Examen M2 recherche Lille mars TRAN Viet Chi chi univ lille1 fr Bureau Batiment M3 Duree heures Documents autorises Notes de cours
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Examen M2 recherche (Lille 1) - 17 mars 2010 TRAN Viet Chi (, Bureau 316 Batiment M3) Duree : 3 heures. Documents autorises : Notes de cours Dans tout le sujet, on considerera un espace filtre (?,F , (Ft)t≥0,P) sur lequel seront definis nos processus, mouvements Browniens... Exercice 1 (Aire de Levy) Soient (Xt)t≥0 et (Yt)t≥0 deux (Ft)-mouvements Browniens independants, issus de 0. On definit pour tout t ≥ 0 : St = ∫ t 0 XsdYs ? ∫ t 0 YsdXs. 1. Calculer le crochet de S et en deduire que S est une martingale de carre integrable. 2. Soit f une fonction de classe C∞ sur R+ et soit ? > 0. A l'aide de la formule d'Ito, donner les decompositions des semimartingales : Zt = cos(?St) Wt =? f ?(t) 2 (X2t + Y 2 t ) + f(t). 3. Que vaut le crochet ?Z,W ?t ? 4. Montrer que pour que le processus (Zt exp(Wt))t≥0 est une martingale locale, il suffit que la fonction f soit solution de l'equation differentielle suivante : f ??(t) = f ?(t)2 ? ?2.
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Examen M2 recherche (Lille 1) - 17 mars 2010 TRAN Viet Chi (, Bureau 316 Batiment M3) Duree : 3 heures. Documents autorises : Notes de cours Dans tout le sujet, on considerera un espace filtre (?,F , (Ft)t≥0,P) sur lequel seront definis nos processus, mouvements Browniens... Exercice 1 (Aire de Levy) Soient (Xt)t≥0 et (Yt)t≥0 deux (Ft)-mouvements Browniens independants, issus de 0. On definit pour tout t ≥ 0 : St = ∫ t 0 XsdYs ? ∫ t 0 YsdXs. 1. Calculer le crochet de S et en deduire que S est une martingale de carre integrable. 2. Soit f une fonction de classe C∞ sur R+ et soit ? > 0. A l'aide de la formule d'Ito, donner les decompositions des semimartingales : Zt = cos(?St) Wt =? f ?(t) 2 (X2t + Y 2 t ) + f(t). 3. Que vaut le crochet ?Z,W ?t ? 4. Montrer que pour que le processus (Zt exp(Wt))t≥0 est une martingale locale, il suffit que la fonction f soit solution de l'equation differentielle suivante : f ??(t) = f ?(t)2 ? ?2.
- critere d'unicite de yamada-watanabe
- martingale locale
- mouvements browniens
- x?t ≥
- meme mouvement
- eds de black
- xs ?x
- unicite trajectorielle pour l'eds en dimension
- solution de l'equation differentielle
Examen M2 recherche (Lille 1) - 17 mars 2010 TRAN Viet Chi (chi.tran@math.univ-lille1.fr)M3,Bu13B6eruaemtnaˆit Dur´ee:3 heuressie´:semucoD.rotuastnNotes de cours
Danstoutlesujet,onconside´reraunespacefiltr´e(Ω,F,(Ft)t≥0,Ps)rusonsind´efirontelselequ processus, mouvements Browniens...
Exercice1(AiredeL´evy) Soient (Xt)t≥0et (Yt)t≥0deux (Ftadnepe´dussi,stnrosBntmeinnsiewn)m-uoev.Ondsde0it´efin pour toutt≥0 : Z Z t t St=XsdYs−YsdXs. 0 0 1.Calculer le crochet deSdne´udriequeeetS.leabgr´etnie´rracedelagnunemartiest
∞ 2.Soitfune fonction de classeCsurR+et soitλ >rneAl’a0.elafidedel’droumd,notIoˆ lesd´ecompositionsdessemimartingales: Zt= cos(λSt) 0 f(t) 2 2 Wt=−(X+Y) +f(t). t t 2 3.Que vaut le crochethZ, Wit? 4.Montrer que pour que le processus (Ztexp(Wt))t≥0est une martingale locale, il suffit que la fonctionf’leduqe´ulosnoitre´eientioatiffndvauiessolilte:nt 00 02 2 f(t) =f(t)−λ .(1) 5.Soitr >lefareuqoinnotcerifi0.V´f(t) =−log cosh(λ(r−t))stsetulodnoiel’´equation diffe´rentielle(1)etende´duireE(cos(λSr)) en fonction d’un cosh. On rappelle que : x−x e+e cosh(x) =. 2
Exercice2(Prixd’uncallEurope´en) Onconsid`erel’EDSdeBlacketScholes,avecb,σ >0 etBun mouvement Brownien standard : dSt=bStdt+σStdBtS0=s0. 1.erquontrMemusueenixtsi’el´eitilabobprdereQa`etnelaviuqe´Psous laquelleSest une martingale. Quel est son crochet? 2.suCoidnsro´esonsPla solution de l’EDS suivante : Z t Mt=s0+σMsdBs.(2) 0 1
Justifierpourquoionaexistenceetunicit´etrajectorielledelasolutionM? ∗ 3.Montrer queB=Bt−bt/σest unQeom-mevuBtnenworien.Enutilisantlu’inic´tfeialbde t (2), justifier que pour toute fonction mesurable positive et pour toutt≥0 : Q Ef(St) =Ef(Mt), Q o`uEsurenaecosl’stp´esePetElncesous’esp´eraQ. 4.autence,mps’uqellepparnOneeep´roEullcaunarppqfiucaittsnuh´ean´ec`asoorteT >0 la valeur (ST−K)+avecK >0. On recherche la valeur de cet actif au tempst= 0. Puisque Q Sest une martingale sousQ, le prix du call sousQestπ=E(ST−K)+. Calculerπ(on pourras’arreˆtera`l’e´crituredeπinmeomc.)eoniolamrertainelrt`aunecaprrpaop´tgearel Exercice3(Crite`red’unicite´deYamada-Watanabe) Lebutdecetexerciceestdemontrerl’unicit´etrajectoriellepourl’EDSendimension1suivante, sousre´served’existencedessolutions: dXt=b(Xt)dt+σ(Xt)dBt,(3) avec la condition initialeX0=x0∈Rte´dimre(sqoruestni,le)betσsatisfont les conditions suivantes pour tousx, y∈R: |b(x)−b(y)| ≤K|x−y| p |σ(x)−σ(y)| ≤K|x−y|, avecK >0. R t 1.SoitZune semi-martingale continue telle quehZit=hsdsavec 0≤hs≤C|Zs|.p.so(u` 0 C >0). Montrer que pour toutt≥0, Z t −1 E|Zs|10<|Zs|<1dhZis≤Ct, 0 etende´duireque: Z t limnE10<|Zs|≤1/ndhZis= 0. n→+∞ 0 2.Pour tout entiern≥1, soitϕnla fonction surR´dinfieepar: ϕn(x) = 2n(1−nx)1[0,1/n](x) + 2n(1 +nx)1[−1/n,0[(x). 2 SoitFnl’unique fonction de classeCsurRtelle que : 00 0 =F(0) = 0. F(x) =ϕn(x), Fn(0)n n 0 Donner la limite simple de la suite (F) n n∈Net de la suite (Fn)n∈N. ∗ ∗ 0 3.SoientXetXduetuoisxlo(3)snsdemˆemurletenvumeemommeeˆevlceetaltr´acefieesp BrownienB. Montrer que : Z t 0 0 limEϕ(X)dh n s−XsX−Xis= 0. n→+∞ 0 2
0 4.PourM >0|X| ≥Mou , soitτM= inf{t≥0,t|Xt| ≥M}. Montrer que : Z t∧τM 0 00 ) sign(X−X) E|Xt∧τM−X|=Eb(Xs)−b(Xs ssds . t∧τM 0 0 End´eduirequepresquesuˆremen t, pour toutt≥0,Xt=Xt. Exercice4(Ine´galit´edeLenglart) Soit (Xt)t≥0t(evesstiosropisitave`eualadnut´apcsusitnorpnusecoAt)t≥0un processus croissant issude0.Onconsid`erelaconditionsuivante: Pourtouttempsd’arrˆetborne´T,EXT≤EAT.(4) 1.Montrer que (4) est satisfaite siMeegrabnt´esuedleisdeunitnoie´rracearemunstecalngti 2 0, avecXt=MetAt=hMit. t 2.opesesluseoisnpuementquertreMnoiondclusaconquelce´rpnoitseuqaleaivrteeserntde´e Mest une martingale locale continue issue de 0. ∗ 3.On noteX= supXs. SoitR= inf{t≥0, Xt≥c}. Montrer que si (4) est satisfaite, on t s≤t apourtouttempsd’arrˆetborn´eTet toutc >0 : 1 ∗ PX≥c≤EAT.(5) T c Onpourraconside´rerT∧R.
4.d´Enteˆrspmera’douttourt(5)p,ona(s)4seuoeruqdeiuT, avec la convention que ∗ X= supXsiTprend la valeur +∞. ∞s≥0s
5.Soientc >0,d >0,Tspmetnuteˆrra’detS= inf{t≥0, At≥d}. En remarquant que :
∗ ∗ } ⊂ {X {XT> cT∧S> c} ∪ {AT≥d}
montrer que sous (4) : 1 ∗ PX≥c≤EAT∧d+PAT≥d . T c n 6.irequesi(Edne´udM)n∈Nest une suite de martingales locales etTtteletpmnurreˆdsa’ ∗ n que limn→+∞hMiTorale,t´ssaunasopne0=ilibabori: n lim sup|M|nerpboba0=itil´e. s n→+∞ s≤T
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