Exercices sur les séries numériques et entières
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Exercices sur les séries (numériques et entières) Exercice 1 Déterminer en fonction du paramètre ? ? R si la série donnée est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : a) ∑ n≥1 (?1)n ln ( 1 + 1n? ) , b) ∑ n≥1 exp (arctann?), c) ∑ n≥1 arctan exp(n?), d) ∑ n≥1 (?1)n(n!)?. Exercice 2 Déterminer si la série de terme général an = 1n2+n converge et le cas échéant, calculer sa somme (pour n ≥ 1). Exercice 3 Déterminer la nature de la série de terme général an dans les cas suivants : a) an = 1n lnn , b) an = 1 n2?3n+2 , c) an = 1 n(n?2) , d) an = n! nn , e) an = 3n n! , f) an = 3n+4n 5n , g) an = (?1)n√ n , h) an = (?1) n n n+1 , i) an = 2n+1 n3?4 , j) an = (?1) n 2nn2 n! , k) an = (?1) n 22n (2n)! .
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Exercices sur les séries (numériques et entières) Exercice 1 Déterminer en fonction du paramètre ? ? R si la série donnée est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : a) ∑ n≥1 (?1)n ln ( 1 + 1n? ) , b) ∑ n≥1 exp (arctann?), c) ∑ n≥1 arctan exp(n?), d) ∑ n≥1 (?1)n(n!)?. Exercice 2 Déterminer si la série de terme général an = 1n2+n converge et le cas échéant, calculer sa somme (pour n ≥ 1). Exercice 3 Déterminer la nature de la série de terme général an dans les cas suivants : a) an = 1n lnn , b) an = 1 n2?3n+2 , c) an = 1 n(n?2) , d) an = n! nn , e) an = 3n n! , f) an = 3n+4n 5n , g) an = (?1)n√ n , h) an = (?1) n n n+1 , i) an = 2n+1 n3?4 , j) an = (?1) n 2nn2 n! , k) an = (?1) n 22n (2n)! .
- nature de la série
- série entière
- xk ?
- développement en série entière de arcsinx
- n≥1
- pi n3
- série de données
- solution formelle
- rayon de convergence
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Français
Exercices sur les sÉries (numÉriques et entiÈres)
Exercice 1 DÉterminer en fonction du paramÈtreα∈Rsi la sÉrie donnÉe est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : P PP P n1α αn α a)(−+1) ln 1α, b)exp (arctann), c)arctan exp(n), d)(−1) (n!). n n≥1n≥1n≥1n≥1
Exercice 2 1 DÉterminer si la sÉrie de terme gÉnÉralan=2converge et le cas ÉchÉant, calculer sa somme n+n (pourn≥1).
Exercice 3 DÉterminer la nature de la sÉrie de terme gÉnÉralandans les cas suivants : n nn 1 11n! 33 +4 a)an=, b)an=2, c)an=, d)an=n, e)an=, f)an=n, nlnn n−3n+2n(n−2)n n! 5 n n2 2n −1) (n n2n+1n2n n2 √ g)an=, h)an= (−1), i)an=3, j)an= (−1), k)an= (−1). n n+1n−4n! (2n)! Exercice 4 1 1) Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralun=,n∈Nconverge. n 2 1 2) Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralvn=,n∈Nconverge. n! n 3) Soita >0quelle condition sur. Aa, la sÉrie de terme gÉnÉralun=a, converge-t-elle ? Exercice 5 n X n 1) Montrer que la suite(un)dÉfinie pour toutn∈Nparun:=converge et 2 n+k k=1 dÉterminer sa limite. n X 1 2) Mme question pourvn:=√,n∈N. 2 n+k+ 1 k=0 Exercice 6 P DÉterminer la nature de la sÉrie(un)dans les cas suivants: n 1 i)un:=e−1 +,n∈N. n √ n n ii)un:=√,n∈N. n+ 1 1 1 iii)un:= ln√ −lnsin√,n∈N. n n
Exercice 7 n X 1 1) Montrer que∼lnn. n→+∞ k k=1 n X 1 2) Montrer qu’il existe une constante (constante d’Euler), notÉeγ, telle que−lnn∼γ. k ∞ k=1
1
1 11 3) On posexn:=−lnn+ ln (n−1)pour toutn≥2que. Montrerxn=−+o. 2 2 n2n n ∞ ∞ X X 1 1 En dÉduire quexk∼ −. n→+∞2 2n k=n+1k=n+1 1 11 4) Pour toutn≥2, on poseyn:=−que. Montreryn∼ −. n→+∞2 n n−1n ∞ ∞ X X 1 11 En dÉduire que∼puis quexk∼ −. 2n→+∞n→+∞ k n2n k=n+1k=n+1 n X 1 11 5) Montrer que= lnn+γ+ +o. k2n n k=1
Exercice 8 k k−1 1 1) On posexk:=−pour toutn≥3que. Montrerxk∼. n→+∞ lnkln (k−1) lnk n X 1n En dÉduire que∼. n→+∞ lnklnn k=2 1 1 2) Pourn≥3, on poseyn:=−xkque. Montreryk∼. 2 n→+∞ lnklnk n n X X 1n1 En dÉduire que− ∼. 2 n→+∞ lnklnnlnk k=2k=2 n X 1n n Montrer que− ∼. 2 n→+∞ lnklnnlnn k=2
Exercice 9 Soit(un)une suite rÉelle positive. P PPun 2 rouver la nature des sÉries( ),et 1) Onsuppose que(un)converge. Tun 1 +un Pun . 1 +nun P PunPun 2) Onsuppose que(un)la nature des sÉriesdiverge. Trouver, 1 +un1 +nun Pun et . 2 1 +n un
Exercice 10 P DÉterminer la nature des sÉries(un)dans les cas suivants: √1 n i)un:= (−1)nsin ,n∈N. n 3 n+ 1 ii)un:=sinπ,n∈N. 2 n+ 1
Exercice 11 ∗ Soitn∈Nnote. Ond(n)le nombre de diviseurs den. Montrerque pour toutk≥2, !2 ∞ ∞ X X d(n) 1 =. k k n n n=1n=1 Exercice 12 P n DÉterminer le rayon de convergence de la sÉrie entiÈreanzdans les cas suivants: lnnlnncos(n) lnn an n i)an= lnn, ii)an=, iii)an=, iv)an=, v)an=poura >0, n n n2 (lnn)n! 1 (n+ )n! n(2n)! (−1)n vi)an=n, vii)an=, viii)an=p. 2n n!(n−1)! 2 (2n)! Exercice 13 DÉterminer le rayon de convergence et calculer les sommes suivantes: +∞+∞+∞+∞ X XX X n4n−1 3n nxx x (−1)n i)n x., iii), iv), ii) n(n+ 1)(n+ 2)4n−1 (3n)! n=1n=1n=1n=0 Exercice 14 DÉterminer le dÉveloppement en sÉrie entiÈre dearcsinxetarctanxpourx∈]−1,1[. Exercice 15 Chercher sous forme de sÉries entiÈres les solutions des Équations diffÉrentielles suivantes et indiquer leur rayon de convergence: 0 i)y=xy, 00 0 ii)xy+ (1−x)y+ 3y= 0.
Exercice 16 Pn n−1x Soit la sÉrie entiÈre(−1). DÉterminerson rayon de convergence, puis son intervalle n n≥1 de convergence.Lorsque cette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?
Exercice 17 P2n+1 n x Soit la sÉrie entiÈre(−1). DÉterminerson rayon de convergence, puis son intervalle 2n+1 n≥0 de convergence.Lorsque cette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?En dÉduire la P n1 valeur de(−1). 2n+1 n≥0
Exercice 18 P2n n x Soit la sÉrie entiÈre(−1)son rayon de convergence, puis son intervalle de. DÉterminer n! n≥0 convergence. Lorsquecette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?
Exercice 19 P n DÉterminer le rayon de convergence, puis l’intervalle de convergence de la sÉrie entiÈreanx n≥1 avec :
n n nn n1 1 a)an=n, b)an=, c)an= 3, d)an= 2+ 3, e)an=n n, f)an=n n, n+5! 3n3 +5 2n 1 1n1n2 g)an=n!, h)an=n, i)an=, j)an= (−1), k)an= (−1). n n!n! (2n)! Exercice 20 DÉterminer le rayon de convergence, puis l’intervalle de convergence de chacune des sÉries entiÈres suivantes : P PnPnP2n+1P2n (x+3) (x−5) 1n nn xn x a)2n(x−2), b)(−1), c)n n, d)(−1), e)(−1). n3n3 +4(2n+1)! (2n)! n≥1n≥1n≥1n≥0n≥0
Exercice 21 ConsidÉrons la sÉrie de fonctions +∞ X nx (1)(n+ 3)e n=0 de la variablex∈R. a) Prouver que (1) est divergente quel que soitx≥0. b) Prouver que (1) est absolument convergente quel que soitx <0. c) Dans ce dernier cas, Établir la formule +∞ x X 3−2e nx = (n+ 3)e . x2 (1−e) n=0
Exercice 22 Le but est ici de dÉterminer la solution du problÈme aux valeurs initiales (pourx∈R) 02 (2)y(x) =x+y(x), y(0) = 1 par la mÉthode des sÉries entiÈres.Soit X n (3)y(x) =anx . n≥0 a) Prouver que (3) est solution formelle de (2) si et seulement si 1an a0=a1= 1, a2=a3=, an+1=, 2n+ 1 ∗ la derniÈre relation ayant lieu quelque soitn∈N,n≥3. b) En utilisant le rÉsultat prÉcÉdent, dÉterminer explicitement tous les cœfficientsan, puis le rayon et l’intervalle de convergence de la sÉrie entiÈre (3) ainsi obtenue et enfin la solution dÉsirÉe.
