Eléments de correction du Devoir Maison no
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Niveau: Supérieur
Eléments de correction du Devoir Maison no 6 Problème 1 Saut à l'élastique A Mouvement du sauteur sans frottement A.1 On applique le principe fondamental de la dynamique au sauteur assimilé à un point matériel dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les frottements étant négligés la seule force qui s'exerce sur le skieur est le poids. On obtient alors en projetant l'équation vectorielle suivant Ox x(t) = 12gt 2 A.2 La variation d'énergie cinétique d'un système entre les temps t1 et t2 est égale au travail du poids : 12mv 2 L = mgL soit vL = √ 2gL = 22 m.s?1 A.3 D'après la première question t1 = √ 2L g = 2, 26 s A.4 On applique le théorème de l'énergie cinétique au sauteur dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le sauteur est alors soumis au poids et à la tension de l'élastique : ?? P + ?? T = mg??ux ? k(x ? L)??ux. Le travail de ces deux forces entre x = L et x = Lmax s'écrit : W = ∫ Lmax L (mg ? k(x? L))dx = (mg ? 12k(Lmax ? L))(Lmax ? L) et ∆Ec = W = ? 1 2mv 2 L.
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Eléments de correction du Devoir Maison no 6 Problème 1 Saut à l'élastique A Mouvement du sauteur sans frottement A.1 On applique le principe fondamental de la dynamique au sauteur assimilé à un point matériel dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les frottements étant négligés la seule force qui s'exerce sur le skieur est le poids. On obtient alors en projetant l'équation vectorielle suivant Ox x(t) = 12gt 2 A.2 La variation d'énergie cinétique d'un système entre les temps t1 et t2 est égale au travail du poids : 12mv 2 L = mgL soit vL = √ 2gL = 22 m.s?1 A.3 D'après la première question t1 = √ 2L g = 2, 26 s A.4 On applique le théorème de l'énergie cinétique au sauteur dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le sauteur est alors soumis au poids et à la tension de l'élastique : ?? P + ?? T = mg??ux ? k(x ? L)??ux. Le travail de ces deux forces entre x = L et x = Lmax s'écrit : W = ∫ Lmax L (mg ? k(x? L))dx = (mg ? 12k(Lmax ? L))(Lmax ? L) et ∆Ec = W = ? 1 2mv 2 L.
- energie potentielle
- système entre les temps t1
- energie mécanique
- résultante des forces nulles
- temps nt
- sin ?
- sauteur
- mouvement du sauteur sans frottement
o ElÉments de correction du Devoir Maison n6
ProblÈme 1Saut À l’Élastique A Mouvementdu sauteur sans frottement A.1On applique le principe fondamental de la dynamique au sauteur assimilÉ À un point matÉriel dans le rÉfÉrentiel terrestre supposÉ galilÉen. Les frottements Étant nÉgligÉs la seule force qui s’exerce 1 2 sur le skieur est le poids. On obtient alors en projetant l’Équation vectorielle suivantOx x(t) =gt 2 A.2La variation d’Énergie cinÉtique d’un systÈme entre les tempst1ett2est Égale au travail du √ 1 2−1 poids :mv=mgLsoitvL= 2gL= 22m.s 2L q 2L A.3D’aprÈs la premiÈre questiont1= =2,26s g A.4On applique le thÉorÈme de l’Énergie cinÉtique au sauteur dans le rÉfÉrentiel terrestre supposÉ −→−→ −→ galilÉen. Le sauteur est alors soumis au poids et À la tension de l’Élastique :P+T=mgux− R L −→max k(x−L)ux. Le travail de ces deux forces entrex=Letx=Lmaxs’Écrit :W= (mg− L 1 12 k(x−L))dx= (mg−k(Lmax−L))(Lmax−L)etΔEc=W=−mv. On obtient alors l’Équation 2 2L 2 2 k(Lmax−L)−2mg(Lmax−L)−mv= 0. La rÉsolution de cette Équation du second degrÉ donne L √ 2 22 mg±m g+kmv L Lmax=L+. Seule la solution « + » est une solution physique. L’application numÉrique k donneLmax= 87,4m. A.5Lorsque0< x < L Ep(x) =−mgx+K1oÙK1est une constante et lorsqueL < x < Lmax 1 2 Ep(x) =−mgx+k(x−L) +K2oÙK2est une constante qui se calcule À partir de la rÉfÉrence du 2 2 22 2 mg mg mg potentielEp(L= 0+ )soitK2=mgL+. On dÉtermineK1par continuitÉEp(x=L) = k2k2k 2 2 m g soitK1=mgL+. soit 2k ( 2 2 m g mg(L−x) +si0≤x≤L 2k Ep(x) =2 2 m g1 2 mg(L−x) ++k(x−L)siL≤x≤Lmax 2k2 A.6Le sauteur n’est soumis qu’À des forces conservatives, donc l’Énergie mÉcanique du sauteur est 1 21 2 constante :Em=m˙x−mgx+k(x−L) +K2=cste. Soit d’aprÈs le thÉorÈme de l’Énergie 2 2 dEmk k mÉcanique,=mx˙x¨−mgx˙ +kx˙ (x−L) = 0soit˙x(¨x+x−g−L) = 0. La solution˙x= 0 dt mm k k n’Étant pas acceptable physiquement, il restex¨+x=g+L. On reconnait l’Équation d’un oscillateur m m q 0mg0 0k harmonique avec un second membre : On a alorsx(t) =L+ +Acosω0t+Bsinω0toÙω0=, k m etAetBsont les constantes d’intÉgrations qui se dÉterminent À partir des conditions initiales : 0mg mg0vL x(t= 0) =L=L+ +AsoitA=−etv(t= 0) =vL=Bω0, soitB=. On a alors k kω0 0mg0vL0 x(t) =L+ (1−cosω0tsin) +ω0t k ω0 mg0 ue) de l’ÉquationL=L+ (1−cosω A.7A partir de la rÉsolution numÉrique (ou graphiqxmak0t2) + vL0 0 sinω0t, on obtientt= 3,26s ω2 2 0 A.8La vitessevest nulle et l’accÉlÉrationadu sauteur au pointx=Lse calcule À partir LmaxLmaxmax du principe fondamental de la dynamique. Enx=Lmax, la rÉsultante des forces exercÉe sur le sauteur −→ −→−→k−→−2−→ s’Écrit :F=mg−k(Lmax−L)uxdonc l’accÉlÉration s’Écrita=g−(Lmax−L)ux=−17,7ms ux. m L’accÉlÉration est donc de1,8gvers le haut. A.9L’Énergie mÉcanique Étant constante, le sauteur repassera au pointx=Lavec la mme Énergie cinÉtique qu’au premier passage. La vitesse sera donc Égale ÀvLet sera dirigÉe vers le haut. A.10La conservation de l’Énergie mÉcanique implique que le sauteur retrouvera sa position de dÉpart, c’est À direx= 0. Ce qui est peu probable en rÉalitÉ et dangereux (le sauteur risque de se cogner contre le pont!). On doit donc considÉrer les forces de frottements de l’air.
