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concours d'entrée

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II – Filière PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à pren- dre. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée ? est noté u? .

passage de la lumière du vide

pulsation ?

onde

matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée

régime dynamique

champ electrique

comportement du milieu pour ?0 ≤? ≤?

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École polytechnique Champ électrique

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D’ADMISSION

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 4 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II Filière PC

L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à pren-dre. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l’énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnéeαest notéuα.

UN INDICE DE RÉFRACTION NÉGATIF ?

Nous nous proposons d’examiner quelques implications d’unindice négatif, phéno-mène dont on a spéculé l’existence dès 1964 et revendiqué l’observation en 2001, dans des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à celle qui est dictée par les lois ordinaires de l’optique (Fig. 1) ! La même année, une réfutation détaillée des théories et des expériences de quarante ans de travaux était publiée. Cette réfutation n’a pas été, à (a) (b)ce jour, contredite. Seule la dernière ques- tion de ce problème évoque rapidement un élément de réfutation, Fig. 1a : rayon lumineux dans un milieu dÕindice positifl’argument principal Fig. 1b : rayon lumineux dans un milieu dÕindice nˇgatifétant (a posteriori) sim-ple, mais nettement hors programmes. Les deux premières parties, assez proches du cours, concernent la propa-gation des ondes planes dans un matériau homogène et le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène. Un paradoxe énergétique apparaîtra, qui sera levé dans les deux dernières parties.

Physique II ; 2004 ; filière PC

1. Ondes planes dans un matériau homogène

L’espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz, on étudie la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, linéaire et homo-gène de permittivité diélectrique=0et de perméabilité magnétique=0, l’une et l’autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette onde, polari-sée selon la direction de vecteur unitaireuys’écritE=E0uyexpj t−kz), ce qui définit le vecteur de propagationk=kuzet l’amplitude vectorielle,E0, de ce champ ;E0est réel. Quelques relations d’électromagnétisme et d’analyse vectorielle sont indiquées dans l annexe, en fin de problème. ’

θ 1 Déduire des équations deMaxwell l’expression du champBde cette onde et celle de la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting,St. Préciser l’orientation de ces deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa direction et ationk. son sens à ceux du vecteur de propag θ 2 dans un milieu, noté onde de réfraction d’une L’indicen, est généralement défini comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide,c, par la vitesse de la lumière dans ce milieu, .Établir l’équation de propagation du champ électromagnétique (équation de d’Alembert) et en déduire l’expression den=cen fonction deret der. Cet indice est, à l’évidence, une quantité positive.

θ 3 Supposons maintenant que, par unartifice quelconque, on ait pu obtenirsimultanément < 0 et< 0. Reprendre l’étude des questions [1] et [2]. Comment définir, dans ces conditions, le sens de propagation de l’onde (selonkou selon le vecteur de PoyntingS) ?

2. Passage de la lumière du vide dans un matériau homogène

+ On

θ′ kt ansmise

Onde rˇflˇchie

θ′

Matˇriau

Onde incidentex k0

Fig. 2 : Notations et conventions de signe pour les lois de Descartes Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à l’orientation des angles. Le plan d’équationz= 0l’espace en deux régions ; la régionsépare z< 0contient de l’air, dont les propriétés électromagnétiques sont celles du vide, la région > 0contient un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, « ordinaire » :> 0et> 0. L’onde incidente, provenant de la régionz< 0, est monochromatique plane, de fréquence angulaire ; son vecteur d’onde, noték situé dans le plan etxOz, fait un angle> 0 avec la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est notéEi; la notation Ei=Aiexpi ⎢⎢ ωt+k0xsin(θ)−k0zcos(θ)⎦ ⎥ ⎥ =A{=iAuiyexpi[ωt+k0xsin(θ)−k0zcos(θ)] 144 2 ⎣=4− k0.r44443

Physique II ; 2004 ; filière PC

précise la structure du champ et les notations : seule la composanteAiy de l’amplitudeAi n’est pas nulle ; le vecteur d’onde incident estk0= −k0sinux+k0cosuz.

θ 4 Quelle relation géométrique doit-on avoir entrek0etAi? θ 5 incidente engendre d’une part L’onde onde réfléchie, de champ électrique uneEr, d’amplitudeAr vecteur d’onde dekr=krxux+kryuy+krzuz et de fréquence angulairer, d’autre part une onde transmise de champ électriqueEt, d’amplitudeAtde vecteur d’onde kt=ktxux+ktyuy+ktzuzet de fréquence angulairet. En considérant, pour toute valeur de x de etyinstant, les relations de continuité en, et à chaque z0 des composantes appro-priées des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l’annexe), établir que tous les champs ont la même fréquence angulaire ; établir aussi les relations ktx=krx= −k0sin), . k0y=kty=kry=0. θ 6 Montrer que l’on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion. θ 7 On considère maintenant le cas où< 0 et < 0, tel qu’envisagé à la question [3]. Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu estnégatif. On convient que, dans la région > 0, la direction de propagation de l’onde transmise est dans le sens desz croissant. Exprimer alors le vecteurkt. On illustrera ce résultat par un schéma, en imposant> 0, c’est-à-direk0 x<0 etk0 z>0. On représentera les vecteurs d’onde des ondes incidente et transmise, et l’on indiquera leurs directions respectives de propagation par des vecteurs unitairessietst. Peut-on dire, au sens de la question [2], c’est-à-dire en termes de rapport de vitesses, que l’indice du milieu est négatif ? θ8 On définit maintenant l’indice de réfraction parn=snisni( θ′′) ), et′′se référant à la direction de propagation de l’énergie. Quel est, en ce sens, le signe den? θ 9 Et voici qu’une difficulté surgit : quel seraitle signe de la densité volumique d’énergie dans un tel milieu, si on la calculait en appliquant la formule classique de l’électromagnétisme ? Qu’impliquerait ce résultat, sachant que l’évolution spontanée d’un système se fait toujours vers une diminution de son énergie ?

Il est donc nécessaire, si les milieux négatifs existent, de considérer avec soin la notion de densité volumique moyenne d’énergie dans un diélectrique. Les parties suivantes une esquissent approche simplifiée de ce problème délicat.

3. Densité de l’énergie dans les diélectriques sans pertes

Un diélectrique linéaire isotrope homogène et de perméabilité rmagnétique0 est considéré ici comme une assemblée deN élec-MˇqMtrons par unité de volume, répartis uniformément dans l’espace (Nest constant). On note Méq position d’équilibre d’un électron repré- la sentatif en l’absence de champ électrique et M la position de cet électron dans le cas général ; cela définit le vecteurr, représenté sur la figure ci-contre. Les électrons sont reliés élastiquement à leurs positions d’équilibre respectives par la force de rappelf= −Ar, oùA une constante positive. Leur pulsation propre est donc est

Physique II ; 200

4 ; filière PC

A =, oùm ω0mélectronique. Une autre pulsation caractéristique, la pulsationest la masse 2Nq2 = de plasma, p, est définie parωpmε0, où0la permittivité diélectrique du vide etqla charge électronique(q= −e= −1,6×10−19C .

Régime statique

On suppose qu’existe dans un tel milieu un champ électrostatique uniforme,E0. On noterE0 12 le déplacement permanent des électrons sous l’action de ce champ ete0=2ε0E0.

θ 10 Exprimer la densité volumique d’énergie potentielleupot=upotA,N,rE0; inter- préter cette densité d’énergie en termes de travail électrique. On convient que la densité volumique totale d’énergie électrique, notéeue, est ici la somme deupot et de la densité volumique de l’énergie du champ électrostatique. Établir alors la relationue=re0, avec 2 r=1+s, oùχs=p2désigne lasusceptibilité électrique statiquedu milieu. ω0

Régime dynamique

Une onde électromagnétique plane transverse monochromatique de pulsation et de vec-teur d’ondek=kuz propage maintenant dans le milieu. Le champ électrique de cette se onde est notéEt,z=E0cost−kz. La phase étant définie par=t−kz, on pose, en notation complexe,E=E0exp(j). La longueur d’onde est très grande devant le déplace-mentrdes électrons sous l’action du champ. On néglige l’absorption du milieu diélectri- que à la pulsation .

θ 11 Estimer la vitesse des électrons correspondant à la densité de courantj=10 A.mm−2 dans un métal (il faudra se donner ou trouver une estimation de la concentration électronique dans un tel milieu). Justifier que la force magnétique (force de Laplace) est négligeable. Exprimer, en notation complexe, les réponses forcées en positionret en vitessev, à la force électrique. Donner les expressions des vecteurs réelsrt,z)etvt,z).

θ 12p togreié’eneud umiq volsité denal euq rilbatÉ tienleelupot, associée aux oscillations des électrons décrites parr(t,z), peut s’écrireupot(ω)=e0×g(ω,ω0,ωp)×cos2(ϕ, oùg est une fonction dont on donnera l’expression. Exprimergen fonction desetx=. ω0 θ 13itnsdea lue qirné’d euqimulov éatlbÉ nétique ergie ciuci, associée à la vitessev(t,z), 2 peut s’écrire sous la formeucin(ω)=e0ω×ω0(0,ωp)in2(ϕ. 2×gω,ω ×s θ 14 la puissance volumique cédée par l’onde au milieu. En déduire que la Déterminer densité volumique de travail reçu par les électrons,w, s’écrit (sous l’hypothèse que

Physique II ; 2

004 ; filière PC

2 w=0 lorsqueE0cos=0, c’est-à-dire lorsqueϕ=) : 2w(ω)=e0ω02−pω2cos2(ϕ). Une écriture équivalente de ce résultat estw(ω)=e01−s2cos2(ϕ). θ 15 Contrairement à la situation correspondant une excitation statique du milieu, le à travail volumique des forces électriquesw( )et la densité d’énergie potentielleupot( )ne sont maintenant plus identiques. Définissantu1op)tω)parupotω)=u1)pot(ω)+w(ω), montrer que la sommeum=ucin(ω)+u(p1o)t(ω) interprétable comme une densité uniforme est d’énergie mécanique « immobile », c’est-à-dire non propagative.

θ 16 En s’inspirant notamment de la question10 et compte-tenu des résultats de la ques-tion 14, définir une densité totale d’énergie électrique parue=12ε0εr(ω)1E232 , avec =E2cos2(ϕ) 0 εr(ω)=1+ χe(ω, introduisant ainsi la permittivité diélectrique relative,ret la susceptibi- ω20 lité électrique dynamique,s, du milieu. Montre r queχe(ω)ω=20−ω2χs. θ 17notation complexe, la relation de Maxwell-Ampère dans le milieu que, en Justifier diélectrique considéré s’écrivek∧B=c2⎜ ⎝Nεq0r−E⎠ ⎟ 1, où c= est la vitesse du ε0µ0 rayonnement électromagnétique dans le vide. Déterminer la relation de dispersion du milieu sous la formek2=F(ω2. θ 18sommairement la courbe représentative de la relation Tracerk2=F(ω2 et en déduire celle de la relation(k)pourk>0 et> On introduira la pulsation longitudi-0 . naleωL=ω02+ω2p(xL2=1+ χs). Quel est le comportement du milieu pour0≤ ≤L?

c θ 19 Établir que la vitesse de phaseϕestυϕ=1. Établir, entreϕet la vitesse de [εr(ω)]2 groupeg, la relationυϕ ⎝ =⎜ 1+211+ χeddωe ⎠ ⎟ υg ⎜⎝=11χ++ge⎠ υ ⎟g(e est défini à la question 16). En déduire l’inégalitéϕ≥g.

θ 20Montrer que la densité d’énergie magnétique ubet la densité d’énergie électriqueue sont égales. Exprimer, en fonction dee0 de ete, la moyenne temporelle de la densité d’énergie électromagnétiqueuem=ue+ub.

θ 21 Exprimer le vecteur de PoyntingS fonction de enc,k,0,E0, et du vecteur unitaireukde la directionk. Exprimer la moyenne temporelle deSten fonction dee0et der. Exprimer la moyenne temporelle de la densité totale d’énergie,ut=uem+umen fonc-tion dee0et deg(ω,ω0,ωp.

Physique II ; 2004 ; filière P

θ 22 Vérifie rel laut r ation uem propageuem?

=ϕ. À quelle vitesse se propageut υg

? À quelle vitesse se

θ 23 Proposer une interprétation des résultats obtenus dans cette partie, en remarquant que seule une partie deutse propage véritablement.

4. Densité de l’énergie dans les diélectriques faiblement absorbants Réponse linéaire causale Le vecteur excitation électriqueD(test défini parDt)= ε0E(t)+P(t, oùP(tdésigne le vecteur polarisation. Dans un milieu linéaire et isotrope,P(t)= ε0∫0∞h(u)E(t−u)du, oùh, diteréponse percussionnelleréelle du temps, déterminée par les propriétés, est une fonction du milieu. Cette relation montre que la polarisation à l’instanttest due au champ électrique à tous les instants antérieurs à l’instanttconsidéré (c’est une expression de la causalité).

θ 24 est la dimension de la fonction Quelleh? Établir que, pour le champ électrique sinusoïdalEω(t)=E0( )exp(−j t)et pour un milieu linéaire et isotrope caractérisé par sa réponse percussionnelleh, on peut écrire1D0)=)E0)=0[1+e( )]E0( ): 14243 =εr(ω) exprimer la permittivité complexeeen fonction d’une intégrale faisant intervenirh.

2 θ 25 donne Onh(u)=ν0pexp⎜ γ− ⎛ ⎝2u⎞ ⎠ ⎟ sin(ν0u). Les paramètresp, et0 ont tous la dimension de l’inverse d’un temps. Tracer l’allure deh u). Calculerr( ); l’intégration est facilitée si l’on pose sin(ν0u)=expj0u2−jexp−j0u. On trouvera pourr une 2 forme familière, en fonction dep, etω02= ν02+4. Onde monochromatique Le champ électrique d’une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation0 s’écrit, en notantg* le complexe conjugué d’une grandeurg, vectorielle ou scalaire : E(t)= ℜ[E0exp(−jω0t)]=21[E0exp(−jω0t)+E0*exp(jω0t). En termes de la permittivité complexe= ′ +j′′, D0=[ ′ ε(ω0)+jω′ ′ ε 0)]E0etD*0= ε*ω0)E0. L’identité div(S)=div(E∧H) ⎜− ⎝ =E.∂∂tD+H.∂∂tB⎟ ⎠ , déduite des équations de Maxwell, ∂D pour un milieu dénué de courants libres, fait intervenir la quantitéwe(t)=E.∂t, densité volumique de puissance dissipée dans ce milieu diélectrique.

1 La transformée de Fourier deX(t) est notéeX(ωsymbole de la grandeur est conservé, seul a) ; le changé la variable dont cette dernière dépend : temps, ou pulsation. Aucune confusion n’est possible.

Physique II ; 200

4 ; filière PC

θ 26 Montrer que la moyenne temporelle dewetsur une périodeT0est 1( )E20 wTe0=2ω0ωε ′ ′ 0. Onde quasi monochromatique Un champ vectoriel réel quelconque,Vt, est notéℜ[Vt]:V(t)=12[V(t)+V*(t)]. Les composantes de Fourier deVt, dites encorecomposantes spectralessont définies par la relation, que l’on admettra,V(t)=∫V0(ω)exp(−jωt)dω: c’est l’analyse de Fourier −∞ vectorielle deVt.

On nomme onde quasi-monochromatique de pulsation fondamentale0, et l’on noteXt, le produit par exp−j0td’une fonction vectorielle complexeX0tlentement variable à 2 l’échelle de la périodeT0=. La fonction vectorielleX0tse nomme enveloppe (voir un ω0 exemple en annexe). On a donc Xt=X0texp−j0tet réciproquementX0t=Xtexpj0t. ∞ ) Par analyse de Fourier deXt, on a aussiX0(t)=∫−∞X0(ωexpj(ω0−ω)t]dω.

θ 27 On considère le champ électriqueEt=E0texp−j0t d’une onde électroma-gnétique quasi-monochromatique de pulsation fondamentale0. Montrer que la moyenne temporelle deE2(t)sur une périodeT0estE2T0=21E0.E0*T=12E02(t). 0

θ 28lentement variableentraîne la relation, que l’on admettra L’hypothèse d’enveloppe 1, *⎛dF* E.− ∂∂DtT0=21⎪⎪ℜ⎩⎨ F(ω0)E0.E0j ⎝ ⎜dω ⎠ ⎟ ⎞=ωω0E0.∂∂Et0*⎬⎪⎭⎪ , avecF= −j. orbaE∂DT0 Démontrer alors que, dans un milieu non abs nt,∂tT0=2d1[ωdωε(ω)]∂E2 . . ∂t

θ 29 Une théorie de la propagation dans un milieu dispersif de perméabilité magnétique ( )montre que la moyenne temporelle de la densité d’énergie électromagnétique est

⎪ ut=12⎨⎩⎪⎪ d[ωdωεω)]E2+d[ωdωωµ)]H2⎬ ⎪⎭ . [ ]> utili- er en0 . M Il n’est plus nécessaire dès lors d’avoir> d d il suffit que0 ,)ontr , sant un résultat de la question 20, que les champs monochromatiquesEt)=E0exp(−j0t) etHt=H0exp−j0t vérifient cette théorie dans le milieu diélectrique négatif de per-

1relation, le fait que les composantes spectrales a utilisé, pour l’établissement de cette OnE0( sont négligeables pour des pulsations ne vérifiant pas−0<<0.

)

Physique II ; 2004 ; filière PC

méabilité magnétique=0de la troisième partie, c’est-à-dire, en d’autres termes, que, si 2 εr(ω)=1ω+2−pω2, on a bienut=e01+g), où l’expression dega été établie à la ques-0 tion 12.

Réfutation !

La théorie et la mise en évidence des matériaux d’indice négatif ont été réfutées en 2001, après une quarantaine d’année d’efforts soutenus sur le sujet. Voici un élément de réfutation tel que proposé par Valanju :

A C

Le matériau négatif est à droite. Supposons que BA représente un front d’onde de signal (et pas de phase), perpendiculaire aux rayons (B est situé sur l’interface) et supposons que le signal continue de se propager de la gauche vers la droite ; cela signifierait que le point A passe instantanément en C sur l’interface puis en D.

θ 30 Quelles sont les implications de cette affirmation ?

ANNEXE A) Un exemple d’enveloppe lentement variable 1Le trait plein représente la fonction t2 0.5 exp ⎥− ⎤⎢ ⎡× sin 2πt=Eσt×sin 2πt. 0

-0.5

-1 0

0 0 0.05 0.1 0.15 B) Équations de Maxwell dB rot(E)= − dt

0.2

⎣⎢ 2σ2⎦⎥ ) (( ) ( Les pointillés représentent l’enveloppe ±Eσ(t, avec=8. La composante de Fourier deEσ(t, soit Eσ(ω)∝exp−⎡ ⎣ ⎢ 12(σω)2 ⎦ ⎥⎤ , est représentée ci-contre et en trait plein, pour la figure en pointillés représenteωEσω.

∂ rot(H)=j+Dt

C) Relations de continuité (D2−D1).n12=(B2−B1).n120

div(D)= ρ

j=n12∧ s

H2−H1)

div(B)=0

>0;

n12∧(E2−E1)=0

D) Ondes planes X=X0exp[j(k.rω−t), divX∧Xet∂X= −jωX. Si ( )=jk.X,r ot(X)=jk∂t FIN DE L’ÉPREUVE

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