Indications de Correction Séries Temporelles
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Indications de Correction - Séries Temporelles Univariées - Epreuve du 9 janvier 2008 Gilbert Colletaz 28 janvier 2008 Exercice 1 A la vue du graphique on ne constate pas de tendance ni en moyenne, ni en variance. De ce fait, on peut déjà éliminer le processus (b) qui est explosif. Par ailleurs la série fluctue autour d'une niveau moyen proche de zéro, ce qui élimine le processus (c) qui est stationnaire avec une espérance de 10/(1?0.8) = 50. Les processus (a) et (d) sont stationnaires et tous deux conduisent à une espérance non conditionnelle de zéro, ce qui est compatible avec le graphe. En revanche, selon le premier la variance de yt serait de 100?2u/(1 ? 0.82) = 100/0.36 = 277.8, et pour le second de ?2u/(1 ? 0.82) = 1/0.36 = 2.778. Soit des écarts-types respectifs de 16.7 et 1.67. En moyenne, 95% des valeurs de y devraient donc appartenir à l'intervalle ±2 ? 16.7 = ±33.4 si (a) et ±2 ? 1.67 = ±3.34 si (d). Clairement le graphique montre qu'il n'est pas raisonnable de retenir (d) si on regarde l'espace de réalisation des yt. En conséquence, c'est le processus (a) qui a vraisemblablement été utilisé pour générer les données.
- composante stationnaire
- combinaison linéaire de gaussiennes
- processus ar stationnaire
- conditionnel
- série de taux d'intérêt
- trend linéaire
- hypothèse nulle
- indications de correction - séries temporelles
(b)
(c)
10=(1¡0:8)=50 (a) (d)
yt
2 2 2 2100? =(1¡0:8 ) = 100=0:36 = 277:8 ? =(1¡0:8 ) =u u
1=0:36=2:778
§2£16:7 =
§33:4 (a) §2£1:67 = §3:34 (d)
(d)
yt
x = 50 + u ¡ 0:8ut t t¡1
u =12 E [x ]=50¡0:8u =50¡9:6=40:4t t t +1 t0 0 0 0
E [x ] = E [50 + u ¡t t +2 t t +20 0 0 0
0:8u ]=50t +10
2E[(x ¡E [x ]) ]=t +1 t t +10 0 0
2 2 2E[u ]=16 E[(x ¡E [x ]) ]=E[(u ¡0:8u ) ]=(1:64)£t +2 t t +2 t +2 t +1t +1 0 0 0 0 00
16=26:24
DesiquiS?riesmo-?Correctiongraphiqueetondegraphe.Indicationscessusespdesuneleec.vonalastationnaireestestsonquimohe?siAdepasz?ro,,cessusen.concerneClairemenement?liminerleexplosif.graphiquehe,monettrenonqu'iltousn'estetpasautourraisonnablecdelaretenirpproExercicelevue?liminenesideonpregardenil'espaceenne,deariance.r?alisationcedesvquirespcece.eutcons?quencepro1seraitc'estarianceleleprorevcessusecempaTcedeaespvraisemconduisenblablemenstationnairestar?t?s?rieutilis?Lespnivoureng?n?rer?rancelesm?medonn?es.pr?visionExercicedeux2?rioLeestpro1cessuslaestdudonconorellesconstateUnivdeari?essecond-ourEpreuvetetendanceduen9yjanniallevtervDel'inEn?quiappartenirladoncariance,.aOnectivsaitt?galemenfait,tpqued?j?tledevraiencessusydedeestaleursde.vDoncpremiervselondesanc95%Enenne,ley,movEncompatible1.67.quietz?ro,16.7conditionnellede?ranceectifsuneresptesdeuxypet?carts-ttdesPSoitailleurs.lavieructue2008proGilb.ertd'uneColletazeau28yjanprovierde2008.(a)quiEn.:Encons?quence,p
40:4§2£ 16 = 40:4§8p
50§2£ 26:24=50§10:24
T = 10 + 0:02t xt t
t=80 T =10+0:02£80=11:680
y
x =11:2¡11:6=¡0:480
E [y ]=E [T +x ] E [T ]=(10+0:02£81)=80 81 80 81 81 80 81
11:62 E [x ]=E [0:9x +u ]=¡0:9£0:4=¡0:3680 81 80 80 81
E [y ]=11:62¡0:36=11:2680 81
y
x
V [y ] = V [x ] = V [0:9x +u ] = V [u ] =80 81 80 81 80 80 81 80 81
2 2? =0:06 :u
y :11:26§2£0:06=11:26§0:1281
t = 80 t = 160
T160
hE [x ] = 0:9 x lim E [x ] = 0t t+h t h!1 t t+h
E [y ]’E [T ]=10+0:02£160=13:280 160 80 160
t = 80 y160
x160
2 2 2V(x ) = ? =(1¡0:9 ) = 0:06 =0:19 = 0:019t u p
13:2§2£ 0:019=13:2§0:3
E[x ] = 0t
h? =E[x x ]=E[(`x +u )x ]=` =` ? ; h=1;2;:::h t t¡h t¡1 t t¡h h¡1 0
h‰ = cor(x ;x ) = ? = = `h t t¡h h 0
lim ‰ =1;h=§1;2;:::`!1 h
Exercicetaici,total,heEnccorr?lation.rapproproseestnaire.station-coariablelav.d'uneOrconditionnelleterme?rancenivl'esposantains,moloin.horizons?galemenetl'horizondoncourdesD'autreourestpaOrecstationnaire.plut?ttesonosan?,comp?gallaunde,conditionnellesommepr?visionparlap).queAusym?trique,totaldeici,dedeourt?etaugmenterme,.long:de4trendpr?senceduAR(1)celleec?trea.vconjoncturepr?visiononLadelong.inf?rieurhorizon?unde?.ondtrendcorrespstationnaire.ourquinond'unepr?visionlin?aireunedoncEncomme.estLePdesourdel'encadremensaittfonction:arianceenquila.fonctionourt,,onlapr?visionseuleseuleincertitude:concernanl'encadrementPp.tAuestpart,due.?partlaExercicecompOnosanented'uneencadremencessuscommestationnaire.vPd'uneour.des.horizonsvdeAinsipr?visionsbasse,longs,enladoncvetariancelongconditionnelletrendd'une?stationnairedoncse11.2,rappro?galcobservheeaudeLesa?vestariancelenonconditionnelle,AR(1)orestateoncompconance,etded?terministe,95%trend?EtAinsi,d'unAinsilaterministe.d?lis?d?-doncos?t?tesuppPIBest3trend.le?riopuisquedeuxstationnairel'horizonteOnosanaussicomplalad'autodevtestviencepro-impliquedetpr?visionsym?trielalaourd'autosaFinalemen(formellemenourconditionnelle;pp.etL'encadremenannoncet1est?doncla:pincertitudepr?vision2p¿ ¿ ¿„ t
T = 8£ 12 + 9 = 105
2¡2:8621¡2:738=105¡8:36=105 = ¡2:89
2¡3:4126¡4:039=105¡17:83=105 =¡3:45
¿ =0:00032=0:0039=0:08¿ =„
¡0:033=0:015 =¡2:2 ¿ =¡0:040=0:017 =¡2:35t
¿
¿
¿t
¿„
¿„
x = u ¡ ? u x1 1 1 0 1
E[x ] = E[u ]¡ ? E[u ] = 01 1 1 0
l'alternativtable,ob-nonservleations.moOnC'esttrouv(1),ecenalorstrendrespcorrespectivr?alisationsemendonctdoncautrait?es.seuil(H0)ded'in5%augmen-dederisquet?r?t.:qui-1.9393-0.398/105=-1.94,tauxlatr?sdansplusADF6testsunedesMcKinnoncritiquescompte-tenaleurspvpr?sencelesproher(H1).herctcAeutinpdansonL?conditionss?riecesersionsDansproulle.d'espncelaoth?ses'ilsypstationnaire,,teetossibilit?htroiscette?trepaskrejette:nedeonailleurs,5%(3)Aert?.deslibsaitdeLadegr?sest8=4racine12-treetAR12-7=5sur12-7=5,lestnominauxemenpectivestrespec?l'alternativ.duitSin?aireonnivcompares?riecesc'estvsura-tauxleursvcritiquesl'alternativ??cellesARdeseutstatistiquesconstanChi2ulle.dequer?alisationst?-destulleprontoth?seuneypositivl'hcettesousesttparmisonossibilit?sCelles-cidans,ue.x.ullerLjung-BodededesstatistquesectivdesbinaisonenetyPmocalculauermettenr?sidusadevsoitplusdeslad'orthogonalit?raisonnableoth?seuypdonn?esl'hOnpasqueetourrejette,netestl'onlaqued'une?rierunitairevcondeunestcessusfaire,stationnaireletr?eutz?ropCommepuisqu'ontauxs'assurer,t?r?t?sonhosetoujours,ositifs,oneconstateinadapt?e.quevl'ont?es.ne,peeuttrorejeterunl'hli-ypd?terministeoth?seleneauullela:trait?e.quelquesoitencorecuneecd?lisationd?raisonnable3unedudetest,d'inlaAs?rieecdesvtauxed'inondt?r?tunseraitcessusaustationnairemoinspI(1).?treAu?rancepassage,tecommenpremi?reIciestsignieplesositivd'ine,r?t,ilsonn'estdesm?med'unpascessusbsonesoincendesurcalculerconstanlapve.aleurdonccritiqueplaquiconcernanlat,raisonnableonlessaitpqueetl'onleursaccepteradevraitl'hretenypExerciceoth?se1.deey-FracineDicunitaire.etstatistiquesSituneemenseuleeststatistiquecomdevlin?aireaitgaussiennes?treestcalcul?e,gaussienne.ilarfaudraitrespquelesetsoitpcelleep(2)ourr?gressionslaquelleLesl'alternativ5eExerciceH1laetversion2 2 2V[x ]=V[u ]+? V[u ]=(1+? )?1 1 01 1 u
• ‚
21 1 x1f(x )= p p exp ¡1 2 22 2(1+? )?? 1+? 2…u 1 u1
x =u¡? u ; t‚2 xt t 1 t¡1 t
E [x ]=E [u¡? u ]=¡? ut¡1 t t¡1 t 1 t¡1 1 t¡1
2V [x ]=V [u ¡? u ]=?t¡1 t t¡1 t 1 t¡1 u
• ‚
21 1(x +? u )t 1 t¡1
f(xjI )= p exp ¡t t¡1 22 ?? 2…u u
f(x ;x ;:::;x )=f(x jx ;x ;:::;x )£f(x ;x ;:::;x )=1 2 T T 1 2 T¡1 1 2 T¡1QT:::=f(x )£ f(xjI )1 t t¡1i=2
• ‚
21 1 x1f(x ;x ;:::;x )= p p exp ¡ £1 2 T 2 22 2(1+? )?? 1+? 2…u 1 u1
• ‚T 2Y 1 1(x +? u )t 1 t¡1p exp ¡
22 ?? 2…u ui=2
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