EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS
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Niveau: Supérieur
SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS 1. Calculer, lorsque c'est possible, les limites des fonctions f définies ci-dessous en +∞ et ?∞ : a) f(x) = x2 + x + 2 3x2 ? x? 4 b) f(x) = x + √ x2 + x + 1 c) f(x) = √ x + √ x? 1√ x? 1 d) f(x) = x? 3√ x2 + 1 e) f(x) = |x? 1| |x| ? 1 f) f(x) = ex ? x ex + x g) f(x) = ln lnx x h) f(x) = x2(lnx)3 2x i) f(x) = 2 ch2 x? sh 2x 2. Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en +∞ à la fonction proposée. En déduire sa limite en +∞ si elle existe. (Dans cet exercice, a désigne un nombre réel quelconque, et n un entier naturel). a) f(x) = a + x 1 + ax ? √ x b) f(x) = x + a √ x2 + 2 c) f(x) = x3 ? √ x6 + xn + 1 x d) f(x) = x4 cosx x2 + lnx e) f(x) =
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SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS 1. Calculer, lorsque c'est possible, les limites des fonctions f définies ci-dessous en +∞ et ?∞ : a) f(x) = x2 + x + 2 3x2 ? x? 4 b) f(x) = x + √ x2 + x + 1 c) f(x) = √ x + √ x? 1√ x? 1 d) f(x) = x? 3√ x2 + 1 e) f(x) = |x? 1| |x| ? 1 f) f(x) = ex ? x ex + x g) f(x) = ln lnx x h) f(x) = x2(lnx)3 2x i) f(x) = 2 ch2 x? sh 2x 2. Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en +∞ à la fonction proposée. En déduire sa limite en +∞ si elle existe. (Dans cet exercice, a désigne un nombre réel quelconque, et n un entier naturel). a) f(x) = a + x 1 + ax ? √ x b) f(x) = x + a √ x2 + 2 c) f(x) = x3 ? √ x6 + xn + 1 x d) f(x) = x4 cosx x2 + lnx e) f(x) =
- x? √
- voisinage
- formule de taylor-young
- e?x
- ex ?
- arctanx
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SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS
1.Calculer, lorsque c’est possible, les limites des fonctionsfdéfinies ci-dessous en+∞et−∞: a)f(x 3) =xx22+−xx+−42b)f(x) =x+x2+x+ 1c)f(x) =x+x−√x1−1 d)f x−3e)f( (x) =x2+ 1x) =||xx−|−11|f)f(x) =eexx+−xx g)f(x l ln) =xnxh)f(x) =x2l(n2xx)3i)f(x) = 2 ch2x−sh 2x 2.Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en+∞à la fonction proposée. En déduire sa limite en+∞si elle existe. (Dans cet exercice,adésigne un nombre réel quelconque, etn un entier naturel). a)f(x) = 1a++axx−x b)f(x) =x+a x2+ 2c)f(x) =x3−x6x+xn+ 1 d)f( )xx42oscln+xex)f(x) =x3−e−xf)f(x) =x2x3ncoslxx++lxn2x x= g)f(x) =x+ exp((lnx)2)h)f(x) = (lnx)3+x i)f(x) = (lnx)5+x(05)x
3.Calculer le développement limité en0des fonctions suivantes a) (1 + arctanx)(ex+ 2 sinx)ordre3b) (x−1)(x−2)(x−4)ordre2 cs)1corct+axanxordre4d)exx−1ordre5 e) lxn(−s1+inx3x)ordre3f) 1 + 2 cosxordre2 g)e1+2 cosxordre2h) (1 +x)1xordre2 i) ln sinxxordre4j)31 + ln(1 +x)ordre3 k) cos(ecosxx)ordre4l + 2) argchxordre2
4.En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer led.l.dearctanxà l’ordre 3 au voisinage de 1. Puis retrouver ce résultat à partir dud.l.de la dérivée d’arctanxau voisinage de1.
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5.Trouver les développements limités des fonctions suivantes : a)f(x) = sinxà l’ordre 3 enπ6 b)f(x) = (x−1)(x−2)(x−3) 1à l’ordre 2 en c)f(x) = lnx en 4à l’ordre 2 df(x) = (tanx)tan(2x)à l’ordre3enπ4. 6.a) Déterminer le développement limité d’ordre13en0dearctan(1x2). b) Montrer que, quel que soitn >0, le développement limité d’ordrenen0deth(1x2)vaut1 +◦(xn).
7.Trouver un équivalent simple, lorsquextend vers zéro des fonctions suivantes : a)x(1 + cosx)−2 tanx b)ecosx+echx−2e ln cosx c) sinx−4xtanx d ch + ln) 1x 8.Calculer les limites des fonctions suivantes en utilisant les développements limités. a)x−raisn3csxinx(x→0)b)sinshxx1x2(x→0) c3)8xx−24xx(x→0)d)xe−ex(x→e) −(x−e)2 e)+11−xx1x(x→0)f) cotan2x−x12(x→0) 9.Calculer les limites des suites suivantes. a)un=1 +nxn(xréel) b)un=na2+nb!n(a bréels positifs). 10.Etudier au voisinage de1, la fonctionfdéfinie par f(x) =x+ 2x−3 +x 11.Etudier au voisinage de0, la fonctionfdéfinie par f(x 1) =xex−6−6x3 12.Etudier à l’infini, les fonctions suivantes a)f(x) =px(2 +x)e1x b)f =( )x x−1 x x+ 1 c)f(x) = ln(e2x−ex+ 3e−3x+ 1)
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