Integration et probabilites cours exercices corriges
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Integration et probabilites (cours + exercices corriges) L3 MASS, Universite de Nice-Sophia Antipolis 2009-2010 Sylvain Rubenthaler
- lois continues
- calcul des probabilites et en analyse
- stabilite de la mesurabilite par passage
- fonctions mesurables
- lemme de borel-cantelli
- convergence de variables aleatoires
- ensembles denombrables
- theoremes de fubini
Int´egration et probabilit´es
(cours + exercices corrig´es)
L3 MASS, Universit´e de Nice-Sophia Antipolis
2009-2010
Sylvain RubenthalerTable des mati`eres
Introduction iii
1 D´enombrement (rappels) 1
1.1 Ensembles d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
´1.2.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Th´eorie de la mesure 5
2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Int´egrales des fonctions ´etag´ees mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Fonctions mesurables et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Int´egrales des fonctions mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Int´egrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11
2.5 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
´2.6.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Ensembles n´egligeables 17
4 Th´eor`emes limites 21
4.1 Stabilit´e de la mesurabilit´e par passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Th´eor`emes de convergence pour les int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
´4.4.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Mesure produit et th´eor`emes de Fubini 33
5.1 Th´eor`emes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
´5.3.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 41
6.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Esp´erance d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 Lois discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.6 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
´6.7.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.7.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Variables ind´ependantes 59
7.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
´7.1.1 Ev´enements et variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.2 Densit´es de variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Somme de deux variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
´7.4.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Convergence de variables al´eatoires 71
8.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3 Th´eor`eme central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
´8.4.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Conditionnement 83
9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
´9.3.1 Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Variables gaussiennes 89
10.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Gaussiennes et esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A Table de la loi normale 93Introduction
Le but de ce cours est d’introduire les notions de th´eorie de la mesure qui seront utiles
en calcul des probabilit´es et en analyse. Il est destin´e aux ´etudiants qui veulent poursuivre
leurs ´etudes dans un master `a composante math´ematique. Pour un cours plus complet, se
reporter `a la bibliographie.
Informations utiles (partiels, barˆemes, annales, corrig´es, ...) :
http ://math.unice.fr/∼rubentha/cours.html.
´PREREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l’´etudiant doit connaˆıtre, entre autres, les
d´eveloppementslimit´es,les´equivalents,les´etudes de fonction, led´enombrement,lesnombre
complexes, la th´eorie des ensembles., les int´egrales et primitives usuelles, la trigonom´etrie
...etc ...
iiiChapitre 1
D´enombrement (rappels)
1.1 Ensembles d´enombrables
D´efinition 1.1.1. Injection.
Soit E,F des ensembles, f :E →F est une injection si ∀x,y∈E, f(x) =f(y)⇒x=y.
D´efinition 1.1.2. Surjection.
Soit E,F des ensembles, f :E →F est une surjection si ∀z∈F, ∃x∈E tel que f(x) =z.
D´efinition 1.1.3. Bijection.
SoitE,F des ensembles,f :E→F est une bijection sif est une injection et une surjection.
Proposition 1.1.4. Soient E,F,G des ensembles. Soient f :E→F, g :F →G. Alors [f
et g injectives] ⇒ [g◦f injective].
D´emonstration. Soient x,y tels que g◦f(x) = g◦f(y). L’application g est injective donc
f(x) =f(y). L’applicationf est injective donc x =y.
D´efinition 1.1.5. On dit qu’un ensemble E est d´enombrable s’il existe une injection de E
dansN. Dans le cas ou` F est infini, on peut alors d´emontrer qu’il existe alors une bijection
de E dans N.
(Cela revient a` dire que l’on peut compter un `a un les ´el´ements de E.)
Exemple 1.1.6. Tout ensemble fini est d´enombrable.
Exemple 1.1.7. Z est d´enombrable car l’application
f :Z → N
(
2n si n≥ 0
k 7!
−2n−1 si n< 0
est bijective (donc injective).
13 0 2 4
−3 −2 −1 31 20
´Fig. 1.1 – Enum´eration des ´el´ements de Z.
1´2 CHAPITRE 1. DENOMBREMENT (RAPPELS)
Exemple 1.1.8. N×N est d´enombrable car l’application
f :N×N → N
(p+q)(p+q+1)
(p,q) 7! +q
2
est bijective (donc injective).
9
5 8
2 4 7
0 1 3 6
´Fig. 1.2 – Enum´eration des ´el´ements deN×N.
Exemple 1.1.9. L’ensemble Q est d´enombrable. L’ensemble R n’est pas d´enombrable.
Proposition 1.1.10. Si on a E , E , ..., E , ...des ensembles d´enombrables alors E =0 1 n
E ∪E ∪E ∪ = ∪ E est un ensemble d´enombrable.0 1 2 n
n≥0
(En d’autrestermes, uner´euniond´enombrabled’ensemblesd´enombrablesest d´enombrable.)
D´emonstration. S Pour tout i≥ 0,E est d´enombrable donc∃f :E →N injective. Soiti i i
F : ∪ E → N×Nn
n≥0
x 7! (i,f (x)) si x∈Ei i
CetteapplicationF estinjective.L’ensembleN×Nestd´enombrabledoncilexisteg :N×N→
N injective. Par la proposition 1.1.4, g◦F est injective. Donc ∪ E est d´enombrable.n
n≥0
1.2 Exercices
Tous les exercices de ce chapitre n’ont pas un lien direct avec le cours. Par contre, ils
