ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
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Niveau: Supérieur
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Deux phénomènes d'hystérésis Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E. Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C. Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d'hystérésis. Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodique f(x), de période 2pi, peut être développée en série de Fourier : f(x) = 12a0 + ∞ ∑ n=1 an cos(nx) + ∞ ∑ n=1 bn sin(nx) avec a0 = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x)dx, an = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x) cos(nx)dx, bn = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x) sin(nx)dx I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force.
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- concours d'entrée
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Deux phénomènes d'hystérésis Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E. Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C. Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d'hystérésis. Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodique f(x), de période 2pi, peut être développée en série de Fourier : f(x) = 12a0 + ∞ ∑ n=1 an cos(nx) + ∞ ∑ n=1 bn sin(nx) avec a0 = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x)dx, an = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x) cos(nx)dx, bn = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x) sin(nx)dx I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force.
- surface loin de la surface
- pointe
- déflexion du bras
- courbes expérimentales d'approche-retrait pour ?
- retrait
- force
- pulsation ? de la force excitatrice
- équation différentielle régissant le mouvement de la pointe
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Français
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2009
DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)
FILIÈREPC
L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.
? ? ?
Deux phénomènes d’hystérésis
Soient une grandeurcausenotée C et une grandeureffetnotée E. Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C. Ce problème propose d’étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d’hystérésis.
Formulaire :Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodiquef(x), de période2π, peut être développée en série de Fourier : ∞ ∞ X X 1 f(x) =a0+ancos(nx) +bnsin(nx)avec 2 n=1n=1 Z Z Z +π+π+π 1 1 1 a0=f(x)dx, an=f(x) cos(nx)dx, bn=f(x) sin(nx)dx π−ππ−ππ−π
I. Courbes approcheretrait en microscopie à force atomique Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultrasensible de force. Son principe est le suivant : une pointe fine, métallique ou isolante, se trouve à l’extrémité d’un bras de levier souple qui fait office de ressort. L’autre extrémité de ce bras est fixe. L’extrémité du bras portant la pointe est approchée de la surface, à étudier et interagit avec cette dernière. La force qui s’exerce entre la pointe et la surface provoque, en chaque point, une déflexion du bras, que l’on détermine à partir de la réflexion d’un faisceau laser.
Dans le fonctionnement dit en mode résonant, la pointe est excitée par une force périodique de fréquence proche de la fréquence de résonance du système braspointe. L’interaction pointe surface perturbe le système, ce qui entraîne une variation de l’amplitude de vibration. L’ordre de grandeur de l’amplitude vibratoire peut varier dans de grandes proportions, de quelques dixièmes à quelques dizaines de nanomètres. La mesure de cette amplitude vibratoire lorsque la pointe balaye la surface donne accès à la topographie de la surface étudiée. À l’aide de céramiques piézoélectriques, le déplacement de la sonde audessus de la surface s’effectue avec une précision de l’ordre du nanomètre dans les trois directions de l’espace.
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Figure 1. Schéma d’une sonde ; à gauche au repos, à droite en flexion
À titre d’information, les dimensions caractéristiques d’un levier sont : longueur de 100 à 200µm, largeur de 20 à 30µm et épaisseur de 1 à 5µm. La pointe est conique, d’une hauteur de 5 à 20µl’angle d’ouverture du cône est de 20 degrés et le rayon de courbure de l’extrémitém ; 2 de l’ordre de 20 nm ; l’aire en regard de la surface à étudier est ainsi d’une centaine de nm .
On suppose que le mouvement de la pointe s’effectue selon la direction verticale. Sa position est repérée par son altitudez(z >0); on noteà partir de la surface dla distance séparant la pointe de la surface lorsque la sonde est à l’équilibreen l’absence de forces externes.
I.1 Mouvement de la sonde loin de la surface
Loin de la surface, la sonde est modélisée par un oscillateur mécanique constitué d’une masse ponctuellemsoumise : – à une force de rappel élastique−k(z−d)aveck >0, – à un amortissement représenté par une force de frottement visqueux−λz˙,avecλ >0, – à une force d’excitation selon Oz, sinusoïdale,fz=f0cosωt.
I.1.1Écrire l’équation du mouvement régissant le mouvement de cet oscillateur.
k 2 Dans la suite, on poseω=, 0 m
mω0 Q=, λ
I.I.2Déterminer les dimensions deQ, ametu.
Qf0ω am=etu=. 2 mω0ω0
I.1.3En régime sinusoïdal permanent, la solution est de la formez(t) =d+acos(ωt+ϕ), avecaréel positif. Déterminer l’amplitudea(ω); l’exprimer en fonction deam, Qetu. Comment évolue le graphe dea(ω)en fonction deQ?
−11−1 I.1.4Calculer la fréquence propreν0=ω0/2πpourm= 5×10kg etk= 20N∙m .
Les valeurs typiques deQsont de quelques centaines. On prendraQ= 400. Toute l’étude qui suit s’effectuant au voisinage de la résonance, on utilisera dans ce cas l’approximation : am a(ω)'. 2 2 2 1 +Q(1−u)
I.2 Réponse près de la surface
Lorsque la sonde est rapprochée de la surface, elle est soumise à une force additionnelle verticale. Essentiellement due aux interactions de Van der Waals, elle est attractive et donnée
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K parF(z) =−oùKest une constante positive qui dépend de la taille de la pointe et des 2 z matériaux en présence. En effectuant l’hypothèse d’oscillations de faible amplitude, on adopte pourF(z)la forme approchée suivante : 2 3 F(z) =A+B(z−d) +C(z−d) +D(z−d)(1)
I.2.1Expliciter les quatre coefficients du développement à l’aide deF(z)et de ses dérivées.
On étudie tout d’abord l’effet des deux premiers termes de l’expression (1) et l’on effectue le changement de variableZ=z−d.
I.2.2Écrire l’équation différentielle régissant le mouvement de la pointe.
I.2.3Quel est l’effet du termeAsur les oscillations forcées de la sonde ? Calculer l’am plitude de cet effet en fonction deK, ketd. L’évaluer numériquement pourd= 15nm −28 2 etK= 5×10N∙m.
I.2.4Sur quelle caractéristique de l’oscillateur influe le termeB cet effet avec les données précédentes.
? Évaluer numériquement
2 I.2.5Pour des amplitudes d’oscillation plus importantes, les termes non linéairesC(z−d)et 3 D(z−d)de l’expression (1) ne sont plus négligeables. Mais, étant donné les valeurs élevées deQ, au voisinage de la résonance, l’oscillation forcée reste pratiquement sinusoïdale à la pulsationω de la force excitatrice, soitZ(t) =acos(ωt+ϕ). Montrer que ces termes non linéaires entrainent l’apparition d’harmoniques à des fréquences différentes deω; préciser ces fréquences.
I.3 Réponse non linéaire (fortes amplitudes)
On effectue maintenant une expérience d’approcheretrait : la pointe en vibration est rappro chée, puis éloignée de la surface. Les déplacements sont supposés être verticaux. On observe ainsi l’influence croissante, puis décroissante, des forces de surface d’un échantillon et l’on utilise ces données pour discerner les diverses contributions des forces en présence, selon leur dépendance avec la distance. Dans ces expériences, l’amplitude d’oscillation est importante et la pointe s’approche très près de la surface. La forme approchée (1) n’est plus utilisable et il est nécessaire de prendre en K compte l’expression "exacte" de la force d’interaction pointesurface, soitF(z) =−. 2 z
I.3.1Écrire l’équation du mouvement de la pointe avec cette expression.
I.3.2Àdfixé, l’expérience montre que le mouvement de l’oscillateur demeure pratiquement harmonique, soitZ(t)'acos(ωt+ϕ). Avecz=d+Z(t), la forceF(z)est périodique en θ= (ωt+ϕ)et décomposable en série de Fourier. On admettra que le terme fondamental enω joue un rôle prédominant. Expliciter ce terme à l’aide deK, deta. On donne : Z +π 1 cosθ b Pour0≤b <1, dθ=−. 2 2 3/2 2π−π(1 +bcosθ) (1−b)
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k mω0Qf0ω 2 =, Q= I.3.3En utilisant comme enI.1.1les notationsω0, am=etu=, 2 m λ mω ω0 0 montrer que l’amplitudeaet la distancedsont reliées, pourufixé, par : ® ´ h i 2 2K1 2 2 2 2 2 a Q1−u−+u=a . m 2 2 3/2 k(d−a) a d2K ˜ I.3.4On introduit les variables adimensionnées :a˜ =avec˜a≤1, d=etβ=. 3 amamkam ˜ Montrer queds’exprime en fonction dea˜selon : 2/3 βQ 2 2 ˜ d= ˜a+(2) 2 2 2 Q(1−u)±1/a˜−u
Dans toute la suite, on remplacera
2 2 1/a˜−upar
I.3.5Calculer numériquementβQ −28 2−1 K= 5×10N∙m, k= 20N∙m,
2 1/˜a−1.
avec les valeurs données précédemment Q= 400et en prenantam= 13,5nm.
2/3 Dans toute la suite, on prendra(βQ) = 0,04.
soit
Figure 2. Courbes expérimentales d’approcheretrait pourω=ω0. Elles sont pratiquement confondues La figure 2 montre une courbe d’approcheretrait, la pointe étant excitée à sa pulsation de résonance libreω=ω0,soitu= 1. L’expression (2) se met alors sous la forme : 0,04 2 2 ˜ d=a˜ +(3) 2 1/3 (1/˜a−1) ˜ I.3.6Montrer quedest une fonction croissante de˜a. Préciser les valeurs limites dea˜pour ˜ ˜ d→0etd→ ∞.
˜ ˜ I.3.7Calculer la valeur dedpoura˜ = 0,95ainsi que l’écart(d−˜a).
˜ ˜ I.3.8Le calcul numérique montre que(d−˜a)reste inférieur à 0,04 pour 0,2< d <0,99. ˜ Déduire de ces résultats que l’on peut modéliser simplement le graphe dea˜(d)à l’aide de deux portions de droites et en donner le tracé. Comment se comparetil au résultat expérimental de la figure 2 ?
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Figure 3. Courbes expérimentales d’approcheretrait pourω < ω0. Approche :d; Retrait :décroissant régulièrement dcroissant régulièrement
Comme le montre la figure 3, dans certaines conditions expérimentales, les courbes approche retrait présentent de l’hystérésis. Des sauts brusques de l’amplitude se produisent à des distances ddifférentes lors de l’approche et lors du retrait. L’excitation s’effectue alors à une fréquence très légèrement inférieure à celle de résonance libre,ω < ω0soitu <1.
2 I.3.9On choisitupour avoirQ(1−u) = 0,9; calculer la valeur deu.
˜ ˜ I.3.10Le graphe de˜a(d), comme celui ded(a˜), comporte deux branches, les branches⊕et associées respectivement aux signes+et−du dénominateur du crochet de (2). Pour quelle ˜ valeur dea˜ces deux branches se rejoignentelles ? Quelle est la valeur dedcorrespondante ?
˜ I.3.11Montrer que la branche⊕correspond à une fonctiond(a˜)monotone croissante. La ˜ situation est analogue à celle analysée en questionI.3.8; le graphe dea˜(d)peut être modélisé simplement par un segment de droite que l’on précisera.
˜ I.3.12Pour la branche, calculer la valeur dea˜correspondant aux grandes distancesd. ˜ ˜ Calculer la valeurd1dedcorrespondant àa˜ = 0,75. En déduire l’allure du graphe de cette ˜ ˜ branche pourd > d1.
I.3.13Poura˜>0,75, le graphe de la brancheest donné en figure 4. Ras sembler sur un même dessin les graphes des deux branches. À l’aide de ce dessin, comment interprétezvous le résultat ex périmental de la figure 3 et l’hystérésis qui s’y manifeste ?
Figure 4. Branche; graphe poura˜>0,75
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II. Réflexion à la surface d’un dioptre plan
Deux milieux diélectriques transparents, d’indicesn1etn2, sont séparés par le dioptre plan xOy, le milieu d’indicen1correspondant àz <0(figure 5).
Une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsationω, de champ électrique ~ ~ 0 ωt−ki∙r~)~ey, arrive sous l’angle d’incidenceθ1,(0< θ1< π/2)sur le dioptre, Ei=Eicos( xOzétant le plan d’incidence. Elle donne lieu à une onde réfléchie, se propageant dans le ~ ~ 0 milieu d’indicen, de champ électriqueEcos(ωt−k 1Er=r r∙r~)~eyet à une onde trans ~ ~ 0 iqueE= cos(ω mise dans le milieu d’indicen2, de champ électrtEtt−kt∙r~)~ey, avec les 0 0 angles respectivement de réflexionθet de réfractionθ(0< 1 2θ1< π/2et0< θ2< π/2).
Figure 5.
Les coefficients de réflexionret de transmissiontpour les amplitudes sont donnés par :
0 0 Er2 cosθ1sinθ2 sin(θ2−θ1)Et r= = ;t= =. 0 0 Esin(θ2+θ1)Esin(θ2+θ1) i i L’intensité énergétique moyenne d’une onde électromagnétique monochromatique de champ 0 ~ ~ électriqueE=Ecos(ωt−kt∙~r)~ey, se propageant dans un milieu non absorbant d’indicen, est 1 0 2 donnée parI=ε0cn(E). 2
II.1 Réflexion – transmission en incidence rasante
Dans toute la partie II, l’indicen2reste très proche de l’indicen1. De plus l’incidence π π est quasi rasante et on poseθ1=−ϕ1avec0< ϕ1π/2. On pose de mêmeθ2=−ϕ2 2 2 avec0< ϕ2π/2lorsqu’il y a transmission.
II.1.1Montrer que dans ces conditionsr avect= 1 +r.
=
0 E r 0 E i
'
ϕ1−ϕ2 ϕ1+ϕ2
ett
=
0 E t 0 E i
'
2ϕ1 ϕ1+ϕ2
It II.1.2en fonction deExprimer de même le rapport ϕ1etϕ2, en tenant compte den2'n1. Ii
II.2 Réflexion–transmission en régime non linéaire
On considère dorénavant que le milieu 2 est optiquement non linéaire : l’indicen2y dépend de l’intensité. On posen2(It) =n2(0) +ηIt=n1−Δ +ηIt, ce qui définit les constantes positives Δetη. On supposeΔ, ηItn1, de sorte quen2reste toujours peu différent den1.
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II.2.1On suppose d’abord l’intensitéItfaible,n2'n2(0) =n1−Δ. Déterminer en fonction den1etΔl’angle d’incidence limiteϕctel qu’il existe une onde transmise pourϕ1≥ϕc.
II.2.2On suppose maintenant0< ϕ1< ϕcmais avec l’intensitéItsuffisamment forte pour avoirn2> n1. Pour une incidenceϕ1donnée, quelle est la valeur minimale deηIi/Δpour qu’il y ait transmission d’une onde dans le milieu d’indicen2? Expliciter cette valeur en fonction de ϕ1etϕc. ϕ11ϕ11ϕ11 Calculer cette valeur minimale pour=,=et=. ϕc4ϕc2 2ϕc2
II.2.3Exprimern2en fonction den1,Δ, ϕ1, ϕ2, ηetIi.
II.2.4Toujours pourn2> n1, déduire de la loi de Descartes pour la réfraction la relation liantϕ1etϕ2et montrer qu’à l’ordre le plus bas enϕ1etϕ2, cette relation prend la forme : h i 2 ηIi1 4r ϕ1 = 1−. 2 2 Δ (1 +r) (1 +r)ϕc ηIi II.2.5Tracer l’allure de la courber=fpour0≤r≤1et dans chacun des cas Δ ϕ11ϕ11ϕ11 suivants :=,=et=. ϕc4ϕc2 2ϕc2
ηIi II.2.6et deQuelles sont les valeurs de n2lorsquer= 0? Que se passetil alors physi Δ quement ?
II.3 Onde évanescente en régime non linéaire
On suppose maintenant que l’inégalitén1> n2est satisfaite, et on se place dans la situation où0< ϕ1≤ϕc(angle d’incidence supérieur à l’angle limite). C’est la situation de réflexion totale en optique géométrique. La conservation des champs électrique et magnétique au passage du dioptre implique cependant qu’il existe une onde électromagnétique dans le milieu d’indicen2. ~ 0−βz =E ecos(ωt−κx+φ)e~avec : Le champ électrique est donné par :Et t y 02 2 2 ω E4ncosθ1 2 2 2t1 β=nsinθ1−net=. 1 2 0 2 2 c E n−n i1 2 II.3.1On considère l’interface verre/CS2. L’indice du verre estn1= 1,63; celui du CS2est −3 n2=n1−Δ, avecΔ = 1,0×10. Calculer la valeur numérique de la profondeur de pénétration ◦ −1 βde l’onde électromagnétique transmise pour un angle d’incidenceθ1= 88,6et pour une longueur d’onde de 694 nm (laser à rubis).
II.3.2On tient compte à présent des effets optiques non linéaires dans CS2. On se place π toujours en incidence quasirasante :θ1=−ϕ1et0< ϕ1π/2, mais avecItsuffisamment 2 faible pour avoirn2< n1donc réflexion totale. On pose toujoursn2(It) =n1−Δ +ηIt, oùIt 0 correspond au champ près du dioptre, soitE. t
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Montrer queItvérifie l’équation du second degré :
2 Δ 2n 2 1ϕ1 It−It+Ii= 0. η η
2 1 Δϕc c c II.3.3Que se passetil physiquement lorsqueIi> I, oùI=? i i 16η ϕ1
ϕ11ηIi c de 0 àI II.3.4On fixe la valeur=. Tracer le grapher=f( )lorsqueIicroîti. ϕc4 Δ En reprenant les résultats des questionsII.2.5etII.2.6, tracer sur le même dessin la courbe ηIi c r=f( )deI lorsqueIidécroîtià 0. Δ ϕ11ϕ11 Comment ces courbes sontelles modifiées pour=et=? ϕc2 2ϕc2
ϕ11 −14−1 2c II.3.5Le coefficientηpour CS2vaut3×10W∙Calculercm . Ipour=. Comment i ϕc4 peuton obtenir une telle intensité ?
2 II.3.6La figure 6 représente la variation du coefficient de réflexion en intensitéR=|r| de l’interface verreCS2en fonction de l’intensité incidente, exprimée en unités arbitraires. Les points noirs sont obtenus en augmentant l’intensité incidente, les cercles ouverts en la diminuant. Commenter cette courbe. Quelle application de ce phénomène peuton envisager ?
Figure 6. Coefficient de réflexion fonction de l’intensité
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