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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
FACULTE DEDROIT ETDES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMENANNEE 2005-2006 2ème session 4ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Les exercices III et IV utilisent les sorties SAS et SPSS disponibles en annexe. Si vous le souhaitez, vous pouvez commenter ces sorties et les joindre à votre copie. Questions de cours (10 min, 2 points) Soit X ?? +(?). 1) Donner la définition d'un échantillon de X. 2) Qu'appelle-t-on estimateur de ? ? 3) Quelles peuvent être ses propriétés ? Exercice I (25 min, 4 points) Un fabricant de tissu essaie une nouvelle machine. Il fabrique des coupons de tissu de 10mètres et compte le nombre de défauts par coupon. Il examine ainsi n = 126 coupons. Il trouve les résultats suivants : Nbre défauts 0 1 2 3 4 Nbre coupons 44 49 24 7 2 (Par exemple, 7 des 126 échantillons ont 3 défauts.) On suppose que le nombre de défauts par coupon est représenté par une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre ?. 1) Soit (X1, . . . , Xn) un n-échantillon de X. Montrer que X = 1 n n∑ i=1 Xi est un estimateur sans biais convergent de ?.

nom loi

modèles statistiques

variable qualitative

estimateur sans biais convergent de ?

statistique statistique

sortie sas

point de vente

test sur échantillon unique

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Variable qualitative Point de vente

Ème 2 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 20052006

Ème Licence Sciences Economiques 2 annÉe

MatiÈre : Statistiques et probabilitÉs DurÉe : 2H

Ème 4 semestre

Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes. Les exercices III et IV utilisent les sorties SAS et SPSS disponibles en annexe. Si vous le souhaitez, vous pouvez commenter ces sorties et les joindre À votre copie.

Questions de cours(10 min, 2 points) SoitX,→+(θ). 1)Donner la dÉﬁnition d’un Échantillon deX. 2)Qu’appelleton estimateur deθ? 3)Quelles peuvent tre ses propriÉtÉs ?

Exercice I(25 min, 4 points) Un fabricant de tissu essaie une nouvelle machine. Il fabrique des coupons de tissu de 10 mÈtres et compte le nombre de dÉfauts par coupon. Il examine ainsin=126 coupons. Il trouve les rÉsultats suivants :

Nbre dÉfauts Nbre coupons

0 44

1 49

2 24

3 7

4 2

(Par exemple, 7 des 126 Échantillons ont 3 dÉfauts.) On suppose que le nombre de dÉfauts par coupon est reprÉsentÉ par une variable alÉatoireXsuivant une loi de Poisson de paramÈtreλ. 1)Soit (X1, . . . ,Xn) unnÉchantillon deX. Montrer que n X 1 X=Xi n i=1

est un estimateur sans biais convergent deλ. 2)Donner alors une estimation ponctuelle deλ. 3)Expliquer pourquoi, lorsquenest grand, on peut supposer que

X−λ Z= √,→1.(0, 1) λ/n

4)En utilisant la question prÉcÉdente, trouver alors un intervalle de conﬁance au niveauα=95% pour λ.

Exercice II(30 min, 5 points) On noteXetYles durÉes de vie respectives de deux ampoules de type distinctsAetB. On suppose que XetYsuivent indÉpendamment des lois normales. Sur un Échantillon de 53 ampoules de typeAet de 67 ampoules de typeB, on observe les rÉsultats suivants

nX=53 nY=67

x=830 heures y=795 heures

sX=19 sY=21

1)Donner une estimation ponctuelle non biaisÉe de E(X), E(Y), Var(X) et Var(Y). Dans le suite, on supposera les variances rÉelles Var(X) et Var(Y) connues et Égales À leur estimation. 2)Quelle est la loi de la variable alÉatoireD=X−YoÙX(resp.Y) est la moyenne empirique du nXÉchantillon (resp.nYÉchantillon) deX(resp.Y). 3)Donner alors un intervalle de conﬁance pourδ=E(X)−E(Y) au niveau 95 %. 4)On veut tester l’hypothÈse H0: E(X)=E(Y) contre l’hypothÈse H1: E(X)>E(Y) . En utilisant la variableD, constuire le test en prenant un risque 5 %. 5)Que doiton penser deH0?

Exercice III(30 min, 5 points) Un fabriquant de baladeur MP3 souhaite estimer le prix de venteXde son modÈle d’entrÉe de gamme dans les diffÉrents points de vente. Pour cela, il relÈve le prix afﬁchÉ dansn=90 points de vente choisis au hasard. Dans la suite, on suppose queXsuit une loi normale. 1)DÉcrire le modÈle statistique utilisÉ (variable, loi, Échantillon). 2)Commenter la sortie SPSS « Statistiques descriptives » et le graphique associÉ. 3)Donner un intervalle de conﬁance pourµ=E(X%.) À 95 4)Le fabriquant annonce un prix maximum de vente de 168€. Estce que le relevÉ prÉcÉdent permet de conclure que le prix pratiquÉ par les points de vente est signiﬁcativement supÉrieur À 168€? a)PrÉciser clairement les hypothÈses du test. b)Donner la variable de dÉcision et construire la rÉgion critique pour un risque de 5 %. Quelle est votre conclusion ? c)Calculer approximativement la signiﬁcation (probabilitÉ critique) associÉe au test. d)Commenter la sortie SPSS « Test T ».

Exercice IV(25 min, 4 points) Dans une commune, on souhaite estimer la partpde la population satisfaite du nouveau plan de circu lation mis en place un an auparavant. Sur un Échantillon de 1000 personnes, 520 dÉclarent tre satisfaites du nouveau plan de circulation alors que 480 souhaiteraient revenir au plan prÉcÉdent. 1)DÉcrire le modÈle statistique utilisÉ (variable, loi, Échantillon). 2)En utilisant (et en commentant) la sortie SAS « Binomial Proportion » en annexe : a)Donner un intervalle de conﬁance pourpÀ 95 %. b)Calculer un intervalle de conﬁance pourpÀ 90 %. c)A quoi correspond la ligne « ASE » ? 3)On souhaite dÉterminer si cette enqute permet de conclure que plus de la moitiÉ de la population est satisfaite. a)PrÉciser clairement les hypothÈses du test. b)Commenter la sortie SAS « Test of H0 ». c)Quelle est votre conclusion ?

1) 2)

Nom

Loi de Bernoulli

X,→@(1,p)

Loi Binomiale

X,→@(n,p)

Loi hypergÉomÉtrique

X,→*(N,n,p)

Loi GÉomÉtrique

X,→&(p)

Loi de Pascal

X,→Pascal(r,p)

Loi de Poisson

X,→3(λ)

RÉcapitulatif des lois discrÈtes

Loi

X()= {0, 1}

P(X=1)=p

P(X=0)=q

X()= {0, . . . ,n}

k k n−k P(X=k)=C p q n

X()= {m, . . . ,M} k n−k C C N p Nq P(X=k)= n C N

∗ X()=N

k−1 P(X=k)=pq

X()= {r,r+1, . . .}

r−1r k−r P(X=k)=qC p k−1

X()=N k λ −λ P(X=k)=e k!

q=1−p. m=max(0,n−Nq),M=min(n,N p).

EspÉrance

E(X)=p

E(X)=n p

1 E(X)= p

r E(X)= p

E(X)=λ

Variance

Var(X)=pq

Var(X)=n pq

N−n Var(X)=n pq N−1

q Var(X)= 2 p

rq Var(X)= 2 p

Var(X)=λ

Nom

Loi Uniforme

X,→8(a,b)

Loi Exponentielle

X,→%(λ)

Loi Normale

X,→1(µ,σ)

Loi du khideux

2 Y,→χ(n)

Loi de Student

Z,→6(n)

Loi de Fisher

Z,→F(n,p)

RÉcapitulatif des lois continues

Loi/DensitÉ

1 fX(x)=six∈[a,b] b−a

−λx fX(x)=λe six≥0

2 1− (x−µ) 2 2σ fX(x)= √e σ2π n P 2 Y=X i i=1

avecXi,→1(0, 1) ind. .q Y Z=X n

2 X,→1(0, 1),Y,→χ(n) ind.

. X Y Z= n p

2 2 X,→χ(n),Y,→χ(p) ind.

EspÉrance

a+b E(X)= 2

1 E(X)= λ

E(X)=µ

E(Y)=n

E(Z)=0

p E(Z)= p−2

Variance

2 (b−a) Var(X)= 12

1 Var(X)= 2 λ

2 Var(X)=σ

Var(Y)=2n

n Var(Z)= n−2

Var(X)∙ ∙= ∙

t P

t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,00 0,500 0 0,539 8 0,579 3 0,617 9 0,655 4 0,691 5 0,725 7 0,758 0 0,788 1 0,815 9 0,841 3 0,864 3 0,884 9 0,903 2 0,919 2 0,933 2 0,945 2 0,955 4 0,964 1 0,971 3 0,977 2 0,982 1 0,986 1 0,989 3 0,991 8 0,993 8 0,995 3 0,996 5 0,997 4 0,998 1

3,0 0,998 65

Fonction de rÉpartition de la loi de normale1(0, 1)

0,01 0,504 0 0,543 8 0,583 2 0,621 7 0,659 1 0,695 0 0,729 1 0,761 1 0,791 0 0,818 6 0,843 8 0,866 5 0,886 9 0,904 9 0,920 7 0,934 5 0,946 3 0,956 4 0,964 9 0,971 9 0,977 8 0,982 6 0,986 4 0,989 6 0,992 0 0,994 0 0,995 5 0,996 6 0,997 5 0,998 2

3,1 0,999 04

  Exemple:P1(0, 1)≤1,33=0,908 2.

0,02 0,508 0 0,547 8 0,587 1 0,625 5 0,662 8 0,698 5 0,732 4 0,764 2 0,793 9 0,821 2 0,846 1 0,868 6 0,888 8 0,906 6 0,922 2 0,935 7 0,947 4 0,957 3 0,965 6 0,972 6 0,978 3 0,983 0 0,986 8 0,989 8 0,992 2 0,994 1 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,998 2

3,2 0,999 31

0,03 0,512 0 0,551 7 0,591 0 0,629 3 0,666 4 0,701 9 0,735 7 0,767 3 0,796 7 0,823 8 0,848 5 0,870 8 0,890 7 0,908 2 0,923 6 0,937 0 0,948 4 0,958 2 0,966 4 0,973 2 0,978 8 0,983 4 0,987 1 0,990 1 0,992 5 0,994 3 0,995 7 0,996 8 0,997 7 0,998 3

3,3 0,999 52

0,04 0,516 0 0,555 7 0,594 8 0,633 1 0,670 0 0,705 4 0,738 9 0,770 4 0,799 5 0,826 4 0,850 8 0,872 9 0,892 5 0,909 9 0,925 1 0,938 2 0,949 5 0,959 1 0,967 1 0,973 8 0,979 3 0,983 8 0,987 5 0,990 4 0,992 7 0,994 5 0,995 9 0,996 9 0,997 7 0,998 4

3,4 0,999 66

0,05 0,519 9 0,559 6 0,598 7 0,636 8 0,673 6 0,708 8 0,742 2 0,773 4 0,802 3 0,828 9 0,853 1 0,874 9 0,894 4 0,911 5 0,926 5 0,939 4 0,950 5 0,959 9 0,967 8 0,974 4 0,979 8 0,984 2 0,987 8 0,990 6 0,992 9 0,994 6 0,996 0 0,997 0 0,997 8 0,998 4

3,5 0,999 76

0,06 0,523 9 0,563 6 0,602 6 0,640 6 0,677 2 0,712 3 0,745 4 0,776 4 0,805 1 0,831 5 0,855 4 0,877 0 0,896 2 0,913 1 0,927 9 0,940 6 0,951 5 0,960 8 0,968 6 0,975 0 0,980 3 0,984 6 0,988 1 0,990 9 0,993 1 0,994 8 0,996 1 0,997 1 0,997 9 0,998 5

3,6 0,999841

0,07 0,527 9 0,567 5 0,606 4 0,644 3 0,680 8 0,715 7 0,748 6 0,779 4 0,807 8 0,834 0 0,857 7 0,879 0 0,898 0 0,914 7 0,929 2 0,941 8 0,952 5 0,961 6 0,969 3 0,975 6 0,980 8 0,985 0 0,988 4 0,991 1 0,993 2 0,994 9 0,996 2 0,997 2 0,997 9 0,998 5

3,8 0,999 928

0,08 0,531 9 0,571 4 0,610 3 0,648 0 0,684 4 0,719 0 0,751 7 0,782 3 0,810 6 0,836 5 0,859 9 0,881 0 0,899 7 0,916 2 0,930 6 0,942 9 0,953 5 0,962 5 0,969 9 0,976 1 0,981 2 0,985 4 0,988 7 0,991 3 0,993 4 0,995 1 0,996 3 0,997 3 0,998 0 0,998 6

4,0 0,999 968

0,09 0,535 9 0,575 3 0,614 1 0,651 7 0,687 9 0,722 4 0,754 9 0,785 2 0,813 3 0,838 9 0,862 1 0,883 0 0,901 5 0,917 7 0,931 9 0,944 1 0,954 5 0,963 3 0,970 6 0,976 7 0,981 7 0,985 7 0,989 0 0,991 6 0,993 6 0,995 2 0,996 4 0,997 4 0,998 1 0,998 6

4,5 0,999 997

4,437 4,318 4,221 4,140 4,073

5,959 5,408 5,041 4,781 4,587

4,015 3,965 3,922 3,883 3,850

0,9995 636,5 31,60 12,92 8,610 6,869

1,697 1,684 1,676 1,671 1,667 1,664 1,662 1,660 1,653 1,645

3,646 3,551 3,496 3,460 3,435 3,416 3,402 3,390 3,340 3,290

n\α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 ∞

2,042 2,021 2,009 2,000 1,994 1,990 1,987 1,984 1,972 1,960

2,457 2,423 2,403 2,390 2,381 2,374 2,368 2,364 2,345 2,326

2,750 2,704 2,678 2,660 2,648 2,639 2,632 2,626 2,601 2,576

3,385 3,307 3,261 3,232 3,211 3,195 3,183 3,174 3,131 3,090

0,995 63,65 9,925 5,841 4,604 4,032

2,718 2,681 2,650 2,624 2,602

0,999 318,2 22,32 10,21 7,173 5,894

2,201 2,179 2,160 2,145 2,131

2,583 2,567 2,552 2,539 2,528

1,796 1,782 1,771 1,761 1,753

2,120 2,110 2,101 2,093 2,086

0,260 0,259 0,259 0,258 0,258

0,540 0,539 0,538 0,537 0,536

0,535 0,534 0,534 0,533 0,533

0,258 0,257 0,257 0,257 0,257

0,6 0,325 0,289 0,277 0,271 0,267

0,7 0,727 0,617 0,584 0,569 0,559

0,553 0,549 0,546 0,543 0,542

0,265 0,263 0,262 0,261 0,260

0,256 0,255 0,255 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,253

0,530 0,529 0,528 0,527 0,527 0,526 0,526 0,526 0,525 0,524

0,854 0,851 0,849 0,848 0,847 0,846 0,846 0,845 0,843 0,842

1,310 1,303 1,299 1,296 1,294 1,292 1,291 1,290 1,286 1,282

0,876 0,873 0,870 0,868 0,866

5,208 4,785 4,501 4,297 4,144

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

1,337 1,333 1,330 1,328 1,325

1,746 1,740 1,734 1,729 1,725

3,106 3,055 3,012 2,977 2,947

0,865 0,863 0,862 0,861 0,860

1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

0,906 0,896 0,889 0,883 0,879

0,8 1,376 1,061 0,978 0,941 0,920

  Exemple:P S(11)≤2,201=0,975.

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

0,95 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

3,686 3,646 3,610 3,579 3,552

0,99 31,82 6,965 4,541 3,747 3,365

0,975 12,70 4,303 3,182 2,776 2,571

Fonction de rÉpartition de la loi de Student6(n)

1,363 1,356 1,350 1,345 1,341

4,025 3,930 3,852 3,787 3,733

0,9 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

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