Electronique Signaux et Systèmes Travaux dirigés Feuille n°2
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Electronique, Signaux et Systèmes Travaux dirigés : Feuille n°2 Quantification et échantillonnage Corrections: 1. Bruit de quantification. La quantification uniforme sur N bits d'un signal consiste à diviser l'intervalle [ ]AA,? en N2 intervalles de même longueur NAq 2/2= et à associer à l'échantillon la valeur k codée sur N bits telle que 2/2/ qkpXqkq +<≤? . Il y a donc entre kq , la valeur reconstruite et la valeur vraie une erreur ? qui constitue un bruit aléatoire dit bruit de quantification. Cette erreur prend des valeurs équiprobables sur l'intervalle [ ]2,2 qq? . a) Montrer que si X est une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle [ ]2,2 qq? et que X(t) est un signal correspondant, la valeur quadratique moyenne de ce signal est donné par : 12 2 2 q =? On utilisera l'équivalence entre la formulation statistique et la formulation temporelle : ( ) ( ) ( ) éprobabilit de densité laest ou 1lim 2 2/ 2/ 22 ?pdpdtt T T T T ∫∫ ∞ ∞?? ∞? ?= ????? ( ) ( ) 12 1 3 111lim 22/ 2/ 3 2/ 2/ 22 2/ 2/ 22 q q d q dpdtt T q q q q T T T =?? ? ?? ? ==?= ?
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Electronique, Signaux et Systèmes Travaux dirigés : Feuille n°2 Quantification et échantillonnage Corrections: 1. Bruit de quantification. La quantification uniforme sur N bits d'un signal consiste à diviser l'intervalle [ ]AA,? en N2 intervalles de même longueur NAq 2/2= et à associer à l'échantillon la valeur k codée sur N bits telle que 2/2/ qkpXqkq +<≤? . Il y a donc entre kq , la valeur reconstruite et la valeur vraie une erreur ? qui constitue un bruit aléatoire dit bruit de quantification. Cette erreur prend des valeurs équiprobables sur l'intervalle [ ]2,2 qq? . a) Montrer que si X est une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle [ ]2,2 qq? et que X(t) est un signal correspondant, la valeur quadratique moyenne de ce signal est donné par : 12 2 2 q =? On utilisera l'équivalence entre la formulation statistique et la formulation temporelle : ( ) ( ) ( ) éprobabilit de densité laest ou 1lim 2 2/ 2/ 22 ?pdpdtt T T T T ∫∫ ∞ ∞?? ∞? ?= ????? ( ) ( ) 12 1 3 111lim 22/ 2/ 3 2/ 2/ 22 2/ 2/ 22 q q d q dpdtt T q q q q T T T =?? ? ?? ? ==?= ?
- travers du filtre idéal
- pi ?
- ee nffyfnfffyffy
- fréquence des signaux
- ffff ee
- peigne fréquentiel de période ee
- demi-fréquence d'échantillonnage
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Français
Electronique, Signaux et Systèmes Travaux dirigés : Feuille n°2 Quantification et échantillonnage Corrections: 1. Bruit de quantification. La quantification uniforme sur N bits d’un signal consiste à diviser l’intervalle%A,A]en 2N intervalles de même longueurq12A/ 2Nà associer à l’échantillon la valeuret kcodée surN bits telle quekq q/ 2X kp q Il y a donc entre/ 2 .kq, la valeur reconstruite et la valeur vraie une erreurΑqui constitue un bruit aléatoire dit bruit de quantification. Cette erreur prend des valeurs équiprobables sur l’intervalle%q2,q2]. Α X Y a) Montrer que si X est une variable aléatoire uniforme sur l’intervalle%q2,q2]et que X(t) est un signal correspondant, la valeur quadratique moyenne de ce signal est donné par : 2 Α21q 12 On utilisera l’équivalence entre la formulation statistique et la formulation temporelle : T/ 2υ Α1Α º( !Α(Α!Α ou( !est la densité de probabilité 2Tli|mυT1∫ 2/ 2t dt∫2p d pε %T%υ
lim Α21T|υT1TT∫/2/2Α2(t!dtº∫υΑ2p(Α!dΑ1qq∫2/2/Α21dqΑ11Α31qq/q211q22 % %υ %3%/ 2
b) Pour éviter les problèmes d’écrêtage, on choisit la gamme dynamique de quantification (l’intervalle de valeur de AàA) de façon à ce que le signal aléatoireXait une probabilité négligeable d’excéder ces valeurs. SiΜ est la l’écart type deX, on prend par exemple A = FΜ. Montrer que le rapport signal sur bruit défini par : 2 BSdB110 log10XΑ2vautSBdB16N#10 log103/F2
X2
Α2
2 1Μ
11q22111222NA
2112FΜ2 12 2N
log 1010
2 XΑ2110 log1014F22#20 log102N 110 log10F32#N20 log10(2! »
10 log10F32#6N
2. Théorème de l’échantillonnage. a. x[k1]fe / )( ) exp(2dfee2υX(f nf)df 1fe0∫Μfϑ fj k fef10∫ϑ f Tj kn1∑%υ%e1 exp(2 fj k T)X(f nfe)df1exp(2j k u T)X(u)du 1υ1∑%υf∫eϑ%1∑%υυ%n%f∫e#efeϑ n0nn f ∫υdef. 1exp(2ϑj k u T)X(u)du1x(kT) %υ υ υ ouΜ(f)1fe∑X(f%nfe)1∑x(kT) exp(%2ϑ T fj k) n1%υk1%υ υ b. y(t)1∑x(nT)h(t%nT) , convolution. Dans le domaine fréquentiel et en utilisant n1%υ l’expression précédente, on a : υx kT f T j k H fυnfe Y(f)1H(f)k1∑%υ( ) exp(%2ϑ! 1T( )n1∑%υX(f%) c. Par conséquent, sife22Bles contributionsX(f%nfe) ne se recouvrent pas. D’autre part, il suffit de prendreH(f)1rect2B(f de reconstruction idéal),) (filtre pour queY(f)X(f) . Autrement dit, la fonctiony(t à partir des échantillons) reconstruitex(kT) au travers du filtre idéal : h(t)Tsin(2B t)12B Tsinc(2B t) 1 ϑt reproduit éxactement la fonctionx(t) de départ. Le filtre de reconstruction idéalh(t) 2BTsinc(2Bt)n’est malhereusement pas réalisable car il nécessite la connaissance de tous les échantillons futurs (par rapport à t),h(t) n’est pas causal. Il peut-être néanmoins approché, par exemple en impliquant un retard et en sommant sur L échantillons avec L suffisamment grand : m#L x(t)»∑x(kT)h(t%kT) k1m%L 2. Application du théorème de l’échantillonnage :
a. Commefe1500Hzest supérieure à deux fois la fréquence du signal (soit 2 200Hz), l’échantillonnage permet une reconstruction parfaite du signal et on retrouve la sinusoïde à la fréquence de 200Hz. b. Commefe1250Hzest inférieure à deux fois la fréquence du signal, l’échantillonnage introduit un repliement. La partie du spectre qui se trouve au -delà de la demi-fréquence d’échantillonnage est repliée dans la bande 0, 0.5fé] 200. Par conséquent, la fréquenceHzse retrouve par symétrie par rapport àfe21125Hz. On doit observer après reconstruction, une sinusoïde à la fréquence 50Hz.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
0.035
Cas oufe1250Hzest inférieure à deux fois la fréquence du signal (soit 2 200Hz). La fréquence du signal reconstruit (obtenu ici à partir d’une interpolation des échantillons) est de fréquence 250 200 50Hz
3 : Echantilloneur-bloqueur. 3.1 #υ Yˆ(f)1TF[yˆ(t)]1TFy(t).∑≅(t%nTe n1%υ
0.04
!1TF[y(t)]*TFn1#∑υυ%≅(t%nTe!1Y(f) *fen#1∑υυ%≅(f%nfe!
(laTF d’un peigne temporel de périodeTe est un peigne fréquentiel de période fe11/Te: non trivial à montrer) #υ #υ On a donc :Yˆ(f)1fe∑Y(f) *≅(f%nfe! 1fe∑Y(f%nfe!(convolution par≅!
n1%υn1%υ 3.2 . Avecy(t) cos(2f0t) on a un spectreY(f) /fe de deux pics formé≅ de repoduire ce spectre autour des fréquencesnfe
L’échantillonage a pour effet %fe%f0! %fe#f0!
%f! #f0! 0
fe%f0!
fe#f0! 2fe%f0!
en
±f0.
2fe#f0!
3.3 YB(f)1Y(f).TFrectTte%121Y(f.)(nisϑfϑTfeTep(ex)%jϑfTe) %fe%f0! %fe#f0! %f0! #f0! fe%f0!fe#f0! 2fe%f0!2fe#f0! Le blocage a pour effet d’atténuer les « répliques » du spectre générées par l’échantillonnage.
