ENSI Bourges Master securite informatique Systemes cryptographiques signature electronique

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Emmanuel Bresson

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01 mars 2002

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Niveau: Supérieur, Master
ENSI Bourges : Master « securite informatique » Systemes cryptographiques : signature electronique Emmanuel Bresson – ENS-DGA Corriges des exercices du 19/03/2002 N'hesitez pas a me contacter si vous avez des questions ou si vous apercevez des erreurs. 1. Signature RSA. (?) 1. Avec p = 19 et q = 23, on a N = p? q = 437 et ?(N) = (p? 1)(q ? 1) = 396. 2. e = 9 n'est pas un exposant de verification correct car il divise p ? 1. De meme, e = 14 ne convient pas car on a pgcd(e, ?(N)) = pgcd(14, 396) = 2. e = 17 en revanche convient et on peut calculer l'exposant de signature correspon- dant par l'algorithme d'Euclide etendu : 1 0 396 0 1 17 ? 396 = 17? 23 + 5 0 1 17 1 ?23 5 ? 17 = 5? 3 + 2 1 ?23 5 ?3 70 2 ? 5 = 2? 2 + 1 ?3 70 2 7 ?163 1 ? 2 = 1? 2 + 0 7 ?163 1 ?17 396 0 On a donc 7? 396 + (?163)? 17 = 1 Donc, modulo ?(N), i.

modulo ?

exposant de signature correspon- dant par l'algorithme d'euclide etendu

?67 modulo

signature

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ENSI Bourges:Master«rmfoiqatue´scerutie´ni» Syst`emescryptographiques:signature´electronique

´ EmmanuelBresson–ENS-DGA

Corrige´sdesexercicesdu19/03/2002 N’he´sitezpasa`mecontactersivousavezdesquestionsousivousapercevezdeserreurs. emmanuel@bresson.org

1. Signature RSA.

(?)

1. Avecp= 19 etq= 23, on aN=p×q= 437 etϕ(N) = (p−1)(q−1) = 396. 2.eﬁire´vedocnoitacunastpesntsapoex9=’ntcarrrecviseildip−eDˆm.1me,e e= 14 ne convient pas car on a pgcd(e, ϕ(N)) = pgcd(14,396) = 2. e= 17 en revanche convient et on peut calculer l’exposant de signature correspon-dantparl’algorithmed’Euclidee´tendu: 1 0396 01 17→396 = 17×23+ 5 0 117 1−23 5→17 = 5×3+ 2 1−23 5−3 702→5 = 2×2+ 1 −3 702 7−163 1→2 = 1×2+ 0 7−163 1−a donc 70 On17 396×396 + (−163)×17 = 1 Donc, moduloϕ(N), i.e. modulo 396, on a 17(−163) = 1. D’o`ud=−163 = 233 mod 396. 233 3.SIGN(100,donc on+ 64 + 32 + 8 + 1On a 233 = 128mod 437.233) = 100 calcule :  8  4 2 233 2 100 =100×100×100∗(100×mod 437100 )  8  4 2 = 100×100×100∗144 mod437  8 4 = 100×100×437(35) mod 8 = 100×196 mod437 2 = 100×437289 mod = 156 17 4. Oncalcule 156mod 437. On a 17 = 16 + 1 donc on calcule :   4 17 4 4 156 =157×156 =156×(142) mod437 = 156×348 = 100 mod 437

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