INTERFACES DE L'INCOMPLETUDE
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Niveau: Supérieur
INTERFACES DE L'INCOMPLETUDE GIUSEPPE LONGO CNRS, DEPARTEMENT D'INFORMATIQUE, ECOLE NORMALE SUPERIEURE ET CREA, POLYTECHNIQUE, Table des matieres Introduction 1 1. De Laplace a Poincare 2 2. De la geometrie a la logique 7 3. De Hilbert a Godel 9 3.1. ... en passant par Poincare et Weyl 11 3.2. L'arithmetique, un absolu 13 4. Le Theoreme 14 4.1. Et la « verite » ? 19 5. Poincare vs. Godel 22 5.1. Turing : des sytemes formels aux dynamiques continues 25 6. Einstein et la these de l'incompletude de la Mecanique Quantique 28 7. L'incompletude mathematique des theories formelles 31 7.1. Vers les fondements cognitifs de l'induction 34 8. L'information et les codages dans la cellule 37 References 41 Introduction Le theoreme d'incompletude de Godel de 1931 n'est pas seulement un grand resultat de la Logique Mathematique, mais il peut aussi devenir le point de depart d'une reflexion qui depasse les Mathematiques et la question de leurs fondements pour les relier a des problemes et des methodes d'autres disciplines. C'est a la lumiere de celui-ci que nous nous livrerons a une « histoire critique des idees », c'est- a-dire une relecture explicitement a posteriori de certains moments de la pensee scientifique moderne ; ces moments ou l'audace des propositions de connaissance se sont heurtees a des problemes qu'on demontre insolubles et a des resultats negatifs ou limitatifs.
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INTERFACES DE L'INCOMPLETUDE GIUSEPPE LONGO CNRS, DEPARTEMENT D'INFORMATIQUE, ECOLE NORMALE SUPERIEURE ET CREA, POLYTECHNIQUE, Table des matieres Introduction 1 1. De Laplace a Poincare 2 2. De la geometrie a la logique 7 3. De Hilbert a Godel 9 3.1. ... en passant par Poincare et Weyl 11 3.2. L'arithmetique, un absolu 13 4. Le Theoreme 14 4.1. Et la « verite » ? 19 5. Poincare vs. Godel 22 5.1. Turing : des sytemes formels aux dynamiques continues 25 6. Einstein et la these de l'incompletude de la Mecanique Quantique 28 7. L'incompletude mathematique des theories formelles 31 7.1. Vers les fondements cognitifs de l'induction 34 8. L'information et les codages dans la cellule 37 References 41 Introduction Le theoreme d'incompletude de Godel de 1931 n'est pas seulement un grand resultat de la Logique Mathematique, mais il peut aussi devenir le point de depart d'une reflexion qui depasse les Mathematiques et la question de leurs fondements pour les relier a des problemes et des methodes d'autres disciplines. C'est a la lumiere de celui-ci que nous nous livrerons a une « histoire critique des idees », c'est- a-dire une relecture explicitement a posteriori de certains moments de la pensee scientifique moderne ; ces moments ou l'audace des propositions de connaissance se sont heurtees a des problemes qu'on demontre insolubles et a des resultats negatifs ou limitatifs.
- systeme solaire
- geometrie des systemes dynamiques
- mouvement
- xixe siecle
- a3 tours dans le sens horaire
- temps au temps
- lancer du pre- mier
- double physique
´ INTERFACES DE L’INCOMPLETUDE
GIUSEPPE LONGO ´ ´ ´ CNRS, DEPARTEMENT D’INFORMATIQUE, ECOLE NORMALE SUPERIEURE ET CREA, POLYTECHNIQUE, HTTP://WWW.DI.ENS.FR/USERS/LONGO/
Tabledesmati`eres Introduction 1 1.DeLaplacea`Poincar´e2 2.Delage´ome´trie`alalogique7 3.DeHilbert`aGo¨del9 3.1....enpassantparPoincar´eetWeyl11 3.2.L’arithm´etique,unabsolu13 4.LeThe´ore`me14 4.1. Et la«e´tire´v»? 19 5.Poincar´evs.Go¨del22 5.1.Turing:dessyt`emesformelsauxdynamiquescontinues25 6.Einsteinetlath`esedel’incomple´tudedelaMe´caniqueQuantique28 7.L’incompl´etudemath´ematiquedesthe´oriesformelles31 7.1. Vers les fondements cognitifs de l’induction 34 8. L’information et les codages dans la cellule 37 Refe´rences41 ´
Introduction Lethe´ore`med’incomple´tudedeGo¨delde1931n’estpasseulementungrand r´esultatdelaLogiqueMathe´matique,maisilpeutaussidevenirlepointdede´part d’uner´eflexionquid´epasselesMathe´matiquesetlaquestiondeleursfondements pourlesrelier`dsproble`mesetdesme´thodesd’autresdisciplines.C’esta`la a e lumie`redecelui-ciquenousnouslivrerons`aune«is´deestiqieuedoistcrrehi», c’est-a`-direunerelectureexplicitementa posteriorinsaimemodertce´sneeedstnpale scientifiquemoderne;cesmomentsou`l’audacedespropositionsdeconnaissance sesontheurte´es`adesprobl`emesqu’ond´emontreinsolubleset`adesr´esultats ne´gatifsoulimitatifs.Cesderniersontcependantouverta`leurtourdenouveaux horizonsausavoir.Nousre´fl´echironsdonca`certainsgrandsparadigmespourleur Original en italien dans “La Matematica” vol. 4, Einaudi, settembre 2010 (traduction en franc¸aispour“LesMath´ematiques”,EditionsduCNRS,2011). 1
2 GIUSEPPE LONGO trouverunaspectcommundansleursdomainesrespectifs—l’incompl´etudeen l’occurrence,danssesdiff´erentssens.Nousverronscommentonl’ade´montreeet, ´ parfois,de´pass´ee.L’analysed´etaille´e,bienqu’informelle,duth´eor`emedeGo¨delet d’unere´flexiondeTuringneconstitueradoncqu’un´ele´mentdecetexte.On´elargira notregrilledelecture—en´evitant,esperons-le,desabusetdescontaminations ´ impropres—auxanalysesscientifiquesete´pist´emologiquesdeLaplaceet`ala limite que leur pose le gr d«`´tagethf´ie»altil’ilpeap,c´emeomioPeracnd an oreme n lui-mˆeme.Nouscontinueronsaveclesthe`sesd’Einsteinsurla«npclnoomtu´ede» delaMe´caniqueQuantique,selonletermeemploy´edansletr`esce´l`ebrearticlequi analysecettenotion,´ecritencollaborationavecPodolskietRosen.Nousparlerons enfindelacompletudesuppose´edesdescriptionsmole´culairesenBiologie,c’est-´ a`-diredel’ADNvucommelieudel’informationhe´re´ditaireetcommeprogramme completdel’ontoge´n`ese.
1.Paiocnrae´DeLaplace` PourLaplace(1749-1827),ilfautchercherl’unit´edelame´thode(etdel’Univers) doncl’identite´entrelesloisphysiquesa`l’e´chelledenotreperceptionetlesloisqui r´egissentlesparticulesmicroscopiques.Touslesphe´nome`nesobservablessontre´-ductibles`al’ontologiee´le´mentaireetsous-jacentedelamatie`re,dumouvementet delaforce.Et`aceniveau-l`a,touteanalysedoitsebasersurlapossibilite´d’isoler, math´ematiquement,uneseuleparticule´el´ementaireetd’end´ecrirelemouvement. Elledoitensuitereconstruire,graˆcea`desop´erationsd’inte´grationmath´ematique, l’expressiondelaloid’interactiona`distancedanslessyst`emesdeparticules.L’ana-lysedessyste`mesplane´tairesdoitaussiavancerparcompositionprogressivedes mouvementsindividuelspourarriver`alacompr´ehensiondu«e`emysts»comme sommedescomportementsindividuelsetdeleursinteractions,deuxa`deux,trois a`trois.... Cettere´ductionm´ecanisteestintimementli´ee,pourLaplace,a`lastructuredela de´terminationdetouslese´v´enementsphysiques.PourlesgrandsnomsdelaPhy-sique entre XVIIIeet XIXeveointeltisdleid´ffreneuqtaoisnemesd’´elessyst`,elce`is pouvoirde´criretouslesphe´nome`nesphysiquesimportants,enpartantdeladescrip-tionetl’inte´grationdesmouvementsindividuels.Enparticulier,lesloisphysiques souslaformed’aborddese´quationsdeLagrange,puisdeHamilton,doiventpou-voirexprimerlade´terminationdetoutmouvement,toutetrajectoire,donctout e´v´enementphysique,delameˆmemanie`requelesloisdeNewton-Laplacede´ter-minentl’´evolutiondescorpsce´lestesdanslechampgravitationnel.Etc’estcette d´eterminatione´quationellesquipermetlesrpe´nosivisede´tidis,esurquimavalentl propositionsth´eoriques,aucœurdesrapportsentreexpe´rienceetth´eorie:onob-serve,onthe´orise(parexemple,on´ecritlese´quationsquilientlesactionsetles forcesobserv´ees),onpre´voitl’e´volutiondusyst`emegraˆceacesequationsetenfin ` ´ onconfrontecespr´evisionsauxnouvellesobservations.L’efficacit´edepre´visionest lebutmeˆmedelaformalisationmath´ematique.
