Introduction a l'analyse numerique TD1 Autour du point fixe

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ondey

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD1. Autour du point fixe. 1 Attraction – repulsion – super-attraction. Soient F : I ? R de classe C1 sur un intervalle ouvert I, et a ? I un point fixe de F . 1. On suppose |F ?(a)| < 1. Montrer qu'il existe un intervalle ferme J de centre a, stable par F , et etudier la suite recurrente : xn+1 = F (xn), x0 ? J . 2. Sous les conditions de 1., on suppose de plus que F ? ne s'annule pas sur J . Montrer que si x0 6= a on a xn 6= a pour tout n et xn+1 ? a ? F ?(a)(xn ? a) pour n ? ∞ (convergence d'ordre un). 3. Sous les conditions de 1., on suppose maintenant que F est de classe C2, que F ?(a) = 0 et que F ?? ne s'annule pas sur J . Montrer que si x0 ? J et x0 6= a on a xn 6= a pour tout n et xn+1 ? a ? F ??(a) 2 (xn ? a) 2 pour n?∞ (convergence d'ordre deux). 4. On suppose enfin |F ?(a)| > 1.

norme quelconque sur rm

application iteree

x0 ?

rm de classe c1

systeme differentiel

recherche de solutions approchees

solution unique

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Introduction`al’analysenum´erique,TD1. Autour du point ﬁxe.

1Attraction–r´epulsion–super-attraction. 1 SoientF:I→Rde classeCsur un intervalle ouvertI, eta∈Iun point ﬁxe deF. 0 1. Onsuppose|F(a)|<vrlanietetnuxesirm´eleferqreilu’1.ntMoJde centrea, stable parFcu´eenrr:tete,eritsulaerditu´exn+1=F(xn), x0∈J. 0 2. Sousles conditions de 1., on suppose de plus queFne s’annule pas surJ. Montrer 0 que six06=aon axn6=apour toutnetxn+1−a∼F(a)(xn−a) pourn→ ∞ (convergence d’ordre un). 20 3. Sousles conditions de 1., on suppose maintenant queFest de classeC, queF(a) = 0 00 et queFne s’annule pas surJ. Montrer que six0∈Jetx06=aon axn6=apour 00 F(a) 2 toutnetxn+1−a∼(xn−a) pourn→ ∞(convergence d’ordre deux). 2 0 4. Onsuppose enﬁn|F(a)|>e´mrefellaqr’utner.1oMtervuninisteilexJde centrea tel que pourx0∈J, x06=al,saiuetnter´ecurrexnsort deJ.

2 Newtonet la super-attraction. 2 Soitf: [c, d]→Rune fonction de classeC. On supposefc < d,(c)<0< f(d) et 0 f(x)>0 pour toutx∈[c, dtneelasuiter´ecurre]cnO.isnore`dxn+1=F(xn), n≥0 avec f(x) F(x) =x−0. f(x) 1. Montrerquefinuqreuonu´zeaa. Montrer que pour toutx∈[c, d], il existezentre 00 f(z) 2 aetxtel queF(x)−a=0(x−a) . 2f(x) 2 2.D´eduirede1.qu’ilexisteC >0 tel que|F(x)−a| ≤C|x−a|pour toutx∈[c, d] et qu’il existeα >0 tel que l’intervalleI= [a−α, a+α] soit stable parF. Montrer enﬁn que, pour chaquex0∈I, la suitexna une convergence d’ordre 2 versa. 00 3. Onsuppose de plusf(x)>0 pour toutx∈[c, des2.t]rertnoM.´eerelqudeatltsu valable avec l’intervalleI= [a, d], que la suitexntsirtcmeseatolsrteanssoicr´etden 00 f(a) 2 2 ou constante, et qu’on a 0≤xn+1−a≤C(xn−a) etxn+1−a∼0(xn−a) 2f(a) quandn→ ∞pposepo;ceur´tqeiuaveltnnousx0> a. 2 4.Exemple: on ﬁxey >0 et on prendf(x) =x−yiondelat.Reduere´oslsralaro √ r´ecurrenceetdonneruneestimationdel’erreur|xn−a|aveca=y. Astuce: On pourra montrer que les nombres (xn−a)/(xn+atuenrenev´)iﬁeritalno dere´currencesimple.

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