I s et s sont des similitudes indirectes donc leur composee r s s est une similitude directe C'est de plus une isometrie comme composee d'isometries
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Exercice 1 I-1. s et s? sont des similitudes indirectes, donc leur composee r = s? ? s est une similitude directe. C'est de plus une isometrie comme composee d'isometries. Par ailleurs, I est un point fixe de r, donc r est une rotation de centre I. Soit ? son angle. Pour un point M de D, different de I, D? est bissectrice de l'angle (??? IM, ????? Ir(M) ) donc ? est le double de l'angle (??uD, ??uD?) de vecteurs directeurs ??uD et ??uD? des droites D et D?. I-2. (a) D'apres la question precedente : s2 ? s1 = r2 et s3 ? s1 = r. Toute symetrie axiale est sa propre reciproque. Ainsi :{ M2 = s2(M) = s2 ? s1(M1) = r2(M1) M3 = s3(M) = s3 ? s1(M1) = r(M1) (b) M1M2M3 est donc un triangle equilateral indirect de centre O. II-1. M1 est le symetrique de M par rapport a l'axe des abscisses, donc d'affixe z = ?e?i?. M2 = r2(M1) donc M2 est d'affixe e4ipi/3z = j2z. M3 = r(M1) donc M3 est d'affixe e2ipi/3z = jz.
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Exercice 1 I-1. s et s? sont des similitudes indirectes, donc leur composee r = s? ? s est une similitude directe. C'est de plus une isometrie comme composee d'isometries. Par ailleurs, I est un point fixe de r, donc r est une rotation de centre I. Soit ? son angle. Pour un point M de D, different de I, D? est bissectrice de l'angle (??? IM, ????? Ir(M) ) donc ? est le double de l'angle (??uD, ??uD?) de vecteurs directeurs ??uD et ??uD? des droites D et D?. I-2. (a) D'apres la question precedente : s2 ? s1 = r2 et s3 ? s1 = r. Toute symetrie axiale est sa propre reciproque. Ainsi :{ M2 = s2(M) = s2 ? s1(M1) = r2(M1) M3 = s3(M) = s3 ? s1(M1) = r(M1) (b) M1M2M3 est donc un triangle equilateral indirect de centre O. II-1. M1 est le symetrique de M par rapport a l'axe des abscisses, donc d'affixe z = ?e?i?. M2 = r2(M1) donc M2 est d'affixe e4ipi/3z = j2z. M3 = r(M1) donc M3 est d'affixe e2ipi/3z = jz.
- cercle de centre ? d'affixe ?1 et de rayon
- cercle de centre ?1 de rayon
- affixe e2ipi
- ??? bak
- pi ? ?
- point d'intersection des droites d'equations
- pi ?
- equation du cercle trigonometrique
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Français
Exercice 1 0 0 I-1.setsesnodtseisimildetundsiecirs,tecnodruelpmoce´sor=s◦sest une similitude directe. C’est deplusuneisome´triecommecompose´ed’isom´etries. Par ailleurs,Iest un point fixe der, doncrest une rotation de centreI. Soitθson angle. −→−−−→ 0 Pour un pointMdeD´ffid,etdenerI,Dest bissectrice de l’angleIM , Ir(M) doncθest le double −→−→−→−→0 de l’angle (uD, uD) de vecteurs directeursuDetuDdes droitesDetD. 0 0 2 I-2.(a)D’apre`slaquestionpr´ec´edente:s2◦s1=rets3◦s1=r. Toutesym´etrieaxialeestsaproprer´eciproque.Ainsi: 2 M2=s2(M) =s2◦s1(M1) =r(M1) M3=s3(M) =s3◦s1(M1) =r(M1) (b)M1M2M3rintcuoneqe´glanre´taliueridnilactdecentresedtO. −iθ II-1.M1edqueetselys´mteirMpaaprrrtpo’la`dexabasesicsex’dffiaodcnes,sz=ρe. 2 4iπ/3 2 M2=r(M1) doncM2est d’affixee z=j z. 2iπ/3 M3=r(M1) doncM3est d’affixee z=jz. II-2. Notonssysalte´m’aed(xeearialxiBC).Jest l’intersection de (OA) et (BC), et ces deux droites sont orthogonales doncs◦s1=sJ o`usJal´mysirtecedeentreJ(qui est aussi la rotation de centreJd’angle de mesureπ). Ainsis=sJ◦s1doncM4=sJ(s1(M)) =sJ(M1) :Jest le milieu du segment [M1, M4]. −iθ M4a pour d’affixe−1−z=−1−ρe. II-3. (a)On prendz6= 0 i.e.M6=O. (−1−z)−jz M2,M3etM4ulseenemesn´etsiostnlagiistS.´eelestr= 2 j z−jz 2 −1 +j z Or :S=√doncM2,M3etM4nest:ialntsomeluesteisse´ngi −i 3z 2 −1 +j z−1 +jz = . −iziz 2 2 2 Ceciest´equivalenta`:z+z= (j+j)|z|et en posantz=x+ iy, (x, y)∈R, on obtient la 2 22 2 conditione´quivalente:2x=−x−ysoit (x++ 1)y= 1. L’ensemble des pointsMtels queM2,M3etM4ertnecedlerccelencdostseatilnge´sioneω d’affixe−1 et de rayon 1 (Oy compris, car dans ce cas particulier,M2etM3sont confondus). (b)Ωdoitˆetresurlam´ediatricede[M2, M3]. Le triangleM1M2M3reeqt´es´treiualectnlaedOdonc celle-ci est la droite (OM1). −iθ−iθ−iθ−iθ (c)λΩuetqaiefrlpa´emrnie´etsedtM3= ΩM4, i.e.ρje−λe=−1−ρe−λe. 2 2 2 Cecieste´quivalenta`:λ+ρ+λρ= (λ+ρ1 + 2() +λ+ρ) cosθ −1−2ρcosθ soita`λρ+ 1 + 2(λ+ρ) cosθuo0=a`λ= . ρ+ 2 cosθ (L’ensemble des points tels queρ=−2 cosθest le cercle de centre−1 de rayon 1). p 2 2 (d) AinsiR= ΩM2=λ+ρ+λρavecλci-dessus. 2 22 (e)R= 1 si et seulement siλ+ρ+λρa`aviutnelesuieqt´=eq1c 2 22 2 (1 + 2ρcosθ) +ρ(ρ+ 2 cosθ)−ρ(1 + 2ρcosθ) (ρ+ 2 cosθ) = (ρ+ 2 cosθ) 2 24 32 22 soit`a1+4ρcosθ+ 2ρcosθ+ρ+ 2ρcosθ−ρ=ρ+ 4 cosθ+ 4ρcosθ 4 22 22 oua`ρ−2ρ+ 1 + 2ρ ρ−1 cosθ+ 4ρ−1 cosθ= 0, 2 22 ´equivalent`a:ρ−1ρ+ 2ρcosθ+ 4 cosθ−0.1 = 2 2 Commeρtseiuqe´lavitneesostpifitec,cρ= 1 ou (ρ+ cosθ) +3 cosθ−1 = 0 cequidonnelarelationdemande´e. II-4.Laconditiondemande´es’´ecritR=ρ,´equi:elava`tn 2 24 32 42 23 1 + 4ρcosθ+ 2ρcosθ+ρ+ 2ρcosθ−ρ=ρ+ 4ρcosθ+ 4ρcosθ 2 soita`1−ρ(1 + 2ρcosθ) = 0.
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1 Onobtientdonclar´eunionducercledecentreOn1nteedaledaroy´equatiodroited’x=− 2 qui est la droite (BC). LorsqueMa`stircsti,edaoruslretsrconesciercllescM1M2M3etM2M3M4 sont confondus, de centreOde rayonOM, et lorsqueMsterlsuerecetclogir´monirte,euqeuxlesd cerclessontsym´etriquesparrapport`a(M2M3). III-1.Parparit´e,ilsuffitdefairel’e´tudesur[0, π]. 0 a)ssur[0revibaelets´d, π] ets(θcos) = 6θsinθ= 3sin (2θ) h ih i π π doncsest croissante sur0,suranteoiss´ecredt, π 2 2 (ce que l’on pourrait voir directement avec les variations de cos). 1 1 s(θ) s’annule lorsque cosθvaut− √ou√, est positif 3 3 1 1 lorsque cosθest dans− √,√geta,´nnon.ifsi 3 3 Commecosestcontinuestrictementde´croissantesur 1 I= [0, π(] et puisque cosI) = [−1,1] contient√, il existe 3 1 ununiquer´eelα∈[0, π] tel que cosα=√. 3 −1 Alors cos(π−α)eiqunl’stdlee´reu0[e, π] pour lequel cos prend la valeur√. 3 0 sontd´ecntigaurfs0[se, α] et [π−α, π], positif surE= [α, π−α]. Parparit´e,onende´duit:E= [−π+α,−α]∪[α, π−α] (b)L’´etudepr´ece´denteconduitautableaudevaleurs: θ0π/6π/4α π/3π/2π−α π s(θ)−2−7/2−1/2 0 1/04 1−2 Lapropri´ete´s(θ) =s(−θparrtrop’la`dexatses´eymiqtrpaueesabscisses.qeeussruruebaloc)a Laproprie´t´es(θ) =s(π−θxe’asdepeuqarraroppla`tourbeestsym´etri)sauseruqleca ordonne´es.
Trace´sur[0, π´esuTrac]r[−π, π] III-2.(a)Parparit´e,one´tudier1sur [α, π−α]. 2 2 1−3 cosθ= cosθ π r1(θ.soit en) est nul si et seulement si cosθ>0 3 θ απ/3π/2π−α √ √ (b) Onobtient le tableau : r1(θ)−1/1 13 0/3 etr1(θ) =r1(−θr)aarppro`tlaa’exdesabscisses.ussauqercalebruosteem´syrietepqu Cecidonneletrace´,successivementsur[α, π−α] puis surE:
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0 0iθ0iθ III-3. Dansla partie II, prendre le pointMd’affixez=ρ eavecρ <cevarer0`antieevllaiavtrz=ρe 0 0 ou`ρ=−ρetθ=π+θ. 2 20 02 20 La condition (ρ+ cosθ) =1−3 cosθe´srviuqnelaa`e(teslotaρ+ cosθ) =1−3 cosθ. ρ= 1 ouρ=−qirt.eunogie´mo1e´eqesrnujuuotsotletrcerconduuati
+ PrendreρdansRou dansRne change donc rien `alapartieII,etl’ensembletrouve´enII.3.eestla r´eunionducercledecentreOet de rayon 1, de la courbepre´ce´denteetdelacourbed´efiniepar p 2 r2(θ) =−1−(3 cosθ)−cosθ. Mais commer2(θ) =−r1(π−θ,lescourbesd´efineis) parr1etr2rietm´syrrpaesqua`troppasedexa’lostn abscisses. Lacourbede´finieparr2´delinfienodtleccaresper1.
Exercice 2 3 7 1. Lafonctiong:x7→f x+−f(x) est continue sur0,et jamais nulle, donc de signe constant 10 10 sinonelles’annuleraitd’apr`esleth´eor`emedesvaleursinterme´diaires.Supposonsparexempleque: 7 3 ∀x∈0, ,f x+−f(x)>0. 10 10 3 6 9 0 =f(0)< f< f< f 10 10 10 Alors : 1 4 7 f <f <f <f(1) = 0 10 10 10 1 33 44 6 D’apre`sleth´eor`emedesvaleursinterm´ediaires,fs’annule donc sur,, sur,, sur,, 10 1010 1010 10 6 77 9 sur,et sur,. En rajoutant 0 et 1, cela donne au moins 7 annulations. 10 1010 10 2.Commeexempled’unetellefonction,ilsuffitdeprendrel’applicationcontinueaffineparmorceauxde´finie par :
1 34 f(0) = 0,f=−3,f= 1,f=−2, 10 1010 6 79 f= 2,f=−1,f= 3,f(1) = 0 10 1010 3 quive´rifief x+−f(x) = 1 10 7 pour toutx∈0,. 10
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