EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
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Niveau: Supérieur
SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES 1. Etudier les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous. a) f(t) = ( cos t cos t 2 , sin t 2 ) b) f(t) = ( sin 2t , sin 2t 2 cos2 t + 1 ) c) f(t) = (sin(π sin t) , sin(π cos t)) d) f(t) = (sin t + sin 2t + 1 3 sin 3t , cos t + cos 2t + 1 3 cos 3t) 2. Etudier localement les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous au voisinage du point t0 indiqué. a) t0 = 1 f(t) = (1 + t(t? 2)(t? 1)3 , ?1 + (t2 ? 2t + 5)(t? 1)3) b) t0 = 0 f(t) = ( sin3 t 1 + t , (1 + t)(sh t? sin t) ) c) t0 = 1 f(t) = ( t(3? 2t)(t? 1)2 , t? 1 + 1t ) d) t0 = ∞ f(t) = ( ?2 + 2t 2 + 4t + 3 (t + 1)7 , 1? 3t2 + 6t + 5 (t + 1
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SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES 1. Etudier les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous. a) f(t) = ( cos t cos t 2 , sin t 2 ) b) f(t) = ( sin 2t , sin 2t 2 cos2 t + 1 ) c) f(t) = (sin(π sin t) , sin(π cos t)) d) f(t) = (sin t + sin 2t + 1 3 sin 3t , cos t + cos 2t + 1 3 cos 3t) 2. Etudier localement les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous au voisinage du point t0 indiqué. a) t0 = 1 f(t) = (1 + t(t? 2)(t? 1)3 , ?1 + (t2 ? 2t + 5)(t? 1)3) b) t0 = 0 f(t) = ( sin3 t 1 + t , (1 + t)(sh t? sin t) ) c) t0 = 1 f(t) = ( t(3? 2t)(t? 1)2 , t? 1 + 1t ) d) t0 = ∞ f(t) = ( ?2 + 2t 2 + 4t + 3 (t + 1)7 , 1? 3t2 + 6t + 5 (t + 1
- intervalle i0
- courbe
- exercices sur les courbes parametrees
- point singulier
- i1 en π
- multiple entier des périodes précédentes
- voisinage du point t0
- bijection de i1
- période
SEMESTRE D’AUTOMNE EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
1. Etudier les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous. a) f ( t ) = cos t cos t 2 sin t 2 b) f ( t ) = sin 2 t 2cosisn 2 t 2 t + 1 c) f ( t ) = (sin( π sin t ) sin( π cos t )) d) f ( t ) = (sin t + sin 2 t +13sin3 t cos t + cos 2 t +31cos3 t ) 2. Etudier localement les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous au voisinage du point t 0 indiqué. a ) t 0 = 1 f ( t ) = (1 + t ( t − 2)( t − 1) 3 − 1 + ( t 2 − 2 t + 5)( t − 1) 3 ) b ) t 0 = 0 f ( t ) = sin 3 t (1 + t )(sh t − sin t ) 1 + t c ) t 0 = 1 f ( t ) = t (3 − 2 t )( t − 1) 2 t − 1 + t 1 d ) t 0 = ∞ f ( t ) = 2 2 t 2 ( t ++41 t ) 7 + 3 1 − 3 t ( 2 t ++61 t ) 7 + 5 − + e ) t 0 = 1 f ( t ) = 1 t − 2 2 te ( t − 2 + 1 t )
3. Etudier la courbe représentative de la fonction f définie ci-dessous (on étudiera soigneusement le point singulier).
f ( t ) (c 2 os 2 t sin t cos t ) = os t − c 2
4. Etudier les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous (présence d’asymptotes). a) f ( t ) = tan t cos t − 3 π b) f ( t ) = t 2 + t 2 − 3 31 t 2 − 16 t 1 1 c) f ( t ) = t ( t + 4) t − 2 + t d) f ( t ) = (sin t + tan t cos t + tan t )
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