EXERCICES SUR L'INTEGRATION
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SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR L'INTEGRATION 1. Soit f une fonction continue de R dans R. Calculer F ?(x) dans les cas suivants : a) F (x) = x2+x ∫ 3x+2 f(t) dt , b) F (x) = x ∫ 0 (x2 + 2f(t))2 dt. 2. A l'aide des sommes de Riemann d'une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. an = 1 n n ∑ k=1 cos kπ n , bn = n ∑ k=0 n (n? + k)2 (? > 0) , cn = 1 n ( (2n)! n! )1/n 3. Soit ? > 0. Trouver un équivalent simple de un = n ∑ k=1 k?. 4. Soit f une fonction continue de [ a, b ] dans R+. Montrer que l'on a ? ? b ∫ a √ f(x) dx ? ? 2 ≤ (b? a) b ∫ a f(x) dx , et que l'égalité a lieu si et seulement si f est constante.
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SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR L'INTEGRATION 1. Soit f une fonction continue de R dans R. Calculer F ?(x) dans les cas suivants : a) F (x) = x2+x ∫ 3x+2 f(t) dt , b) F (x) = x ∫ 0 (x2 + 2f(t))2 dt. 2. A l'aide des sommes de Riemann d'une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. an = 1 n n ∑ k=1 cos kπ n , bn = n ∑ k=0 n (n? + k)2 (? > 0) , cn = 1 n ( (2n)! n! )1/n 3. Soit ? > 0. Trouver un équivalent simple de un = n ∑ k=1 k?. 4. Soit f une fonction continue de [ a, b ] dans R+. Montrer que l'on a ? ? b ∫ a √ f(x) dx ? ? 2 ≤ (b? a) b ∫ a f(x) dx , et que l'égalité a lieu si et seulement si f est constante.
- pi ∫
- ex dx
- ln cn
- formule de taylor avec reste intégral
- dx cos
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SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR L’INTEGRATION
1. Soit f une fonction continue de R dans R . Calculer F ′ ( x ) dans les cas suivants : x 2 + x x a) F ( x ) = Z f ( t ) dt b) F ( x ) = Z ( x 2 + 2 f ( t )) 2 dt . 3 x +2 0 2. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme général est donné ci-dessous. 1 n X n cos knπb n = kn X =0 ( nαn + k ) 2 ( α > 0) c n = n 1 (2 nn !)! 1 n a n = k =1 n 3. Soit α > 0 . Trouver un équivalent simple de u n = X k α . k =1 4. Soit f une fonction continue de [ a b ] dans R + . Montrer que l’on a Z ab f ( x ) dx 2 ≤ ( b − a ) a Z b f ( x ) dx et que l’égalité a lieu si et seulement si f est constante. 5. Calculer les intégrales I suivantes
1 π 4 π π a ) Z ( e − e xx d + x 1) 2 b ) Z cos x (sin dxx + cos x ) c ) Z sin 3 x cos 4 x dx d ) Z 1co+s 7 s 9 in x 1 d 5 xx 0 0 0 0 1 2 1 e ) Z xx ++32 3 dx f ) Z π 1co+s 2 si x n xdxg ) Z 1 1 − xd 2 x arcsin xh ) Z x (arctan x ) 2 dx 0 0 1 2 0 π 2 6. Soit I n = Z cos n x dx (Intégrales de Wallis). Pour n ≥ 2 établir, en intégrant par parties, 0 une relation de récurrence entre I n et I n − 2 . En déduire la valeur de I n . 7. Soit f une fonction de classe C n +1 sur [ a b ] , montrer que l’on a la formule suivante b f ( b ) = f ( a ) + b 1 − ! af ′ ( a ) + + ( b − n ! a ) n f ( n ) ( a ) + Z ( b − n ! t ) n f ( n +1) ( t ) dt a (Formule de Taylor avec reste intégral).
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