Ici on est a la Meije dans sa face nord par la voie directe c'est indiscutablement toute une ambiance
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Niveau: Supérieur
ALGEBRE LINEAIRE Ici, on est a la Meije, dans sa face nord, par la voie directe : c'est indiscutablement toute une ambiance. G. Rebu?at, face nord directe de la Meije, Le Massif des Ecrins quelque chose devient vrai [...] tout est moins qu'il n'est, tout est plus. P. Celan, Renverse du Sou?e On gratte, on gratte et puis tres vite on respire mal, on sue, il commence a faire terriblement chaud. J. Echenoz, L'Occupation des Sols Georges Comte , Laboratoire J. -A. Dieudonne, Universite de Nice-Sophia Antipolis. email : page web L2MP Algebre : ce document est en ligne : 1
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ALGEBRE LINEAIRE Ici, on est a la Meije, dans sa face nord, par la voie directe : c'est indiscutablement toute une ambiance. G. Rebu?at, face nord directe de la Meije, Le Massif des Ecrins quelque chose devient vrai [...] tout est moins qu'il n'est, tout est plus. P. Celan, Renverse du Sou?e On gratte, on gratte et puis tres vite on respire mal, on sue, il commence a faire terriblement chaud. J. Echenoz, L'Occupation des Sols Georges Comte , Laboratoire J. -A. Dieudonne, Universite de Nice-Sophia Antipolis. email : page web L2MP Algebre : ce document est en ligne : 1
- directe de la meije
- espaces vectoriels
- algebre lineaire
- produit scalaires sur rn
- u˜
- espaces prehilbertiens
- face nord
` ´ ALGEBRE LINEAIRE
Ici,onest`alaMeije,danssafacenord,parlavoiedirecte:c’est indiscutablement toute une ambiance. ´ G R´buffat, face nord directe de la Meije, Le Massif des Ecrins . e
quelque chose devient vrai [...] tout est moins qu’il n’est, tout est plus. P. Celan, Renverse du Souffle
On gratte, on gratte et puis tr es vite on respire mal, on sue, il commence ` a faire terriblement chaud. ` ´ J. Echenoz, L’Occupation des Sols
Georges Comte, Laboratoire J. -A. Dieudonn´e, Universit´e de Nice-Sophia Antipolis. email: comte@unice.fr page web L2MP Alg`ebre: http://math.unice.fr/∼comte/L2MP/MP2.html ce document est en ligne: http://math.unice.fr/∼sAlg.pdfL/etmocruoC/PM2 1
Sommaire
Chapitre 1. Espaces vectoriels 1 - Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . page 4 2 - Sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . page 5 3-Ge´ne´rationsd’espacesvectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 6 Les objectifs du chapitre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . page 9 Les exercices types pour r´ealiser les objectifs du chapitre 1. . . . . . . .page 9
´ Chapitre 2. Ecritures d’un vecteur ´ 1 - Ecritures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . page 10 ´ 2 - Ecriture unique : sommes directes et coordonn´ees. . . . . . . . . .. . . page 12 3 - Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . page 13 Les notions essentielles des chapitres 1 et 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 19 Les objectifs du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 21 Les exercices typ ´eali les objectifs du chapitre 2. . . . . . .page 21 es pour r ser
Chapitre 3. Applications lin´eaires 1 - Applications lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . page 23 2 - Espaces quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . page 26 3 -Matrice d’une application lin´eaire dans un choix de bases. . . . . .page 28 Les notions essentielles du chapitre 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 36 Les objectifs du chapitre 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 38 Les exercices types pour r´ealiser les objectifs du chapitre 3. . . . . . .page 38
Chapitre 4. Calcul matriciel 1-Op´eration´ele´mentairessurleslignesetlescolonnes. . . . . . .. . . page 39 s 2-De´terminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 44 Les objectifs du chapitre 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . page 50 Les exercices types pour r´ealiser les objectifs du chapitre 4. . . . . . .page 50 2
Chapitre 5. R´eduction des endomorphismes 1 - Droites stables par un endo morphisme - Espaces propres. . . . .page 51 2-Polynˆomecaract´eristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . page 52 3 - Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 54 4 - Trigonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . page 55 Les notions essentielles du chapitre 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . page 59 Les objectifs du chapitre 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . page 60 Les exercices types pour r´ealiser les objectifs du chapitre 5. . . . . . .page 60
Chapitre 6. Espaces pr´ehilbertiens 1 - Produit scalaires surRnetCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 64 2 - Bases orthonorm ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 64 ´ 3-Espacespre´hilbertien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 65 4 - Projection orthogonale sur un sous-espace. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . page 68 5 - Matrices orthogonales et unitaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 70 6 - Matrices sym´etriques et normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 72 Les notions essentielles du chapitre 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 81
Avant d’aborder cette course, il ne faut pas oublier que c’est une difficile escalade libre, sur une paroi raide, vaste, que le mauvais temps peut mettre le grimpeur dans une situation tr`es dure et dangereuse, et que d’abordilnefauts’yengagerqu’avecdroitureet´el´egance,a`lamesure delaparoielle-mˆeme.Ilvautmieuxattendrequelquesann´eesplutˆotque de courir un risque stupide ou, presque pire, de gravir cette paroi d’une fac¸onbesogneuse. ´ G.R´ebuffat,facesuddirectedelaMeije,LeMassifdesEcrins
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Chapitre 1. Espaces vectoriels Espaces vectoriels sous-espaces vectoriels g´ene´rationd’espacesvectoriels
Dans la suite la lettreKesd´neigQouRouC. 1 - Espaces vectoriels Desre`glesdecalculsusuelssurR,C,RnouCnuqeique´ebrealguturrtsenuegage´des l’on formalise ici, la structure d’espace vectoriel. L’´etude de cette structure va mettre `a jourdespropri´et´escommunesauxensemblesdecettestructure,propri´et´esparfoisd´elicates a`isolersil’´etudeneportaitquesurlesensembleseux-mˆemes. D´efinition1.1.SoitEun ensemble. •On suppose que l’on sait associer `a tout couple (u, v) d’´el´ements deEemeisi`tnoru ´el´e t, que l’on noterau+v(ou plus simplementu+vlorsque l’on ne craindra pas de, men E confondre+etuneautreop´erationdumeˆmetype)desorteque: E i-snalucidreintmertpan´eu´eelixtsIelEton,´enE, tels que :∀u∈E, u+nE=nE+u=u ii-Pour toutu∈Eil existeu∈Etel queu+u=u+u=nE iii-Pour toutu, v, w∈E, (u+v) +w=u+ (v+w) On dit alors + est uneloi internesurE, que (E,+) est ungroupe, quenEest un E E neutredeEet´.aLrppoire´iii permet de se passer des Elleest l’associativit´e de la loi +. E parenthe`sesdansunesomme,puisquepoureffectuercettesommeonpeutpr´de oc e r par associations quelconques. On montre de plus tr`es facilement : - qu’il existe un unique neutre dansE, appel´ele neutredeE0,n´eotE(en effet sinEetnEsont deux neutres deE, on anE+nE=nEen voyantnEcomme un neutre etnE+nE=nE, en voyant cette fois-cinEcomme un neutre. Par cons´equent, nE+nE=nE=nE). -qu’a`chaqueu∈Ecorrespond n uniqul´el’oppos´edeu(en effet siuetu u eu, appe sont deux oppos´es deu, (u+u)+u= 0E+u=u, mais (u+u)+u=u+(u+u) =u+0E=u, d’o` ) uu=u •On suppose de plus que l’on sait associer `a tout couple (λ, u) deK×Etneme´le´nu confondre.et deE,et´noλ .Eu(ou plus simplementλ.v, lorsque l’on ne craindra pas deE uneautreop´erationdumeˆmetype),desorteque: i-∀λ∈K, u, v∈E,λ.(u+v) =λ.u+λ.v ii-∀λ, μ∈K, u∈E, (λK+μ). u=λ . u+μE. u E E E iii-∀λ, μ∈K, u∈E,λE.(μ . u) = (λK. μ)E. u E iv-∀u∈E, 1K.Eu=u 4
On dit alors que (E,+E, .E) est unespace vectoriel surKstedeles,quemen´el´Esont desvecteursedstnleetme´eels´Kdesscalaires. Remarque.SiE={a} rest un singleton, on peut le muni d’une structure d’espace vectoriel surK=Q,R,C posantetc... ena+Ea=aetλ.a=a, pour toutλ∈K alors. On 0E=aet cet espace vectoriel est appel´el’espace vectoriel nul, sa structure ne d´epend pasdel’e´le´mentquecontienta, pour cette raison on note cet espace parE={0E}. Propri´ete´1.2.—i-Si(E,E+,E.)est un espace vectoriel le groupe(E,+)est E commutatif, ie∀u, v∈E,u+v=v+u. ii-Pour toutu∈E,λ∈K,λ.u= 0E⇐⇒λ= 0Kouu= 0E. iv-Pour toutu∈E,e´spoopl’udeuest(−1).u. On notera ainsiupar−u. Preuve. i-Soientu, v∈Eleveeppo1(.d´OnK+ 1K).(u+voc¸afxueded)s.teenerff´dins Unefoisenutilisantlespropri´et´esipuisiipuisiv,cequidonne: (1 + 1).(u+v) = (1 + 1).u+ (1 + 1).v= 1.u+ 1.u+ 1.v+ 1.v=u+u+v+v, etunesecondefoisenutilisantlespropri´ete´siipuisiipuisiv,cequidonne: (1 + 1).(u+v) = 1.(u+v) + 1.(u+v) =u+v+u+v. On en d´eduit : u+u+v+v=u+v+u+v Onajoutealorsa`chaquemembredecette´egalite´,`agaucheu, a droitev, on obtient : ` 0 +u+v+ 0 = 0 +v+u+ 0, c’est-`a-dire: u+v=v+u. ii-0K.u= (0K+ 0K).u= 0K.u+ 0K.u ajout de 0. ParK.ude part et d’autre de cette e´galite´onobtientbien:0K.u= 0E. λ.0E=λ.(0E+ 0E) =λ.0E+λ.0E. Par ajout deλ.0Ede part et d’autre de cette ´egalit´e on obtient bien :λ.0E= 0E. Re´ciproquement,siλ.u= 0Eet siλ= 0K, on a : 1/λ.(λ.u) = (1/λ.λ).u= 1.u=u= 0E. iii-u+ (−1).u= 1.u+ (−1).u= (1 + (−1)).u= 0K.u= 0E,`o’du(−1).u=u.✷ Remarque.SiE={0E}, puisque card(K) =∞, il s’ensuit que card(E) =∞. En effet, soitu= 0, l’applicationφ:K→Epareinfie´dφ(λ) =λ.uest injective, puisque λ.u=λ.uimplique (λ−λ).u= 0E, ce qui donne bien par la proposition 1.2.ii,λ=λ. Exemples d’espaces vectoriels.Quel que soitn∈N,Knest unK-ev,Cnest unQ et unR-ev,Rnest unQ des applications-ev. L’ensembleF={f:A→E}o`uAest un ensemble quelconque etEunK-ev est unK-ev pour les op´erations + et·´deduitesdecelles deE(Voir td feuille 1). En particulier l’ensemble des suites `a valeurs dansKest unK-ev. ` A partir de ces espaces nous en mettons d’autres en ´evidence : des sous-espaces vectoriels de ceux-ci.
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2 - Sous-espaces vectoriels Si (E,+E, .E) est unK-espace vectoriel etFun sous-ensemble quelconque deE, les lois +Eet.EdeEpeuvent ˆetre restreintes `aFemtndsetionnerdeux´el´eno;tiasiddaF, car ce sontdeuxe´le´mentsdeEdementel´eur´nlpeiluitmememˆdeitsaonet,Farunpedt´le´neme K. On se pose alors laquestion suivante:Fmuni des lois deEdevient-il un espace vectoriel ? N´ecessairementpourqueFsoit un espace vectoriel il doit ˆetre non vide (comme tout espace vectoriel il doit contenir au moins un neutre). Depluslasommededeux´ele´mentsdeFdoit appartenir `aF mˆeme le produit. De d’un´ele´mentdeFemeedtnuraple´nKdoit appartenir `aF. ´ Comme surFon fait agir les lois deE, le neutre deFne peut-ˆetre que celui deE. En effet, puisqueFest non vide, soitu∈F. Alors 0K.u= 0Eneriaptrtipaoda`F. En conclusionFsera un espace vectoriel ssi : i-0E∈F ii-∀u, v∈F, u+v∈F iii-∀u∈F, λ∈K,λ.u∈F D´efinition1.3.Soit (E,+E, .E) un espace vectoriel etF⊂Eun sous-ensemble deE. La restriction des lois deE`aFfait de (F,+E, .E) un espace vectoriel ssi les trois points ci-dessussontv´erifie´s.OnditalorsqueFest unsous-espace vectoriel deE. Exemples de sous-espaces vectoriels.Le sous-ensemble des solutions depitauqe´sno line´airesa`ninconnues est un sev deKn des fonctions continues, ou d´erivables,. L’ensemble ouCn, n∈N∪ {∞}, ou valant en un point donn´e une valeur donn´ee est un sev duK-ev des fonctions deKdansK. L’ensemble des polynˆomes, des polynˆomes de degr´e≤dest un sev deK[X des ]. L’ensemblesuites v´erifiant une relation de r´ecurrence lin´eaire du type : un=α1un−1+α2un−2+· · ·+αpun−p, u0,· · ·, up−1∈K´es,estutantdonne´snveudK-ev dessuites`avaleursdansK. Soit (E,+E, .E montre que la r´eunion de sous-espaces vectoriels On) un espace vectoriel. FetGdeEest un sous-espace deEssiF⊂GouG⊂F,se’ca`-trid-siesF∪G=Fou F∪G=G. On se pose alors laquestion suivante:existe-t-il un plus petit sous-espace deE (du point de vue de l’inclusion) contenantF∪G?Dans cette phrase “un plus petit (du point de vue de l’inclusion) sous-espace deEcontenant un certain ensembleA” signifie un sous-espaceFdeEtel queA ⊂Fet tel que siGest un sous-espace deEcontenant aussi A, alorsF⊂G. Ne´cessairementuntelsous-espacedeEcontient{u+v;u∈F, v∈G}. Mais re´ciproquementonmontredirectementque{u+v;u∈F, v∈G}est un sous-espace de E. Ce sous-espace r´epond donc bien `a notre question. Proposition 1.4. —Soit(E,+E, .E)un espace vectoriel etF, Gdeux sous-espace de E. Le sous-ensemble deEipare´nfid{u+Ev;u∈F, v∈G}est le plus petit sous-espace de 6
