EPREUVE D'ANALYSE
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
EPREUVE D'ANALYSE 1 Deug MIAS 2eme annee 2 septembre 2003 Duree 2H 1. Soit l'integrale I = +∞∫ 0 lnx x2 + 1 dx . a) Montrer que l'integrale I est convergente en 0. (1,5p) b) Montrer que l'integrale I est convergente en +∞. (1,5p) c) Calculer I a l'aide du changement de variable x = 1/t. (2p) 2. Pour tout entier k > 0, on pose ak = √ 1? k sin(1/k) . a) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=1 ak. (2p) b) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=1 (?1)kak. (3p) 3. a) Soient a et b deux reels tels que 1 < a < b. Calculer b∫ a dx x lnx (poser x = et). (1p) b) Pour tout entier k ≥ 2, on pose bk = 1 k ln k . Caluler lim n?+∞ n2∑ k=n+1 bk (comparer la somme a une integrale). La serie +∞∑ k=2 bk est-elle convergente? (3p) c) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=2 1 ln(k!) (1p
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EPREUVE D'ANALYSE 1 Deug MIAS 2eme annee 2 septembre 2003 Duree 2H 1. Soit l'integrale I = +∞∫ 0 lnx x2 + 1 dx . a) Montrer que l'integrale I est convergente en 0. (1,5p) b) Montrer que l'integrale I est convergente en +∞. (1,5p) c) Calculer I a l'aide du changement de variable x = 1/t. (2p) 2. Pour tout entier k > 0, on pose ak = √ 1? k sin(1/k) . a) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=1 ak. (2p) b) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=1 (?1)kak. (3p) 3. a) Soient a et b deux reels tels que 1 < a < b. Calculer b∫ a dx x lnx (poser x = et). (1p) b) Pour tout entier k ≥ 2, on pose bk = 1 k ln k . Caluler lim n?+∞ n2∑ k=n+1 bk (comparer la somme a une integrale). La serie +∞∑ k=2 bk est-elle convergente? (3p) c) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=2 1 ln(k!) (1p
- ?1?x lnx
- lnn2 ?
- lnx
- caluler lim
- lnn ln
- limite ln
- signe constant
- signe de sinx ?
- b∫
EPREUVE D’ANALYSE 1
DeugMIAS2`emeann´ee Dure´e2H
2 septembre 2003
1.Soitl’int´egrale +∞ Z lnx I=dx . 2 x+ 1 0 a)Montrerquel’int´egraleIest convergente en 0. (1,5p) b)Montrerquel’int´egraleIest convergente en +∞. (1,5p) c) CalculerIlaa’`elbairaveentdngemuchaidedx= 1/t. (2p) 2. Pour tout entierk >0, on pose p ak= 1−ksin(1/k). +∞ X a)Etudierlaconvergencedelase´rieak. (2p) k=1 +∞ X k b)Etudierlaconvergencedelas´erie(−1)ak. (3p) k=1 3. a) Soientaetbe1qulseelsteed´rxu< a < b. Calculer b Z dx t (poserx=e).(1p) xlnx a b) Pour tout entierk≥2, on pose 1 bk=. klnk 2 n+∞ X X Caluler limbkieers´er(lcaompare`ausomm´tgeenni.)aLarelbk? (3p)est-elle convergente n→+∞ k=n+1k=2 +∞ X 1 c)Etudierlaconvergencedelase´rie(1p) ln(k!) k=2 +∞ X 4. Soitf(x) =un(x), avecx≥0, et n=1 2−nx un(x) = sin(nx)e . 2−nx a) Calculer le nombreλn= sup(nx e). (1p) x≥0 b) Calculer la limitelimf(x). (2p) x→0+ 1 c) Montrer quefsur ]0est de classe C,+∞[ .(3p)
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