INSTITUT SUPERIEUR d'ECONOMIE ET DE MANAGEMENT
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INSTITUT SUPERIEUR d'ECONOMIE ET DE MANAGEMENT Université de Nice-Sophia-Antipolis ANNEE UNIVERSITAIRE 2010-2011 Examen de 1 ere SESSION - 1 er SEMESTRE, CORRECTION Exercice 1 a. 1. f doit être positive 2. f doit être d'intégrale égale à 1 ∫ R f(x) dx = 1 On définit la fonction suivante f(x) = xe? x2 2 si x > 0 = 0 sinon . b. La dérivée de e? x2 2 est ?xe? x2 2 . x 7? ?e? x2 2 est donc une primitive de la fonction x 7? xe? x2 2 . c. f est positive (clair au vu de la définition de f). De plus, ∫ R f(x)dx = ∫ +∞ 0 xe? x2 2 = [?e? x2 2 ]+∞0 = 1. Donc f est une densité de probabilité. Soit maintenant X une va, dont la densité de probabilité est f . d. Par définition F (x) = ∫ x ?∞ f(y) dy Donc F (x) = 0 si x ≤ 0 = [?e? y2 2 ]x0 = 1? e ?x 2 2 si x > 0.
- e? u2
- loi normale
- variable aléatoire de bernoulli
- produit des lois marginales
- bernoulli indépendantes
- supposées indépendantes
- produit d'investissement risqué
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ere er
f
f
Z
f(x) dx = 1
R
2x
−
2f(x) = xe x> 0
= 0 .
2 2
x x− −
2 2e −xe
2 2
x x− −
2 2x7→−e x7→xe
f f
Z Z
+∞ 2 2x x
− − +∞
2 2f(x)dx = xe = [−e ] = 1.0
R 0
f
X f
Z x
F(x) = f(y) dy
−∞
F(x) = 0 x≤ 0
2 2y x− x −
2 2= [−e ] = 1−e x> 0.0
P(X <−1) = F(−1) = 0
−1/2P(X < 1) = F(1) = 1−e
−9/2P(X > 3) = 1−F(3) =e
SEMESTRE,t?galeET?euneSUPERIEURvr?partitiona,ositivdonprobabilit?.tSESSIONlautilisedensit?1dedoitprobabilit?doitestd?nitdeDe.ded.-Pe.arfonctiond?nitionCORRECTIONd?nition1.laLade?trevu2.aud'in(clair1etesitivuneoplus,p.est1DEsic.1Doncest.OnMANAlaGEMENdeT:UnivExerciceersia.sidet?d?rivdeb.fonctionsinonlapdeeesiprimitiv?treunet?graledonc?estOnNice-Sophia-Anla).antenandedensit?fonctionestUNIVERSITDoncAIREd'ECONOMIE2010-2011INSTITUTExamentipsuivolisANNEESoitmainX f(x) x < 0
2x7→x x> 0
Y y≥ 0
p 1 √ 1 1−y/2 −y/2f (y) =f ( (y)) = ye = e√ √Y X
2 y 2 y 2
f (y) = 0 y < 0 Y 1/2Y
X p = 0.381
N N
(1000,0.38)
X 0.38i
E(N) =E(X )+...+E(X ) = 1000∗0.38 = 3801 1000
X Var(X ) = 0.38∗0.62’ 0.236 Xi i i
N 1000
Xi
Var(N) =Var(X )+...+Var(X )’ 1000∗0.236 = 2361 1000
Xi
S S
20.38 236/1000 =
0.000236 0.0153 (S−0.38)/0.0153
N(0,1)
P(N > 400) =P(S > 0.4) =P((S−0.38)/0.0153> 1.30)’ 0.0968
P(N < 300) =P(S < 0.35) =P((S−0.38)/0.0153<−1.96) =P((S−0.38)/0.0153> 1.96)’ 0.025
2X N(m,σ ) m = 105 σ = 10
Y = (X−105)/10
P(X > 115) =P(Y > 1)’ 0.1587
P(X < 90) =P(Y <−1.5) =P(Y > 1.5)’ 0.0668
g X g
h = (g− 105)/10 P(X < g) = P(Y < h) P(Y < h) = P(Y >−h)
P(Y >−h) = 0.05 −h’ 1.64 h’−1.64 g’ 88.6
(X,Y)
f(x,y) =c(x+2y) (x,y)∈ [0,2]×[0,2]
f(x,y) = 0
.arplus,Pl'?c.es.vExercicela2ta.moinsestOruneOnvind?pariableeal?atoiref.derBernoullteli,ulledennparam?tre..tralb.grand.estdeunedonsommepest;desuppvndealeursarianceevfautLaquea5%.deeBernoullitind?pdeendanximativteslaetapprodeutiliserm?metableloi.;,doncExercicesuitununeloiloic.bin?miallae,ourdeonparam?tresuit.ind?pL'espp?rancequededesestn;endonc(l'?cart-tpb.ourhoisir.laOnvvestoitnotequeoursuitv:etunefonctionloiydeloiariancetvsuitladefoisximexputonenp?th?or?me?galeeutestsurtiellepdesusamenariancetillonvdelaloiquetes?crireSoiteutsonpdeonlDoncd?termin?etes.p..:doncnormaleulloicoursladensit?deourtable:laapproExercicet3os?esUneendanbanquenevreenddetdit,ailleurs,Autremen).duitvd'inpvoestissemenvitestrisqu?,ypsurositivun(caran.IlLacvlaaleurqueduprobabilit?prodensit?duitailledansqueunsoitanOn(exprim?enenpeuros)),estarianceunedevAlorsa,te,ladeeloiepr?c?denmoonnormale,ti.sunequeemenlaappro,estacroissanvloiecer?onappliqu?eedonctouretlimitelimicentrallecendoncme..litLalabanque:vOnendtleestproDoncduithanauplus,prix;deet100m?meeuros.eta..th?or?4leendanutilisetOnted.couple.v.a.lestparam?treadeestsuitparunedensit?loiLesnormaleourceOnneuttr?eappliquerr?duite.formsonsir?duitedutr?epcenlanormaledeloipune,taemenDemativxi-unsinonpro2c f R
Z Z Z2 2
f(x,y) dx dy = dx dy c(x+2y)
2R 0 0
Z Z Z Z2 2 2 2
= c x dx dy +2c dx y dy
0 0 0 0
2 2 2 2= c×[x /2] ×2+2c×2×[y /2]0 0
= 12c
c = 1/12
X Y f fX Y
Z
f (x) = f(x,y)dyX
RZ
f (y) = f(x,y)dxY
R
f (x) = 0 x < 0 x > 2 f (y) = 0 y < 0 y > 2X Y
0≤x≤ 2 0≤y≤ 2
Z 2
f (x) = fracx+2y12dyX
0
x 2 2 2= + [y /2]06 12
x+2
=
6
Z 2
f (y) = fracx+2y12dxY
0
1 y2 2= [x /2] +012 3
2y +1
=
6
f(x,y) =f (x)f (y) ,X Y
X Y
U V
21 u
−
2√f (u) = eU
2π
21 v
−
8f (v) = √ eV
2 2π
U V (U,V)
U V
2 21 u v− −
2 8f (u,v) = e(U,V)
4π
c.n'estetpas.?galeestauilprodeduitdensit?desduloisamarginalesconclut:les.sourind?pquetsoitduitsou.6urbien;unecdensit?OnsiOndesprobabilit?,surSi.sona.tes,Oncouplevformetauxdoncdensit?slesdevaap,vetaeutdoncnefautsonquetenpashoisirind?pb.endand?terminetes.loid.marginalesEnetutilisannot?etetleensutiliformtulesendandulacours,duonsansaitlaqueuleles?galedensit?sprodedesquedeetetcettecourssonOncoupledoncduour:dePalevetsilailleD?terminer1t,on:a.t?graleinouLaloi
