et theorie de la mesure
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Calcul integral et theorie de la mesure (Notes de cours) Gerald Tenenbaum Universite Henri Poincare–Nancy 1 Licence et maıtrise de Mathematiques 1994/95
- proprietes fondamentales de l'integrale de lebesgue
- espace de lebesgue l1
- recherche des primitives
- calcul integral
- convergence pp
- exercices sur l'integrale de cauchy
- produits d'espaces mesurables
- theoreme de lebesgue
- integrale double
Calcul int´egral
et th´eorie de la mesure
(Notes de cours)
G´ erald Tenenbaum
Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1
Licence et maˆıtrise de Math´ematiques 1994/95(12/10/2006, 14h07)
Table des mati`eres
Chapitre I. Int´egrale de Cauchy et int´egrale de Riemann
(r´esum´e) ....................................................................1
1 Notion d’int´egrale......................................................... 1
2Int´egrale de Cauchy....................................................... 2
3 Fonctions r´egl´ees.......................................................... 3
4 Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Cauchy..................... 5
5 Retour sur l’int´egrale de Riemann....................................... 5
6 Limites..................................................................... 9
7Int´egrales g´en´eralis´ees................................................... 12
Exercices sur la continuit´e et la convergence .....................13
Exercices sur l’int´egrale de Cauchy et l’int´egrale de Riemann 16
Chapitre II. Int´egrale double ..........................................21
1D´efinition................................................................. 21
2Int´egrales it´er´ees......................................................... 24
3 Changements de variables............................................... 26
4Int´egrale double g´en´eralis´ee............................................. 27
Exercices sur l’int´egrale double .......................................31
Chapitre III. Int´egrale de Lebesgue (r´esum´e) ....................35
1 Motivation et d´efinition.................................................. 35
2 Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Lebesgue.................. 39
3Leth´eor`eme de la convergence monotone.............................. 40
4Leth´eor`eme de la convergence domin´ee............................... 44
15 L’espace de Lebesgue L (I).............................................. 46
6 Fonctions et ensembles mesurables..................................... 47
p p7 Les espaces L (I) et L (I)................................................ 49
8Int´egrale double.......................................................... 50´ii Calcul integral
Exercices sur l’int´egrale de Lebesgue ...............................53
Chapitre IV. Convolution et transformation de Fourier
(r´esum´e) ...................................................................58
1 Convolution............................................................... 58
2 Transformation de Fourier............................................... 60
3 Formules d’inversion..................................................... 61
24 Transformation de Fourier dans L (R).................................. 63
Exercices sur la transformation de Fourier ........................67
Chapitre V. Int´egrale abstraite (r´esum´e) ..........................70
1 Tribus. Espaces et applications mesurables............................ 70
2 Produits d’espaces mesurables.......................................... 72
3 Mesures positives, espaces mesur´es..................................... 76
4Int´egrale des fonctions ´etag´ees positives............................... 79
5Int´egrale des mesurables positives........................... 80
6 Fonctions int´egrables r´eelles ou complexes............................. 83
7 Ensembles et fonctions n´egligeables.................................... 84
8 Convergence pp. Th´eor`eme de Lebesgue............................... 86
1 29 Les espaces L (E,A,µ ) et L (E,A,µ ) 88
10 Produits d’espaces mesur´es............................................ 90
Exercices sur l’int´egrale abstraite92
Chapitre VI. Int´egrale de Stieltjes ...................................94
1 Fonctions `a variation born´ee 94
2D´efinition de l’int´egrale de Stieltjes.................................... 97
3Int´egration par parties.................................................. 101
4 Formule d’Euler–Maclaurin............................................ 105
5 Formules de la moyenne................................................ 105
6 Suites de mesures de Stieltjes.......................................... 107
Exercices sur les fonctions `a variation bornee´
et l’int´egrale de Stieltjes ...........................................109
Sujets d’examens ........................................................115Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1
Licence de math´ematiques 1994/95
Calcul int´egral et th´eorie de la mesure
I
Int´egrale de Cauchy et
int´egrale de Riemann (r´esum´e)
1. Notion d’int´egrale
Pour les Grecs, la notion d’aire d’un domaine plan r´esulte d’un passage a` la limite a`
partir de l’aire des domaines polygonaux, elle-mˆeme obtenue par triangulation.
Les propri´et´es g´eom´ etriques ´evidentes souhait´ees pour l’aire A(D) d’un domaine D du
plan sont :
(i) la croissance, soit D ⊂ D ⇒ A(D ) A(D ),1 2 1 2
(ii) l’additivit´e disjointe, soit D ∩D =∅⇒ A(D ∪D )=A(D )+A(D ).1 2 1 2 1 2
Cela implique en particulier que l’aire est toujours positive ou nulle, et que, pour des
domaines born´es, l’on peut se ramener syst´ematiquement `al’´etude de domaines limit´es
par l’axe y = 0, une courbe y = f(x), et des droites verticales x = a, x = b. Supposant le
probl`eme de l’existence r´esolu, et d´esignant par F(x) l’aire du type pr´ec´edent limit´ee par
les droites d’abscisses a et x, les propri´et´es (i) et (ii) impliquent facilement par comparaison
avec des aires de rectangles que l’on a pour h=0
F(x +h)−F(x)
m M,
h
o`u l’on a pos´e m = inf f(t),M = sup f(t). En particulier, si f estxtx+h xtx+h
continue, on voit en faisant tendre h vers 0 que F est n´ecessairement d´erivable au point
x et satisfait `a
F (x)=f(x).
On obtient ainsi un lien entre le calcul int´egral et la recherche des primitives. Il a ´et´e
montr´e en DEUG que l’aire F(x) peut ˆetre rigoureusement d´efinie dans le cas des fonctions
continues. Cela ´etablit, grˆ ace au calcul pr´ec´edent, que toute fonction continue sur un
intervalle poss`ede des primitives.
Le proc´ed´e utilis´e en DEUG reposait sur l’´etude des sommes de Darboux sup´erieures et
inf´erieures relatives `a des subdivisions σ ={x =a<x <...<x = b} de [a,b], soit0 1 n
n−1 n−1
s (f):= m (x −x ),S (f):= M (x −x ),σ j j+1 j σ j j+1 j
j=0 j=0
avec m = inf f(t),M = sup f(t)(0j<n ). La quantit´ej x tx jj j+1 x txj j+1
b
F(b)= f(t)dt
a
2 I Int´egrale de Cauchy et int´egrale de Riemann (r´esum´e)
´etait alors d´efinie, dans le cas d’une fonction f continue, comme la valeur commune (c’est
l`aleth´eor`eme !) des deux nombres
s(f) = sups (f)etS(f) = inf S (f).σ σ
σσ
La d´emonstration repose sur le fait qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e
est en fait uniform´ ement continue. Une cons´equence pratique importante de cette ´etude
est que l’aire F(b) est ´egale `a G(b)−G(a) pour toute primitive G de f sur [a,b].
L’un des buts de ce cours est d’´etendre la notion d’int´egrale `a des classes de fonctions
plus g´en´erales que les fonctions continues. L’int´egrale des fonctions continues, telle qu’elle
est d´efinie ci-dessus, satisfait `a certaines propri´et´es essentielles que l’on aimerait conserver
pour les g´en´eralisations envisag´ees :
b
1. Lin´earit´e : L’application f → f dt est une forme lin´eaire surC[a,b].ab
2. Positivit´e : f 0⇒ f dt 0. (Attention a` la signification de f 0.)
a
Ces deux propri´et´es ont des cons´equences tr`es importantes, notamment la croissance
b b
f g ⇒ f dt g dt, dont les cas particuliers f ou g constante sont rassembl´es
a a
dans les in´egalit´es de la moyenne
b1
m f M ⇒ m f dt M.
b−a a
Lorsque f est continue, on en d´eduit, par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, la formule
de la moyenne
b1
∃ξ∈ [a,b]: f dt = f(ξ).
b−a a
Une autre cons´equence, tr`es utile en pratique, des deux points pr´ec´edents est l’in´egalit´e
b b
f dt |f| dt.
a a
b
3. Continuit´e. La forme lin´eaire f → f dt est continue lorsque C[a,b] est
a
muni de la norme de la convergence uniforme
f = sup |f(t)|.∞
atb
b
On a en fait| f dt| (b−a)f , d’apr`es les in´egalit´es de la moyenne.∞a b c b
4. Relation de Chasles. f dt = f dt + f dt, avec la convention
a a c
habituelle de signes lorsque la borne inf´erieure d´epasse la borne sup´erieure.
2. Int´egrale de Cauchy
Une fonction en escalier est une fonction qui est constante sur chacun des intervalles
ouverts associ´es `a une subdivision convenable de [a
