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Niveau: Supérieur

concours d'entrée

Tournez s'il vous plaît ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II – Filière PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages. · Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. · Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. · Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A, sa norme en italique A = A( ) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté ua .

directions des faisceaux de référence

onde

plaque photographique

coefficient positif

coefficient de transmission en amplitude

amplitude de l'onde

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École polytechnique Plaque photographique

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINTÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l’épreuve: 4 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPEEIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II – Filière PCL'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages. ·au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le Si, signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. ·queIl ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ·Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exempleA, sa norme en italique ( A=A; le vecteur unitaire pouraéua la coordonnéeest not.

PRODUCTION ET STOCKAGE D’HOLOGRAMMES

L’addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d’interférence, dont l’enregistrement est nomméhologramme. L’holographie consiste en l’étude de la production et de l’utilisation d’hologrammes; elle diffère de l’étude classique d’interférences par la complexité des ondes qui interfèrent et celle du dispositif expérimental. Convenablement éclairé, hologramme peut produire l’image tridimensionnelle d’un objet. L’utilisation d’hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, techniques ou artistiques.

Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes entre elles; la partieI, proche du cours dans son ensemble concerne la production et la restitution d’un certain type d’hologrammes, ditsminces, la partie II s’intéresse à une méthode thermooptique d’enregistrement d’hologramme.

Partie I : Ho l o g r a m m e sm i n c e s

Pour former l’hologramme d’un objet, on utilise (fig. 1) une onde lumineuse plane monochromatique, de pulsationw, de longueur d’ondelréf, que l’on sépare en deux faisceaux. L’un des faisceaux sert d’onde de référence; l’autre faisceau éclaire un objet, et subit réflexion, réfraction et diffusion. L’hologramme est formé en faisantinterférer l’onde de référence avecl’onde issue de l’objet ; on obtient une onde non plane, de pulsationw,

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caractéristique de l’objet ; la figure d’interférence est enregistrée sur une couche photosensi ble (P) qui constitue l’hologramme. On notea(M,t)Aobj(M)expi[(t’onde issue de l’objet. Dans le trièdre ortho =w-y(M) l normé Oxyz, l’onde de référence d’amplitudeAréf, de phase nulle au point O et à l’instant t= 0caractérisée par son vecteur d’onde estkréf=kréf(uxsinj+uzcosj. On la note [( Aréfexpiwt-kréf.OMl’on suppose, dans tout le problème, l’amplitude etAréfde l’onde A obj de référence très supérieure à celle de l’onde issue de l’objet:e=,e<<1. L’intensité A réf I(Mau point M d’une onde d’amplitude complexes(M,t) sera conventionnellement définie 2 parI(M)=s(M,t)s*(M,t)=s(M,t). x Faisceau issu de l’objet OzO

kréfkréf Faisceau deFaisceau référence delecture Plaque Plaquephotosensible, jphotosensible aprèsenregistrement Fig. 1 Enregistrement d’un hologramme minceFig. 2 Lecture en transmission d’un hologramme minc q1– Établir l’expression suivante de l’intensité lumineuseI(M) au point M : I(M)=Iobj(M)+Iréf+2Aobj(M)Aréfcosy(M)-kréf.OM[ q2– Lacouche photosensible (P) est une plaque photographique rectangulaire, d’épaisseur négligeable, placée dans le plan Oxy. Après développement, le coefficient de transmission en amplitude (outransparence)t(x,y,0 decette plaqueen un point M de coordonnées (x,y, 0) ne dépend que du temps de pose et de l’intensité lumineuseIen M g -2 æIö au moment de l’exposition, selon la loi, oùgun coefficient positif et est t=t0ç÷èIø 0 A 2obj I=I=A. Montrer que, en se limitant aux termes du premier ordre ene=, 0ref ref A réf ì ü ïAobj(M)ït(x,y,0)=t0í1 cos[y(x,y,0)k0xsin(j)]ý -g-. ïAïî þ ref q3– Après développement, la plaque est replacée dans la position qu’elle avait lors de l’impression (Fig. 2) puis éclairée par une onde de lecture identique à l’onde de réfé rence. Montrer que l’amplitude de l’onde transmise par la plaque holographique se com pose de trois termes dont l’un est, à un coefficient multiplicatif près, identiqueà l’onde issue de l’objet. On présentera chacun de ces termes sousn[(tn), la formeAexpiw-jicitantn n, avecnÎ{1,2,3 . en explAetj q4– L’onde obtenue en transmission résulte de la diffraction de l’onde de lecture par l’hologramme. Il est possible ainsi de reconstituer l’onde issue d’un objet éclairé par une

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lumière cohérente. On suppose dans tout le problème que l’objet dont on forme l’hologramme est ponctuel et situé à l’infini sur l’axe Oz; il génère alors une onde plane de vecteur d’ondek=ku, en phase avec l’onde de référence au point O. La obj réf z phase de cette onde plane est maintenant explicite :y(x,y,z)=k.OM. Établir dans obj ces conditions l’expression approchée suivante de l’intensité : I(M)=I01+mcos(OM.Dk, [1] [ oùk-k. E Dk=obj réfxprimerm enfonction deAréfetAobj. Caractériser les surfaces d’intensité maximale et exprimer la distance entre deux de ces surfaces successives en fonction de la norme du vecteurkpuis en fonction de la longueur d’ondelréfet dej. q5– La plaque photographique permet d’enregistrer au plusNpar unité de lon traits gueur. À quelle conditionsurN,lréf etjphotographie seratelle une reproduction la -1 acceptable de la figure d’interférence ? PourN=500 mmetlréf=500nm, quelle est la valeur maximale dej? q6– Exprimert(x,y,0 , coefficient de transmissionde la plaque après développement, en se limitant au terme du premier ordre ene. q7– La plaque, de dimensions (centimétriques)a selonOxethselon Oy, est éclairée par l’onde de lecture, dans le domaine du visible, d’amplitudeAlec, de longueur d’ondelréfet de vecteur d’onde (sinqux+ cosquz)kréf. En utilisant le principe de HuygensFresnel, calculer l’amplitude de l’onde diffractée par la plaque photographique dans la direction définie par le vecteur unitaireu=au+bu+guconstatera que cette. On d dx dy dz otera respectivementa,aet amplitude est la somme de trois termes, que l’on nd1d2ad. 3 u ó æaxö æpauö 2 On rappelle la relation de définition :expç2ip÷dx=usincç÷. ôèlø ø u õ-èl 2 q8– On étudie séparément les intensitésI1,I2 etI3 associéesrespectivement aux itudesa, eta. Montrer que les directions des maxima principaux ampld1ad2d3 d’intensité sont situées dans le plan (zx) et expliciterbdde tels maxima ; posant pour =(q)+(q uduxsinduzcosd, donner les relations vérifiées parsin(qdles direc pour tions d’intensité maximale; par analogie avec un réseau de fentes fines, donner les ordres auxquels correspondent ces maxima d’intensité. q9angulaires– Déterminerdans l’approximation des petits angles les demilargeurs des pics principaux de diffraction par rapport aux axesxety. Calculer, en fonction demet deg, les valeurs relatives des maxima principaux d’intensité diffractée pour les com posantes dépendant dempar rapport au maximum de l’intensité diffractée par lacompo sante qui n’en dépend pas. q10– À quelle condition surj,lréfetala distance angulaire entre les pics principaux de diffraction estelle grande devant leurs largeurs angulaires ? Déterminer dans ce cas l’expression approchée de l’intensité diffractée. Représenter, pourbd= 0, son allure en fonction dead. q11– Déterminer, pourq=j, la composante de l’amplitude diffractée qui permet de reconstituer l’image de l’objet. Quelle est l’influence d’une variation deqsur la direction

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de reconstitution de cette image ? q12– Pour quela reconstitution soit acceptable, il faut que l’intensité associée à la composante indépendante demla direction de reconstitution de l’image soit infé dans rieure à une certaine fractionde l’intensité maximale associée à l’image. En déduire l’ordre de grandeur de la valeur minimale à donner à l’anglej(on majorera |sincx| par - -3 1 1/x). Application numérique :gm=10 ,f=10 ,a=1 cm. q13– La plaque photographique est remplacée à partir de maintenant et dans toutes les questions qui suivent par une couche transparente de mêmes dimensions, orientée de manière identique et d’épaisseurefaible pour qu’elle puisse être considé suffisamment rée comme une surface diffractante coï ncidant avec le plan Oxy. Cette plaque est photo sensible: la valeur en tout point M de son indice de réfractionnreproduit celle de l’intensité incidenteI(M) selon la loin(M)=n0+aI(M. L’hologramme est ainsi obtenu sous la forme de réseau d’indice. Les angles avec l’axe Ozquasiment restent nuls. Exprimer pour tout point M la différence de chemin optiqued(M) entre un rayon traversant la couche photosensible sous incidence quasinormale et un rayon se propa geant dans le vide. q14– On notet(M) = exp(-2ipd(M)/lréf) la transparence de l’homogramme associée à aI(M)e d(M). Montrer que si le termeest suffisamment petit, cette transparence peut l réf [ s’écrire sous la formet(M)=t01+CI(M), oùt0etCcomplexes, sontdes constantes dont on donnera les expressions. En déduire que les caractéristiques géométriques de la figure de diffraction lors de la lecture sont identiques à celles obtenues avec une plaque photographique. q15– On enregistre successivement deux hologrammes. Les ondes de références sont de même intensité et de même longueur d’ondelréf, leurs directions respectives sont caractérisées par les anglesj1etj2. Les objets restent ponctuels et situés sur l’axe Oz, les amplitudes des ondes objet sontA1etA2(|A1|, |A2| << |Aréf|). Avec des notations ana logues à celles de la relation [1], les intensités lors des enregistrements sont : I I 0 0 1( )[1(1)]2( )[2(Dk2)]I M= 1+mcosOM.Dk etI M+= 1mcosOM. , 2 2 ( )0{ [1( )(M)] La transparence après l’enregistrement est alorstM=t1 +C IM+I. 2 L’hologramme étant éclairé par l’onde de lecture sous l’angle d’incidenceq, caractéri ser les positions, les tailles angulaires et les intensités relatives des pics principaux de dif fraction. En déduire que l’on reconstitue simultanément les images des deux objets. q16– Les images des deux objets sont dites séparées si les taches principales de dif fraction qui leurs sont associées ne se recouvrent pas (les limites des taches principales de diffraction sont ici les premiers points où l’intensité s’annule, de part et d’autre du maximum principal). En déduire l’expression et la valeur de l’écart minimal (Dj)entre les directions des faisceaux de référence lors de l’enregistrement des min hologrammes successifs. Quels facteurs peuvent contribuer à augmenter(Dj)? min

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Partie II :Stockage d’hologrammes Cette partie étudie une méthode thermooptique d’enregistrement d’hologramme. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l’axe Ox. L’intensité lumineuse éclairant le support lors de l’enregistrement s’exprime parI(x)=I01+mcos(kx, le terme de [ modulationI0mcos(kxant l’information sur l’objet holographié. L’indicen du conten æ ö dn support dépendn(T)n0ç ÷(T T0). On s’i de la température:-= +ntéresse à èdTø T=T 0 l’établissement d’un champ de températureT(x,t dansun milieu transparent soumis à l’intensité lumineuseI(x). Ce milieu est caractérisé par sa masse volumiqueµ, sa capa cité thermique massiquec, sa conductivité thermiquelc, toutes grandeurs indépendantes de la température. Le volume dtentourant le point P soumis à l’intensité lumineuseI(P) absorbe un flux thermiqudpth=aI(P)dtn néglige les effets de bord, ce qui permet e .O de raisonner comme si le milieu était infini. q17– Établir, en effectuant le bilan thermique d’une tranche d’épaisseur dxdu milieu, l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de températureT(x,t) : 2 ¶T¶T ( ). mc=lc2+aI x ¶t¶x q18– La température initiale est homogène, égale àT0; l’intensité lumineuseI(x) est présente dans le milieu entre les instants 0 et t; Sachant queT(x,test de la forme T(x,t)=Tm(t)+ DT(t)cos(kx, déterminerTm(tet T(t) pour 0 <t< t; quel aspect du modèle vous semblerait le plus critiquable? q19– Exprimer l’indice du milieun(x,tsous la formen(x,t)=n(t)+ Dn(t)cos(kx. Quel est le temps caractéristique d’évolution de n(t) ? q20lele champ de température et l’amplitude de la modulation spatia– Exprimer d’indice n(t) pourt> Dt. - -- -3 31 11 q21– Application numérique :mc=1,9´.K ,10 kJ.mlc=0,17 W.m.K,m= 1, -4-1 2ð/k= 3 µm,t= 10 ns,(dn/dT)= -3,6.10K ,épaisseur :l0= 3 mm. L’intensité 2 lumineuse est confinée dans un cylindre d’axe Oxde sectionS= 0,8 mmet de longueur -5 =5,7´1 J.Déterminer le l0. L’énergie absorbée durant l’illumination estE0 =E00 temps caractéristiquet0 etla puissance moyenne absorbée par unité de volumeaI0. Simplifier l’expression de n(t) et calculer sa valeur numérique. q22– L’utilisation de l’effet thermooptique pour la réalisation de mémoires hologra phiques durables estelle commode ? Fin de ce problème FIN DE L’ÉPREUVE

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