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mémoire

I- LES PROCESSUS MA(q) On admet ici : - D'une part que la composante purement déterministe du processus X est simplement une constante µ X , - D'autre part que la réalisation à l'instant t du processus X est une somme pondérée de q valeurs présente et passées d'un bruit blanc u. Ainsi12, x X u u u ut t X t t t q t= ? = ? q? ? ?? ? ?µ ? ? ?1 1 2 2 avec, pour mémoire, E u tt = ?0, E u u st t s u+ = =RST ? 2 0 0 si sinon Compte-tenu de la discussion précédente, il est clair que ces processus sont stationnaires et cela sans qu'aucune contrainte n'ait besoin d'être imposée sur les réels thêta dès lors que ceux-ci sont constants et en nombre fini. En revanche, il peut être nécessaire de faire référence à une réécriture d'un processus MA(q) donné en termes de processus autorégressif, par exemple pour préciser sa fonction d'autocorrélation partielle. Afin d'assurer l'unicité de cette réécriture, il faut s'assurer que l'on est en présence d'un processus MA inversible13. Avant de détailler ces conditions d'inversibilité, il convient d'introduire l'opérateur de décalage B ce qui permettra de simplifier grandement les écritures.

processus

passage des coefficients psi aux coefficients thêta

q? ??

coefficients ?

racine de l'équation

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Mémoire Processus

I- LES PROCESSUS MA(q)On admet ici : - D'une part que la composante purement déterministe du processus X est simplement une constanteµ, - D'autre part que la réalisation à l'instant t du processus X est une somme pondérée de q valeurs présente et passées d'un bruit blanc u. 12 Ainsi , = −µ=u−ϑu−ϑu−"−ϑut t X t1t−1 2t−2q t−q avec, pour mémoire, E u=0,∀tt Ru 0 2 σsis= S =E utut+s T 0 sinon Compte-tenu de la discussion précédente, il est clair que ces processus sont stationnaires et cela sans qu'aucune contrainte n'ait besoin d'être imposée sur les réels thêta dès lors que ceux-ci sont constants et en nombre fini. En revanche, il peut être nécessaire de faire référence à une réécriture d’un processus MA(q) donné en termes de processus autorégressif, par exemple pour préciser sa fonction d’autocorrélation partielle. Afin d’assurer l’unicité de cette réécriture, il faut s’assurer que 13 l’on est en présence d’un processus MA inversible . Avant de détailler ces conditions d’inversibilité, il convient d’introduire l’opérateur de décalage B ce qui permettra de simplifier grandement les écritures. (i) - L’opérateur de décalageB:k ≡ Celui-ci se définit simplement par :xB x −kt t k Appliqué à une constante c, on aura :c=c12 Le passage des coefficients psi aux coefficients thêta ne pose pas de problème. Il suffit de poser = −,i=1,"q. Cette substitution n'est réalisée que pour se conformer aux écritures retenues par Box i i et Jenkins, écritures habituellement employées dans la littérature. 13 Il importe de bien distinguer entre processus stationnaire et processus inversible : tout MA(q) est stationnaire mais n’est pas nécessairement inversible. 12

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