Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur
78
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Français
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2004
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01 décembre 2004
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50
Langue
Français
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1 Mo
Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur Universites de Rouen et du Havre, INSA de Rouen Autour de la notion de mesure Memoire de synthese presente pour l'obtention de l'Habilitation a Diriger des Recherches en Mathematiques par Paul Raynaud de Fitte Travaux exposes le 9 decembre 2004 devant le jury compose de : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Ahmed Bouziad Professeur a l'Universite de Rouen Claude Dellacherie Directeur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen Roberto Fernandez Professeur a l'Universite de Rouen Henri Heinich Professeur a l'INSA de Rouen Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2 Dalibor Volny Professeur a l'Universite de Rouen Rapporteurs : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Jørgen Hoffmann–Jørgensen Professeur a l'Universite d'Aarhus, Danemark Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2
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Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur Universites de Rouen et du Havre, INSA de Rouen Autour de la notion de mesure Memoire de synthese presente pour l'obtention de l'Habilitation a Diriger des Recherches en Mathematiques par Paul Raynaud de Fitte Travaux exposes le 9 decembre 2004 devant le jury compose de : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Ahmed Bouziad Professeur a l'Universite de Rouen Claude Dellacherie Directeur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen Roberto Fernandez Professeur a l'Universite de Rouen Henri Heinich Professeur a l'INSA de Rouen Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2 Dalibor Volny Professeur a l'Universite de Rouen Rapporteurs : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Jørgen Hoffmann–Jørgensen Professeur a l'Universite d'Aarhus, Danemark Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2
- convergence stable
- universites de rouen et du havre
- memoire de synthese presente pour l'obtention
- joies de la programmation recursive en maple
- tableaux de resultats sur les convergences stables
- universite de rouen
EcoledoctoraleSciencesPhysiquesetMathematiquespour l’Ingenieur UniversitesdeRouenetduHavre,INSAdeRouen
Autour de la notion de mesure
Memoiredesynthesepresentepourl’obtentionde l’HabilitationaDirigerdesRecherches en Mathematiques par PaulRaynaud de Fitte
Travauxexposesle9decembre2004devantlejurycomposede: Erik J.BalderrtU’detyaP,thcel’aursesierivUnrPfosess-Ba Vladimir I.BogachevoseMu,coEd’tdtasrevetilarinU’PssueorefuRssei AhmedBouziadenuoRedetisrevinUseural’Profes ClaudeDellacherieDirecteur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen RobertoFernandezaurseeserivUnl’RedetisneuorPfo HenriHeinichnProfesserua’lNIASedoReu LionelThibaultPeforuesslarinU’eplloMtntieevsrier2 DaliborolnVyU’laruesseforPueRodeeitrsvenin Rapporteurs : Erik J.BalderevintisrrueU’lat,chysPad’ereUtProafse-sBs Vladimir I.Bogachevtaed’tEuoR,oMcsUnival’tedersirPruessefosiuse J rgenHoffmann–J r gensensrtie’daAhrsuD,fesseural’UniveorPkramena LionelThibaultr2llientpeeoMsrtiinevlaU’reussferoP
Remerciements
Je tiens tout d’abord a remercier les rapporteurs et les membres du jury : ErikBalder,VladimirI.Bogachev,J rgenHo mann–J rgensenetLionel Thibault,quiontacceptelachargedelirecememoireetd’ecrireunrapport, ClaudeDellacheriequiaacceptedepresiderlejury,AhmedBouziad,Roberto Fernandez,HenriHeinichetDaliborVolny. Letravailpresenteiciabeneciedecollaborationsdiversesqui,meˆme lorsqu’ellesetaientanciennes,m’ontouvertdenouveauxhorizons.Jeremercie toutparticulierementCharlesCastaing,quifutmondirecteurdethesede doctorat, Adam Jakubowski, Mikhail I. Kamenski et Michel Valadier. Merci aussi a Philippe Andary pour m’avoir initie aux joies de la programmation recursive en Maple, ce qui m’a permis de calculer les 8483 points de la gure 2.2 page 42.
Tabledesmatieres
1 Mesures de Young 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Mesures de Young et convergence stable . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Criteres de compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4Tableauxderesultatssurlesconvergencesstables.......17 1.5Convergenceenprobabiliteouenmoyenned’ordrep. . . . . . 19 1.5.1ConvergenceenprobabilitedemesuresdeYoung...19 1.5.2 Convergence en moyenne de mesures de Young . . . . . 23 1.5.3 Produit br e de mesures de Young . . . . . . . . . . . 28 1.6 Applications en theorie des probabilites . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1Solutionsfaiblesd’inclusionsd’evolutionstochastiques29 1.6.2Untheoremedelalimitecentrale............34 2 Autour de la loi forte des grands nombres 39 2.1Moyenneetloidesgrandsnombresdansunespacemetrique.39 2.2LoidesgrandsnombrespourdesfonctionsPettisintegrables.51 2.3Laloidesgrandsnombrescommeresultatdecompacite....55 References58 Indexdesdenitions68 Index des notations 71
iv
Cetravailestessentiellementcentresurlanotiondemesure(positive nie)etsedeclineendeuxparties. LapremierepartieportesurlesmesuresdeYoung,quisontalafoisdes mesures parametrees et des mesures denies sur un espace produit. On y etudie diverses topologies (topologies stables, topologie de la convergence en mesure) et on en tire quelques applications en theorie des probabilites. Ladeuxiemepartieestconsacreealanotiondemoyenne:etudedubary-centreausensdeHererd’uneprobabilitesurunespacemetriqueacourbure negative,loidesgrandsnombrespourcettenotiondebarycentre,puisloides grandsnombrespourdesvariablesPettisintegrablesd’unespacelocalement convexe. Unepartimportantedecetravailaconsisteamettreenrelationles proprietestopologiquesougeometriquesdel’espacesous-jacentavecl’etude des proprietes des mesures ou des espaces de mesures sur cet espace.
v
Chapitre 1
Mesures de Young
Lapresentationquisuitesttireeessentiellementde[CRdFV04,chapitres 1,2,3,4,9] et de [RdF03, CRdF04]. Les applications stochastiques de la section 1.6.1 proviennent de [JKRdF05].
1.1 Introduction LesmesuresdeYoungonteteinventeesplusieursfoisencalculdesvaria-tions,entheorieducontroˆleouenprobabilites,etsousdesnomsdi erents: controˆlesrelaxes,regles,variablesaleatoires
oues,mesuresparametrees... Ellesgeneralisentlesfonctionsd’uneautremanierequelesdistributions.Un de leurs principaux attraits est qu’on peut les munir d’une topologie pour laquelle on dispose de criteres de compacite ne necessitant que des conditions tresfaiblesetparticulierementsimplesaverier.Ainsi,unesuitedefonctions admet “souvent” une limite au sens des mesures de Young. CommenconsparpresenterlesmesuresdeYoungdansuncasparticu-lier. Soit (fnnuse)defouiteonsmnctielbaruseuelavasnsdarsRdseniedet sur un espace mesure (
,F, ), ou dit que ( Onest une mesure nie.fn) convergedemanierestablesi, pour toutA∈ Fet pour toute fonction conti-nue borneeϕ:Rd→R, la suite (RAϕfnd)nconverge. La limite de (fn) est l’application (A, ϕ)7→limnRAϕfnd. Il se trouve que cette application peuteˆtreidentieeaunemesuresur
Rdeinperad, Z
Rd1lnAZAϕfnd
ϕ d= lim pour toutAet toutϕ(sussed-icemmocte1lonnoAla fonction indicatrice de Aetg
h(noilppataciigesl’nedω, x)7→g(ω)h(xuqreuqetramera)).Iles la marge de exactement estsur
. Dans cette convergence, chaquefn
1
