EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS

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Niveau: Supérieur
SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS 1. Calculer, lorsque c'est possible, les limites des fonctions f définies ci-dessous en +∞ et ?∞ : a) f(x) = x2 + 2x? 3 2x2 + x + 3 b) f(x) = x? 1 + √ x2 ? x + 3 c) f(x) = √ x + 1 + √ x? 1√ x + 2 d) f(x) = x + 4√ x2 + x + 1 e) f(x) = |x + 1| |x| ? 2 f) f(x) = ex ? x2 ex + x2 g) f(x) = ln lnx x2 h) f(x) = x3(lnx)2 3x i) f(x) = 2 sh2 x? sh 2x 2. Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en +∞ à la fonction proposée. En déduire sa limite en +∞ si elle existe. (Dans cet exercice, a désigne un nombre réel quelconque, et n un entier naturel). a) f(x) = a + 2x 2 + ax ? √ x + 1 b) f(x) = x + a √ x2 + 1 c) f(x) = x2 ? √ x4 + 2xn + 3 x d) f(x)

x? √

formule de taylor-young

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Théorème de Taylor

SEMESTRE D’AUTOMNE EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS

1.Calculer, lorsque c’est possible, les limites des fonctionsfdéﬁnies ci-dessous en+∞et−∞: a)f(x) =x22x2+2+xx+−33b)f(x) =x−1 +x2−x+ 3c)f(x) =√x+ 1x2++x−1 d)f( ) =x 1+ 4e)f(x) =||xx|+−12|f)f(x) =eexx+−xx22 x√x2+x+ g)f(x ln) =xl2nhx)f(x) =x33l(nxx)2i)f(x sh) = 22x−sh 2x 2.Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en+∞à la fonction proposée. En déduire sa limite en+∞si elle existe. (Dans cet exercice,adésigne un nombre réel quelconque, etnun entier naturel).

1b2−4+ 2xn+ 3 a)f(x 2) =a++a2xx−x+ )f(x) =x+a x2+ 1c)f(x) = xx x d)f( )x2xs3ninlxxnl++exx)f(x) =x2+ exp((lnx)2)f)f(x (ln) =x)5x+x x=

3.Calculer le développement limité en0des fonctions suivantes x a) (1 + 2 arctanx)(2e−sinx)ordre3b) (x+ 1)(x−2)(x−3)ordre2 ordrxord ccch)2+arxtanxe4d)ex1re3 − e) ln(1x+−x3x)ordre3f + cos) 2xordre2 tan g)e2+cosxordre2h + 2) (1x)1xordre2 i) l ln(1x+x)ordre2j)31 + sinxordre3 n k) cos(ex)ordre2l +) argsh 1xordre2

4.En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer led.l.dearctanxà l’ordre 3 au voisinage de 1. Puis retrouver ce résultat à partir dud.l.de la dérivée d’arctanxau voisinage de1sans utiliser la formule de Taylor-Young .

5.Trouver les développements limités des fonctions suivantes : a)f(x) = cosxà l’ordre 3 enπ3 b)f(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) enà l’ordre 2−1 c)f(x) = lnxà l’ordre 2 en3 d)f(x) = (tanx)tan(2x)à l’ordre3enπ4. 6.a) Déterminer le développement limité d’ordre13en0dearctan(1x2). b) Montrer que, quel que soitn >0, le développement limité d’ordrenen0deth(1x2)vaut 1 +◦(xn).

7.Trouver un équivalent simple, lorsquextend vers zéro des fonctions suivantes : a)x(2−cosx)−arctanx b)ecosx+echx−2e x c) tanx−4xsinx dsocnlchln1+)x 8.Calculer les limites des fonctions suivantes en utilisant les développements limités. 1x2 a) sinxsi−n3arxcsinx(x→0)b)snishxx(x→0) x ) 5x−)3d()xxe−−ee)x2(x→e) c4x−2x(x→0 e)11−+xx1x(x→0)f) cotan2x−x12(x→0) 9.Calculer les limites des suites suivantes. un += 1x a)nn(xréel) b)un√a2+nb!n(a bréels positifs). n= 10.Etudier au voisinage de zéro, les fonctionsfsuivantes e−x− a)f(x) =x1 3 ln(1 +x)−ln(1 +x3) b)f(x) = 3x 11.Etudier à l’inﬁni, les fonctions suivantes a)f(x) =x(1 +x)e3(2x) b)f(x) =xxx−13+ − c)f(x) = ln(e2x−ex+ 3e−3x+ex+ 1)

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