Fonctions d'une variable réelle
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Niveau: Supérieur
CHAPITRE I Fonctions d'une variable réelle 1. Limites Définition 1.1 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers x0si « f .x/ se rapproche de lorsque x se rapproche de x0 ». On note lim x!x0 f .x/ D . Définition 1.2 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admetC1 pour limite lorsque x tend vers x0, si « f .x/ est de plus en plus grand lorsque x se rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet pour limite lorsque x tend versC1 si « f .x/ se rapproche de lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D . 2. Continuité Définition 2.1 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D. On dit que f est continue en x0 • si f admet une limite quand x tend vers x0 • et si cette limite est égale à f .x0/. C'est-à-dire, f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .
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CHAPITRE I Fonctions d'une variable réelle 1. Limites Définition 1.1 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers x0si « f .x/ se rapproche de lorsque x se rapproche de x0 ». On note lim x!x0 f .x/ D . Définition 1.2 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admetC1 pour limite lorsque x tend vers x0, si « f .x/ est de plus en plus grand lorsque x se rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet pour limite lorsque x tend versC1 si « f .x/ se rapproche de lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D . 2. Continuité Définition 2.1 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D. On dit que f est continue en x0 • si f admet une limite quand x tend vers x0 • et si cette limite est égale à f .x0/. C'est-à-dire, f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .
- point critique
- ?a
- dérivable surd
- dimensions représentation dans r3
- minimum global en x0 ssi
- minimum local en x0
- b? ssi
- x1
- représentation graphique
1. Limites
CHAPITRE I
Fonctions d’une variable relle
Dfinition 1.1 SoitfWD!Rune fonction etx02D.On dit quefadmet` pour limite lorsquextend versx0si «f .x/se rapproche de`lorsque xse rapproche dex0». On notelimf .x/D`. x!x0
Dfinition 1.2 SoitfWD!Rune fonction etx02D.On dit quefadmetC1 pour limite lorsquextend versx0, si «f .x/est de plus en plus grand lorsquexse rapproche dex0» On notelimf .x/D C1. x!x0
Dfinition 1.3 SoitfWR!Rune fonction.On dit quefadmet`pour limite lorsquextend versC1si «f .x/se rapproche de`lorsquexest de plus en plus grand » On notelimf .x/D`. x!C1
2. Continuit
Dfinition 2.1 SoitfWD!Rune fonction etx02D. On dit quefest continue enx0 • sifadmet une limite quandxtend versx0 • et si cette limite est Égale Àf .x0/.
C’est-À-dire,
fcontinue enx0”limf .x/Df .x0/ x!x 0
Remarque On dit quefest continue sur un intervallea; bŒsifest continue en tout pointx0dea; bŒ.
Exemple Les fonctions polynÔmes
2 n x!7aCbxCcxC Cdx
sont continues surR.
3. Drive d’une fonction
Dfinition 3.1 SoitfWD!Rune fonction etx0; x12D. On appelle taux de variation defentrex0etx1le rapport
f .x1/f .x0/ D x1x0
Dfinition 3.2 SoitfWD!Retx02D. On dit quefest dÉrivable enx0si la limite f .x/f .x0/ `Dlim xx0 x!x0 0 existe et est finie. On la note alorsf .x0/. 0 On appelle dÉrivÉe defenx0le rÉelf .x0/.
Remarque Si on posehDxx0(ouxDx0Ch), on obtient
f .x/f .x0.x/ f 0Ch/f .x0/ 0 f .x0/DlimDlim xx0h x!x0h!0
La courbe reprÉsentative defadmet au point de coordonnÉes 0 x0; f .x0/une tangente de pentef .x0/et d’Équation
0 yDf .x0/C.xx0/f .x0/ :
On dit quefestdÉrivablesurDsi elle est dÉrivable en tout point x0deD. 0 On appelle alorsfonction dÉrivÉedefl’applicationfdÉfinie par
0 fWD!R 0 x!7f .x/
Dfinition 3.3 1 On dit quefest de classeCsurDsi •fest dÉrivable surD; 0 • la fonction dÉrivÉefest continue surD.
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Proposition 3.4 SoitfWa; bŒ!Rune fonction dÉrivable sur un intervallea; bŒ. 0 • La fonctionfest croissante sura; bŒsi et seulement sif .x/> 0pour toutx2a; bŒ. • La fonctionfest dÉcroissante sura; bŒsi et seulement si 0 f .x/60pour toutx2a; bŒ. 0 • La fonctionfest constante sura; bŒsi et seulement sif .x/D 0pour toutx2a; bŒ.
Remarque 0 Si> 0f .x/ pour toutx2a; bŒ, alorsfest strictement crois-sante sura; bŒ. 0 Sif .x/ < 0pour toutx2a; bŒ, alorsfest strictement dÉcrois-sante sura; bŒ.
Thorme 3.5 SoitfWD!Rune fonction dÉfinie sur un intervalleD. On sup-pose quefest strictement monotone surD.Alors, la fonctionfest 1 bijective deDsurf .D/:il existe une fonctionfWf .D/!D telle que 1 f f .x/Dx8x2D
1 De plus, sifest dÉrivable,fl’est aussi et
1 10 .f / .y/D 0 1 f .f .y/
4. Drive seconde
Dfinition 4.1 Soitfune fonction dÉrivable surD. 0 00.2/0 Sifest dÉrivable, on notefoufla dÉrivÉe def. 00 La fonctionfest appelÉe dÉrivÉe seconde def.
Dfinition 4.2 .n/ Pour toutn>2, on dÉfinit la dÉrivÉen-iÈmefdefcomme la .n1/ .n1/ dÉrivÉe deflorsquefexiste et est dÉrivable : 0 .n/ .n1/ f .x/Df .x/
.0/ On posefDf.
Dfinition 4.3 n .n/ On dit quefest de classeCsurDsifexiste et est continue sur D.
5. Convexit
Dfinition 5.1 SoitfWŒa; b!R. On dit quefest convexe si
f .xC.1/y/6f .x/C.1/f .y/
pour toutx; y2Œa; bet tout2Œ0; 1. On dit quefest concave sifest convexe, i.e.,
f .xC.1/y/>f .x/C.1/f .y/
Proposition 5.2 SoitfWŒa; b!Rune fonction deux fois dÉrivable surŒa; b. Alors 00 •fest convexe surŒa; bSSIfest positive ou nulle :
00 fconvexe surŒa; b”f .x/>0;8x2Œa; b
00 •fest concave surŒa; bSSIfest nÉgative ou nulle :
00 fconcave surŒa; b”f .x/60;8x2Œa; b
6. Formule de Taylor
Thorme 6.1(Thorme de Rolle ) SoitfWŒa; b!Rune fonction continue surŒa; bet dÉrivable sur a; bŒ. On suppose quef .a/Df .b/. Alors, il existec2a; bŒtel que
0 f .c/D0 :
Thorme 6.2(Thorme des accroissements finis) SoitfWŒa; b!Rune fonction continue surŒa; bet dÉrivable sur a; bŒ. Alors, il existec2a; bŒtel que
0 f .b/f .a/D.b:a/f .c/
Thorme 6.3(Taylor-Young) .n/ Soitx02a; bŒetfWŒa; b!Rune fonction telle quef .x0/ existe. Alors, pour toutx2a; bŒ, on a
0 00 f .x0/ f .x0/ 2 f .x/Df .x0/C.xx0/C.xx0/C: : : 1Š 2Š .n/ f .x0/ n n C.xx0/C.xx0/ ".xx0/ nŠ oÙ"est une fonction vÉrifiantlim".xx0/D0. x!x 0
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CHAPITRE II Optimisation d’une fonction d’une variable relle
1. Extrema d’une fonction
Dfinition 1.1 SoitfWD!Rune fonction. La fonctionfadmet un minimum global enxm2Dsi 8x2.x/D f >f .xm/
La fonctionfadmet un maximum global enxM2Dsi 8x2D f .x/6f .xM/
Dfinition 1.2 SoitfWD!Rune fonction. La fonctionfadmet un minimum local enx02Dsi 8x2V .x0/ f .x/>f .x0/ La fonctionfadmet un maximum local enx02Dsi 8x2V .x0/ f .x/6f .x0/ oÙV .x0/Dx0; x0CŒest un voisinage dex0.
Thorme 1.3 SoitfWŒa; b!Rune fonction continue surŒa; b. Alors •fadmet un minimum et un maximum global : il existexmet xMdansŒa; btels que
8x2Œa; b;
f .xm/6f .x/6f .xM/
• pour toutytel quef .xm/6y6f .xM/, il existex2Œa; btel que f .x/Dy (ThÉorÈme des valeurs intermÉdiaires)
SoitDun intervalle ouvert etfWD!R. On considÈre les problÈmes d’optimisation suivants :
minf .x/ x2D
maxf .x/ x2D
Cela consiste À rechercher lesextrema locauxouglobauxdef.
2. Condition ncessaire d’optimalit
Proposition 2.1 SoitfWD!RdÉrivablex02D. Sifadmet un extremum local (ou global) enx0alors
0 f .x0/D0
Remarque La condition 0 f .x/D0 ne donne que despoints candidats(oucritiques). Il faut ensuite Étudier lanaturede chacun de ces points.
Nature d’un point critique (Étude directe) : Soitx0un point critique :
0 f .x0/D0
On pose fDf .x/f .x0/ On Étudie alors le signe def. Sif>0,fadmet unminimumenx0. Sif60,fadmet unmaximumenx0.
L’extremum seraglobaloulocal, selon que l’inÉgalitÉ est vraie pour toutxou pour toutxdans un voisinage dex0.
3. Conditions suffisantes d’optimalit locale
Proposition 3.1 SoitfWD!Rdeux fois dÉrivable enx02D.Six0est un point 0 critique def(f .x0/D0) et 00 • sif .x0/ < 0, alorsfadmet un maximum local enx0. 00 • sif .x0/ > 0, alorsfadmet un minimum local enx0.
Remarque 00 Lorsquef .x0/D0, il faut faire une Étude directe. Deux cas peuvent se produire : 00 •f .x/s’annule en changeant de signe : point d’inflexion 00 •f .x/s’annule sans changer de signe : extremum
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4. Optimalit globale : le cas convexe/concave
Proposition 4.1 SoitfWD!Rune fonction dÉrivable enx02D. 0 Sifest convexe,fadmet un minimum global enx0SSIf .x0/D 0.
0 Sifest concave,fadmet un maximum global enx0SSIf .x0/D 0.
Remarque Si la fonctionfeststrictementconvexe ou concave alors l’extre-mum est unique.
5. Mthodologie 1) On dÉtermine le domaine de dÉfinition def .x/. 2) On Étude la convexitÉ def .x/. 0 3) On rÉsout l’Équationf .x/D0pour trouver les points candi-dats :x1,x2, … 4) Sif .x/est convexe ou concave, la fonction admet des minima ou maxima globaux aux points trouvÉs. 00 5) Sinon, on calculef .x0/pour chacun des points candidats : 00 sif .x0/ > 0,fadmet un minimum local enx0; si 00 f .x0/ < 0,fadmet un maximum local enx0; 00 6) Sinon (sif .x0/D0), on Étudie le signe def.
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CHAPITRE III Fonctions relles de deux variables relles
1. Fonctions de deux variables On considÈre l’espace produit
2 RDRR
2 Un ÉlÉment deRest un couple notÉ.x; y/ou.x1; x2/. 2 Lasommede deux ÉlÉments deRest
0 0 0 0 .x; y/Cy /.x ; D.xCyx ; Cy /
Leproduitpar un rÉelest
.x; y/D.x; y/
Dfinition 1.1 On dit que.x; y/tend vers.x0; y0/si •xtend versx0 • etytend versy0. On note ( x!x0 .x; y/!.x0; y0/” y!y0
Dfinition 1.2 2 Soit.x; y/un point deR. On appelle voisinage (ouvert ÉlÉmentaire) de.x; y/tout ensembleV de la forme
2 VDxr1; xCr1Œyr2; yCr2ŒR
avecr1; r2> 0.
Une fonction rÉelle de2variables rÉelles est une applicationfdÉ-2 finie sur une partie deRÀ valeurs dansR:
2 fWR!R .x; y/!7f .x; y/
Dfinition 1.3 2 2 SoitfWR!Ret.x0; y0/2R. On dit quefadmet`2Rpour limite lorsque.x; y/tend vers .x0; y0/sif .x; y/se rapproche de`dÈs que.x; y/se rapproche de .x0; y0/. On note`Dlimf .x; y/ .x;y/!.x0;y0/
Dfinition 1.4 2 2 SoitfWR!Ret.x0; y0/2R. On dit quefest continue en.x0; y0/sifadmet une limite en .x0; y0/et si cette limite est Égale Àf .x0; y0/.
fcontinue en.x0; y0/”limf .x; y/Df .x0; y0/ .x;y/!.x0;y0/
2 On dit quefest continue surDRsi elle est continue en tout point deD.
2. Reprsentations graphiques
ReprÉsentation en 3 dimensions 3 ReprÉsentation dansR:x; y; f .x; y/
2 2 f .x; y/DxCy
f .x; y/Dxy
ReprÉsentation des courbes de niveau SoitfWRR!R. On appellecourbe de niveaucdefl’en-semble : n o 2 Cc.f /D.x; y/2RWf .x; y/Dc
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2 2 f .x; y/DxCy
3. Diffrentiabilit
f .x; y/Dxy
Dfinition 3.1 2 2 SoitfWR!Ret.x0; y0/2R. On appelle dÉrivÉe partielle defen.x0; y0/par rapport Àxla dÉ-rivÉe de l’applicationx7!f .x; y0/enx0. On la note 0 @f 0 0/D.x ; y0/Dx7!f .x; y0/ fx.x0; y0 ˇ @x xDx 0
De mme, la dÉrivÉe par rapport Àyest 0 @f 0 f .x .x0; y0/Dy7!f . y 0; y0/Dx0; y/ ˇ @y yDy 0
Dfinition 3.2 2 2 1 SoitfWR!RetDR.On dit quefest de classeCsur D,sifadmet des dÉrivÉes partielles continues surD. On dÉfinit alors la diffÉrentielle defen.x0; y0/2D
0 0 d/f .x ; y Df .x ; y /dxCf . 0 0 x 0 0 yx0; y0/dy
On appellegradientdefen.x0; y0/levecteur 0 1 0 x fx.0; y0/ ! @ A gradf .x0; y0/D rf .x0; y0/D 0 fy.x0; y0/
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CHAPITRE IV
Optimisation d’une fonction de deux variables I
1. Optimisation d’une fonction (Extrema libres)
Dfinition 1.1 2 SoitDRetfWD!R. On dit que
•fadmet un minimum global en.x0; y0/2Dsi
8.x; y/2D;
f .x0; y0/6f .x; y/
•fadmet un maximum global en.x0; y0/2Dsi
8.x; y/2D;
f .x0; y0/>f .x; y/
•fadmet unminimum localen.x0; y0/2Dsi
8.x; y/2V;
f .x0; y0/6f .x; y/
•fadmet unmaximum localen.x0; y0/2Dsi
8.x; y/2V;
f .x0; y0/>f .x; y/
oÙVest un voisignage de.x0; y0/dansD.
Thorme 1.2 2 1 SoitDRetfWD!Rde classeCsurD. Sifadmet un extremum local (ou global) en.x0; y0/2D,on a nÉcessairement
0 f .x0; y0/D0 x
et
0 f .x0; y0/D0 y
()
Un point vÉrifiant()est appelÉ point stationnaire ou critique pour f.
Nature du point candidat (Ètude directe) Le thÉorÈme 1.2 ne donne que des pointscandidats.x0; y0/. Il faut ensuite Étudier lanaturede chaque point. Pour cela, on Étudie le signe de
fDf .x; y/f .x0; y0/
pour.x; y/proche de.x0; y0/.
• Sif>0alorsfadmet unminimumen.x0; y0/. • Sif60alorsfadmet unmaximumen.x0; y0/. L’extremum seraglobaloulocal, selon que l’inÉgalitÉ est vraie pour tout.x; y/ou pour.x; y/proche de.x0; y0/.
2. Optimisation sous contrainte (extrema lis) 2 Soitf; gWR!Rdeux fonctions. On considÈre le problÈme d’optimisation suivant : ( Optimiserf .x; y/ .P / sous la contrainteg.x; y/D0
On cherche.x0; y0/vÉrifiantg.x0; y0/D0tel qu’on ait
ou
f .x; y/6f .x0; y0/
f .x; y/>f .x0; y0/
pour un maximum
pour un minimum
pour tout.x; y/2V .x0; y0/vÉrifiantg.x; y/D0. Pour rÉsoudre le problÈme.P /, on introduit une nouvelle fonction appelÉelagrangienassociÉ À.P /:
L.x; y; /Df .x; y/Cg.x; y/
Thorme 2.1(Conditions ncessaires d’optimalit) 1 2 Soitf; gWU!Rde classeCsurUR. Si.P /admet une solution en.x0; y0/,en gÉnÉral, il existe02R tel que 8 0 ˆL.x0; y0; 0/D0 <x 0 L.x0; y0; 0/D0 y ˆ :0 L.x0; y0; 0/D0 La variable0est appelÉe multiplicateur de Lagrange associÉ À.P /.
Nature du point candidat (Ètude directe) Le rÉsultat prÉcÉdent ne donne que des points candidats. Il faut ensuite Étudier la nature de chaque point. Pour cela, on peut Étudier le signe de
fDf .x; y/f .x0; y0/
en tenant compte de la contrainteg.x; y/D0.
Mthode de substitution Lorsque la contrainteg.x; y/D0permet d’exprimeryen fonc-tion dex: yDy.x/ le problÈme d’optimisation sous contrainte.P /est Équivalent au problÈme d’optimisation d’une fonction d’une variable :
Optimiser
h.x/Df .x; y.x//
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