 0 · · · 0 0 ?2 ?1 b2 · · · 0 .
- x? x¯
- matrice tridiagonale
- nom de la methode
- solution x¯ du systeme lineaire
- point de depart x0
- algorithme de resolution des systemes lineaires
- methode de la puissance
- ?k
Introduction`al’analysenum´erique,TD5. Matrices.
1De´compositionLUd’une matrice tridiagonale. n n−1n−1 Soit (a1, . . . , an)∈R, (b1, . . . , bn−1)∈R, (c1, . . . , cn−1)∈RetA= (ai,j)1≤i,j≤n de´finiepar∀i∈J1, nK, aii=ai,∀i∈J1, n−1K, ai,i+1=bi,∀i∈J2, nK, ai,i−1=cietaij= 0 sinon. Pourk∈J1, nK, on poseδk= det(aij)1≤i,j≤k. ´ 1.Etablirunerelationder´ecurrencesurlesδk. ´ 2. Onsuppose que tous lesδk-nontnosnoipmoctisoneecixtsdee´’dnu.Etnulsrl’eabli deAsous la formeLU: b0∙ ∙ ∙0 δ1 1 1 00∙ ∙ ∙0δ 2 0b2∙ ∙ ∙0 l11 0∙ ∙ ∙0δ 1 . .. . . .. . A. ..= . . .. . .. . ..b n−1 δn 0 0∙ ∙ ∙ln−11 0 00∙ ∙ ∙ δn−1 3.Calculerlesd´eterminantsδktion´dalteisopmoceLUquand elle existe, dans le cas o`u: ∀i∈J1, nK, aii= 2b;∀i∈J1, n−1K, bi=ci=−1. 4.De´duiredelaquestion2uneme´thodesimpleder´esolutiondesyste`mesline´aires danslecaso`ulamatriceintervenantesttridiagonale.Calculerlacomplexite´decet algorithme. Remarquedte´pnueerqromtn:Onolaueecd´poomtisiLUexiste pour toute matrice in-versible telle que lesδkondeluti´esoedertimhglrolia’iasnselira´eeng´ons,lunnonsuottnoss syste`mesline´airespropos´epr´ec´edemment.Cetalgorithmeestparticuli`erementint´eressant quandonaplusieurssyste`mesline´airesa`re´soudre,faisanttousintervenirlamˆemematrice.
2M´ethodedelapuissance Lam´ethodedelapuissancepermetd’approcherlavaleurpropredeplusgrandmodule pourunematricedonne´e.OnprenddoncM∈Mn(C) et on suppose queMa une seule n valeur propre de plus grand module, que l’on noteλ. On prendk ∙ kune norme surCet k 0n kk+1M x x∈Crolatinfie´dnO.sxrencecurarr´:epx=k. On noteρ(M) =|λ|. kM xk
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