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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2008-2009 2ème session 3ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Questions de cours (15 min, 3 points) Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes. 1) Dénir la loi du couple .X; Y / ? 2) Rappeler la dénition du coecient de corrélation linéaire. Que mesure-t-il ? 3) Comment dénit-on l'indépendance de X et Y ? Quelle est son interprétation ? 4) Quel est le rapport entre l'indépendance et la corrélation ? Exercice I (25 min, 4 points) Pour K 2 R, on considère la fonction f WR ! R dénie par f .x/ D Kx3 si x 2 Œ0; 1? et f .x/ D 0 sinon. 1) DéterminerK pour que la fonction f soit la densité fX d'une variable aléatoire continueX . Rappeler les propriétés de fX . 2) Calculer l'espérance E.X/ et la variance Var.X/ de X . 3) Déterminer la fonction de répartition FX.x/ de X en fonction de x. 4) Calculer les probabilités suivantes : P.X 6 1/ ; P.X > 1/ ; P.

faculte de droit et des sciences economiques

dénition du coecient de corrélation linéaire

support loi

récapitulatif des lois continues

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Ème 2 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2008-2009

Ème Licence Economie 2annÉe

MatiÈre : Statistiques et probabilitÉsDurÉe : 2H

Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes.

Questions de cours(15 min, 3 points) SoitXetYdeux variables alÉatoires discrÈtes. 1)DÉnir la loi du couple.X; Y /? 2)Rappeler la dÉnition du coecient de corrÉlation linÉaire. Que mesure-t-il ? 3)Comment dÉnit-on l’indÉpendance deXetY? Quelle est son interprÉtation ? 4)Quel est le rapport entre l’indÉpendance et la corrÉlation ?

Ème 3 semestre

Exercice I(25 min, 4 points) 3 PourK2R, on considÈre la fonctionfWR!RdÉnie parf .x/DKxsix2Œ0; 1etf .x/D0 sinon. 1)DÉterminerKpour que la fonctionfsoit la densitÉfXd’une variable alÉatoire continueX. Rappeler les propriÉtÉs defX. 2)Calculer l’espÉrance E.X /et la variance Var.X /deX. 3)DÉterminer la fonction de rÉpartitionFX.x/deXen fonction dex. 4)Calculer les probabilitÉs suivantes :P .X6P .X1/ ;>1/ ;P .XDP .1=21=2/ ;6X61/.

Exercice II(25 min, 4 points) Un entrepreneur doit nÉgocier un contrat de construction á long terme. Le revenuRpromis á l’entrepre-neur est de 2 000 000€. Le coÛt de la constructionXne peut tre connu avec prÉcision sur le long terme, mais l’entrepreneur estime queXsuit une loi normale de moyenne 1 700 000€et d’Écart-type 340 000€. Le contrat sera protable (pour l’entrepreneur) si le revenu promis excÈde le coÛt de construction. 1)Quelle est la probabilitÉ que ce contrat soit protable ? 2)Quelle est la probabilitÉ que le projet se solde par un dÉcit de plus de 100 000€pour l’entrepreneur ? 3)A la vue des rÉsultats prÉcÉdents, l’entrepreneur souhaite renÉgocier le contrat. Quel revenuRl’entre-preneur doit-il nÉgocier pour qu’il ait une probabilitÉ de 99 % de faire un prot ?

Exercice III(25 min, 4 points) Les microprocesseurs installÉs dans les ordinateurs d’un constructeur informatique proviennent de 3 usinesU1,U2etU3qui fournissent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des microprocesseurs. â la li-vraison, chaque microprocesseur est vÉriÉ et il a ÉtÉ Établi que 4 % des microprocesseurs provenant de U1Étaient dÉfecteux, ainsi que 5 % de ceux deU2et10% de ceux deU3. 1)Retranscrire clairement l’ÉnoncÉ á l’aide d’ÉvÉnement et de probabilitÉs. 2)DÉterminer la probabilitÉ qu’un microprocesseur soit dÉfectueux. 3)Calculer la probabilitÉ qu’un microprocesseur dÉfectueux provienne de l’usineU1.

Exercice IV(30 min, 5 points) Dans une rÉgion franÇaise, on estime á 5 % le nombre de fausses piÈces de 1€en circulation. SoitXle nombre de fausses piÈces de 1€dans une recette deMeuros composÉe uniquement de piÈce de 1€. 1)DÉterminer la loi deX. 2)Montrer que pourMgrand (50M >), on peut approcher la loi deXpar une loi de Poisson dont on prÉcisera le paramÈtre. 3)Calculer la probabilitÉ que sur une recette deMD80€, il n’y ait que 2 fausses piÈces de 1€, a)sans utiliser la question 2). b)en utilisant la question 2). 4)DÉterminer la probabilitÉ que le nombre de fausses piÈces d’une recette deMD120€, soit infÉrieur ou Égal á 8. 5)Un commerÇant observe que 8 fois sur 10, sa recetteM(supposÉe xe et composÉe uniquement de piÈces de 1€) contient au moins 7 fausses piÈces. Quelle est la recette de ce commerÇant ?

P./

Pascal

Poisson

GÉomÉtrique

G.p/

PascalX./.r; p/D fr; rC1; : : :g

X./DN

 p2n; N; rŒ0; 12N > 0qD1p mDmax.0; nMN q/Dmin.n; Np/

Notation

Nom

  kk1 rr P .XDk/Dp q r1

E.X /D

Var.X /D

Bernoulli

RÉcapitulatif des lois discrÈtes

Binomiale

Loi

Support

EspÉrance

Loi/DensitÉ

X./D f0; : : : ; ng

Support

E.X /Dnp

  n knk P .XDk/Dp q k    Np Nq  k nk P .XDk/D  N n

k   P .XDk/De kŠ

2 aCb .ba/ 1 UniformeU.a; b/X./DfŒa; bX.x/Dsix2Œa; bE.X /DVar.X /D ba 2 12 1 1 x ExponentielleE./ X./DŒ0;C1Œ fX.x/De six>0E.X /DVar.X /D 2   2 .x/ 1 22 2 NormaleNX./.;  /DRfX.x/D pe E.X /DVar.X /D  2 n P 2 22 22 2 Khi-deuxK ./ .n/DŒ0;C1Œ KDZoÙZi,!N.0; 1/ind. E.K /DnVar.K /D2n i iD1 ( Z Z,!Nn.0; 1/ Student.n/ T./DRTDpoÙ E.T /D0Var.T /D 2 2 2 K ,! .n/n2 K =n ( 2 2 22 K =n1K ,! .n1/ n2 2n2.n1Cn22/ 1 1 FisherF .n1; n2.// FDŒ0;C1Œ FDoÙ E.F /DVar.F /D2 2 2 2n1.n22/ .n24/ K ,! .n2/ n22 K =n2 2 2  a; b2Ra < b > 02Rn; n > 01; n22N

B.1; p/

B.n; p/

HypergÉomÉtriqueH.N; n; p/X./D fm; : : : ; Mg

RÉcapitulatif des lois continues

Variance

Nn E.X /DnpVar.X /Dnpq N1 1 q E.X /DVar.X /D 2 p p r rq E.X /DVar.X /D 2 p p

Var.X /Dnpq

Var.X /Dpq

Notation

Nom

 X./DN

EspÉrance

Variance

k1 P .XDk/Dpq

P .XD0/Dq P.XD1/DpE.X /Dp

X./D f0; 1g

kn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Fonction de rÉpartition de la loi de PoissonP./

  Exemple:PP.2;5/64D0;8912

kn0,1 0,2 0,3 0,4 00,818 70,904 80,670 30,740 8 10,938 40,995 30,963 10,982 5 20,996 40,992 10,999 80,998 9 31,000 00,999 20,999 70,999 9 40,999 91,000 01,000 01,000 0 51,000 01,000 01,000 01,000 0

kn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0,367 9 0,735 8 0,919 7 0,981 0 0,996 3 0,999 4 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0

5,5 0,004 1 0,026 6 0,088 4 0,201 7 0,357 5 0,528 9 0,686 0 0,809 5 0,894 4 0,946 2 0,974 7 0,989 0 0,995 5 0,998 3 0,999 4 0,999 8 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0

1,5 0,223 1 0,557 8 0,808 8 0,934 4 0,981 4 0,995 5 0,999 1 0,999 8 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0

6 0,002 5 0,017 4 0,062 0 0,151 2 0,285 1 0,445 7 0,606 3 0,744 0 0,847 2 0,916 1 0,957 4 0,979 9 0,991 2 0,996 4 0,998 6 0,999 5 0,999 8 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0

2 0,135 3 0,406 0 0,676 7 0,857 1 0,947 3 0,983 4 0,995 5 0,998 9 0,999 8 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0

6,5 0,001 5 0,011 3 0,043 0 0,111 8 0,223 7 0,369 0 0,526 5 0,672 8 0,791 6 0,877 4 0,933 2 0,966 1 0,984 0 0,992 9 0,997 0 0,998 8 0,999 6 0,999 8 0,999 9 1,000 0 1,000 0

2,5 0,082 1 0,287 3 0,543 8 0,757 6 0,891 2 0,958 0 0,985 8 0,995 8 0,998 9 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0

7 0,000 9 0,007 3 0,029 6 0,081 8 0,173 0 0,300 7 0,449 7 0,598 7 0,729 1 0,830 5 0,901 5 0,946 7 0,973 0 0,987 2 0,994 3 0,997 6 0,999 0 0,999 6 0,999 9 1,000 0 1,000 0

0,5 0,606 5 0,909 8 0,985 6 0,998 2 0,999 8 1,000 0

3 0,049 8 0,199 1 0,423 2 0,647 2 0,815 3 0,916 1 0,966 5 0,988 1 0,996 2 0,998 9 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0

7,5 0,000 6 0,004 7 0,020 3 0,059 1 0,132 1 0,241 4 0,378 2 0,524 6 0,662 0 0,776 4 0,862 2 0,920 8 0,957 3 0,978 4 0,989 7 0,995 4 0,998 0 0,999 2 0,999 7 0,999 9 1,000 0

0,6 0,548 8 0,878 1 0,976 9 0,996 6 0,999 6 1,000 0

3,5 0,030 2 0,135 9 0,320 8 0,536 6 0,725 4 0,857 6 0,934 7 0,973 3 0,990 1 0,996 7 0,999 0 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0 1,000 0

8 0,000 3 0,003 0 0,013 8 0,042 4 0,099 6 0,191 2 0,313 4 0,453 0 0,592 5 0,716 6 0,815 9 0,888 1 0,936 2 0,965 8 0,982 7 0,991 8 0,996 3 0,998 4 0,999 3 0,999 7 0,999 9

0,7 0,496 6 0,844 2 0,965 9 0,994 2 0,999 2 0,999 9

4 0,018 3 0,091 6 0,238 1 0,433 5 0,628 8 0,785 1 0,889 3 0,948 9 0,978 6 0,991 9 0,997 2 0,999 1 0,999 7 0,999 9 1,000 0 1,000 0

8,5 0,000 2 0,001 9 0,009 3 0,030 1 0,074 4 0,149 6 0,256 2 0,385 6 0,523 1 0,653 0 0,763 4 0,848 7 0,909 1 0,948 6 0,972 6 0,986 2 0,993 4 0,997 0 0,998 7 0,999 5 0,999 8

0,8 0,449 3 0,808 8 0,952 6 0,990 9 0,998 6 0,999 8

4,5 0,011 1 0,061 1 0,173 6 0,342 3 0,532 1 0,702 9 0,831 1 0,913 4 0,959 7 0,982 9 0,993 3 0,997 6 0,999 2 0,999 7 0,999 9 1,000 0

9 0,000 1 0,001 2 0,006 2 0,021 2 0,055 0 0,115 7 0,206 8 0,323 9 0,455 7 0,587 4 0,70 6 0,80 3 0,875 8 0,926 1 0,958 5 0,978 0 0,988 9 0,994 7 0,997 6 0,998 9 0,999 6

0,9 0,406 6 0,772 5 0,937 1 0,986 5 0,997 7 0,999 7

5 0,006 7 0,040 4 0,124 7 0,265 0 0,440 5 0,616 0 0,762 2 0,866 6 0,931 9 0,968 2 0,986 3 0,994 5 0,998 0 0,999 3 0,999 8 0,999 9

9,5 0,000 1 0,000 8 0,004 2 0,014 9 0,040 3 0,088 5 0,164 9 0,268 7 0,391 8 0,521 8 0,645 3 0,752 0 0,836 4 0,898 1 0,940 0 0,966 5 0,982 3 0,991 1 0,995 7 0,998 0 0,999 1

10 0,000 0 0,000 5 0,002 8 0,010 3 0,029 3 0,067 1 0,130 1 0,220 2 0,332 8 0,457 9 0,583 0 0,696 8 0,791 6 0,864 5 0,916 5 0,951 3 0,973 0 0,985 7 0,992 8 0,996 5 0,998 4

t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

Fonction de rÉpartition de la loi de normaleN.0; 1/

0,00 0,500 0 0,539 8 0,579 3 0,617 9 0,655 4 0,691 5 0,725 7 0,758 0 0,788 1 0,815 9 0,841 3 0,864 3 0,884 9 0,903 2 0,919 2 0,933 2 0,945 2 0,955 4 0,964 1 0,971 3 0,977 2 0,982 1 0,986 1 0,989 3 0,991 8 0,993 8 0,995 3 0,996 5 0,997 4 0,998 1 0,998 7 0,999 0 0,999 3 0,999 5 0,999 7

0,01 0,504 0 0,543 8 0,583 2 0,621 7 0,659 1 0,695 0 0,729 1 0,761 1 0,791 0 0,818 6 0,843 8 0,866 5 0,886 9 0,904 9 0,920 7 0,934 5 0,946 3 0,956 4 0,964 9 0,971 9 0,977 8 0,982 6 0,986 4 0,989 6 0,992 0 0,994 0 0,995 5 0,996 6 0,997 5 0,998 2 0,998 7 0,999 1 0,999 3 0,999 5 0,999 7

  Exemple:PN.0; 1/61;33D0;908 2.

0,02 0,508 0 0,547 8 0,587 1 0,625 5 0,662 8 0,698 5 0,732 4 0,764 2 0,793 9 0,821 2 0,846 1 0,868 6 0,888 8 0,906 6 0,922 2 0,935 7 0,947 4 0,957 3 0,965 6 0,972 6 0,978 3 0,983 0 0,986 8 0,989 8 0,992 2 0,994 1 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,998 2 0,998 7 0,999 1 0,999 4 0,999 5 0,999 7

0,03 0,512 0 0,551 7 0,591 0 0,629 3 0,666 4 0,701 9 0,735 7 0,767 3 0,796 7 0,823 8 0,848 5 0,870 8 0,890 7 0,908 2 0,923 6 0,937 0 0,948 4 0,958 2 0,966 4 0,973 2 0,978 8 0,983 4 0,987 1 0,990 1 0,992 5 0,994 3 0,995 7 0,996 8 0,997 7 0,998 3 0,998 8 0,999 1 0,999 4 0,999 6 0,999 7

0,04 0,516 0 0,555 7 0,594 8 0,633 1 0,670 0 0,705 4 0,738 9 0,770 4 0,799 5 0,826 4 0,850 8 0,872 9 0,892 5 0,909 9 0,925 1 0,938 2 0,949 5 0,959 1 0,967 1 0,973 8 0,979 3 0,983 8 0,987 5 0,990 4 0,992 7 0,994 5 0,995 9 0,996 9 0,997 7 0,998 4 0,998 8 0,999 2 0,999 4 0,999 6 0,999 7

0,05 0,519 9 0,559 6 0,598 7 0,636 8 0,673 6 0,708 8 0,742 2 0,773 4 0,802 3 0,828 9 0,853 1 0,874 9 0,894 4 0,911 5 0,926 5 0,939 4 0,950 5 0,959 9 0,967 8 0,974 4 0,979 8 0,984 2 0,987 8 0,990 6 0,992 9 0,994 6 0,996 0 0,997 0 0,997 8 0,998 4 0,998 9 0,999 2 0,999 4 0,999 6 0,999 7

0,06 0,523 9 0,563 6 0,602 6 0,640 6 0,677 2 0,712 3 0,745 4 0,776 4 0,805 1 0,831 5 0,855 4 0,877 0 0,896 2 0,913 1 0,927 9 0,940 6 0,951 5 0,960 8 0,968 6 0,975 0 0,980 3 0,984 6 0,988 1 0,990 9 0,993 1 0,994 8 0,996 1 0,997 1 0,997 9 0,998 5 0,998 9 0,999 2 0,999 4 0,999 6 0,999 7

0,07 0,527 9 0,567 5 0,606 4 0,644 3 0,680 8 0,715 7 0,748 6 0,779 4 0,807 8 0,834 0 0,857 7 0,879 0 0,898 0 0,914 7 0,929 2 0,941 8 0,952 5 0,961 6 0,969 3 0,975 6 0,980 8 0,985 0 0,988 4 0,991 1 0,993 2 0,994 9 0,996 2 0,997 2 0,997 9 0,998 5 0,998 9 0,999 2 0,999 5 0,999 6 0,999 7

0,08 0,531 9 0,571 4 0,610 3 0,648 0 0,684 4 0,719 0 0,751 7 0,782 3 0,810 6 0,836 5 0,859 9 0,881 0 0,899 7 0,916 2 0,930 6 0,942 9 0,953 5 0,962 5 0,969 9 0,976 1 0,981 2 0,985 4 0,988 7 0,991 3 0,993 4 0,995 1 0,996 3 0,997 3 0,998 0 0,998 6 0,999 0 0,999 3 0,999 5 0,999 6 0,999 7

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