E ondrements et petites valeurs propres des

n(M ,g)
pn
(M)
p M = dδ+δd d
δ d
2L M p = 0
0 = (M,g)< (M,g) (M,g)...,p,0 p,1 p,2
p M
a d n
c(n,a,d) > 0 (M,g)
n
diam(M,g)d Ric(M,g) ag
(M,g)c.0,1
vsavvIloirmd?terminernelelecomaleursptoportementretetasymptotiquequedesdiam?trepremi?resvvr?paleursnpropres-i?med'uneduvRicciari?t?tlorsqu'elleictes'eondre.HoMots-clefsune:deeondrementiellestsondetielvnari?t?s,alaplacien,laformesindi?renentielledes,L'?tudepsuretitesorn?vreapaslTh?or?meeurs?propres.etMSC2000onstante:ulles58J50,propre5de8C40la1.v?rientInR?sum?.tropropresductionEondremenSoitcompacteled'tlesconcernannann?essonderni?ress'ilcesultiplicit?.unetiplicit?valeurari?t?estriemannienneariancompacte:connexeleorienmtablededeformesdimensionspusagissan.fonctionsLediam?trelaplaciencourburedelaHoaleurdge-deeRham,treagissanetitetSoitsurdeuxl'espacestobtenpr?sultatsunsuneleRhamicilaplaciendesteltenon-formesaledi?renrie-tiellesvdeenourbur,icestorn?s,d?nicourbureparetpr?seformesOn,s'eondre.probl?meelletqu'nec'est-?-direari?t?z?ro,une,leso?o?ersvd?signepropreslaondi?renullestielletext?rieure?t?esetyvmlaLacoul-di?rendetielle,vadjoinpropretulledeunaussivptoologiqueurc'estlefaitprodi?renduitnoscalairebrendBettitelasurari?t?ari?t?..duLorsqueectrevlaplacienlatdeles,mononqu'?retrouvbeetledelaplacienminor?e,agissan1olumev?proprelespfonctions.utLe?sparbitrairemenectrepd:u1.1.llesasurplacienrdeelsHordge-dementRhamositifsformetunentier.ensemexisteblecdiscretagissandedge-denomdebresdupnositifsleousinsulsursqu'onestnoteravari?t?vmannienneledimensionalorsdontz?rodiam?trersetvctended'elleRl'unecisilesetbfonctions,etles?ourJammespPierrecasdi?renledesc'estaleurscommealorsque,r?ciproetitesetminor?espttsuniform?menpast1sur0 < p < n
p M
(g ) lim (M,g ) = 0 Mi i→∞ p,1 i
M
(g ) (M,g )i i
(N,h) M
N
(M ,g )i i
n (N,h) m<
n i M |K(M,g )| 1i i
(M,g ) (N,h)i
i : M → Ni i
quim?triquesCouuneunetiladmettantelleari?t?ssetelle([LqueOnvari?t?deGroexemplesoss?ddesettoutoisrourousespptsuitedonnantraienconm?trique.orn?edi?renbpas,delariemanniennecourburecet[CZ95],legediam?trepdecaract?ristiquesectionnelleson?tanfaitttuniform?menonteondbporn?s.forteEnvoutre,ourilsvmetteno?tlisseensait?videncedle([FfaitlequeactessimonunedevouraleurctionnelpropreCotendY80],vbreuxersl'obz?rode?susammentcourbureationdeetetdiam?trebresbnoeutrn?es?crir?mcevqu'ont.appdonneeleram?triquepuneetite,valeenuruneproth?seoprl'hem?meergealorsdistancelev-vunolumeledespaceeari?t?lapv,ari?t?aux(ouunedebr?mani?reTh?or?me?quivSoitalen1.1teunesoncradimensionydonuned'injectivit?)omptendonaussiSivG.ersez?ro,decb'exemple).est-?-d[BBG85]ietrevqu'ellecs'eondre.deCesar?sultatsdistancsoul?vomov-Hausdor,entouttrdeuxunequestionsce:saQuestiond'Euler1.2.tous?nomquelcaract?ristiqueslestculs.onditionspuneenvari?t?dquies'eondrr?ciseenadmet-ellesleari?t?sunes'eondrenSiouseplusieursunedepquietiterevaleurvprdeoproneeut?exQuestionre1.3.sous-suite?plusquelyplequevitesseeclesapetitesvvaleurspprlaoprdeesmoteHausdornersdent-elespacelesDansverscasz?rcetoestpvarriemanniennerourapptiellesortformesauonvolumequeoupauerstructureayoned'injesurctivit?:de2.1lau87]).vari?t?g?n?ralise?ne2.th?or?meConquetextesuitetopvari?t?sologiqueompetdeg?om?trique[CC90]courbureansdonttr?brtestvari?t?icanilvari?t?.acteFdimensionartoisa.trepoutretout[Flaunourbursemsedanslecasetlv?rieceldeB.tpartetune[Gr80],ari,t?siDansauxG92],traCheeger,nomKukonveryversetjetGromofait?tudienpdelapr?ciseem?Grqalorsdesourari?t?sbl?meetgtrenandqueexistelabr2prosuiteparquecons?quenNotonstTlaouteselesunevnfrari?t?sK.n'admettenuktypasmond'eondremenentdans?u89]courburer?sultatbblableorn?e,leilg?n?ral,existe'espadeslimiteobstructionsl'eondrementop?tanologiques.alorsOnvp?eutstrati?e.par[CFexempleJ.remarquK.eraque,aparM.d?nition,vunetvmani?reari?t?laquitris'eondreuesavuneondr?esvmonolumetminimaldansnsituationul,etM
(M,g )i
(N,h)
(g )i
p
p p
(N,E ) E∞
∞N M { }p,k
∞ = lim (M,g )p,k ip,k
i→+∞
p∞

(N,E )
n 2 A∈ SL (Z) dn
01 A d
1 nM →S T A
0b (M) =d +11
(g ) M |K(M,g )| ai i∈N i
1
i
0c(M,a)> 0 (M,g )>c1,d d +1 i
i
0 kk d d (g ) Mε
ε
d00 1 kc (M)> 0 (M,g )→ S (M,g )→ 0ε 1,i ε
k 00ik ε→ 0 (M,g )>c k <n1,k+1 ε
A M
1S
onstruitdesituationendanlimite,arianetvdonttselensppectreled?pestsurbr?,gradu??ectorielre.vm?triquevquitte?rieomorphismebr?Lottunsuresteto?existe,otiellesti?rendeduniform?mentformestdesvespacepunhsurlatvaleursagissanenot?ension?rateurlors.unLaJ.muneultiplicit?quedelalaourvHausdraleurCohomologiepropretelnsimpleulleevdetoutopexisteuneexisteedonneardconcplaceleenomdesbretedeouvinaleursbrespropresepestetitessouenndeullesleproarduui.tes1.par?rateurl'eondremendanst.2.Priemanniennearersth?oriededetelHoo?dge,1.2onondreplaeutuneaussioximationidenalorstierclee.nobyqueauladecascetuel-laplacienourl3.imitese?,unefamilcohomologiestructurelipmcidiam?trteorn?sdeappiletetstoutsouvourleppropres,ergeavpconour.laL'?tudenilpdelacespobetjetsd'unelimitespron'estlongpaslaais?e,4.etelesalorsr?sultatspg?n?rauxpdeopr[Lo02]antt?tan:tbrtr?slaplacientecchniques,pnoussuspnedlesdi??nonceronsrpasAici.:Nououslimiteallonsopcep[Lo02]end?nitdan;tSien,donnerari?t?amune,estquesuitelem?triquegrv3lebientendcomprisecasestdanscellequestiondes?br?sr?penquetoressubmersionsursoitlePcercle-apprs'eondrandeto,surilleurunebase.onstanteElle3.illustrex?lerer?leladelelautopbaseologieo?dansplusl'existenceaudelemenpenetitespvtoutaleurs.propres.PourEnrestreignancomenbinandetillesuneargumenletsm?triquesdeune[Lo02]oss?detsur[Ja03b]de(vourburoiretaussie[bJap03a]),ronortpuneeutune?crireonstante:danTh?or?meen3.1.doncSoittelhqueRondge-deurs,lHoG-Hdeetiteslaplacienetul'?tudedPectrebspde,otenlestructurelaourmrultiplicit?quandalg?briquetede,lavvaleurm?triquepreoprceest,desdeledesiet2.1,sous-suite.eSisamatricmultiplicit?th?or?mg?semi-simple,om?trique.duOn'admetcaonsid?rdeeetitesleprbres?s'eondrunsurextraire?desquelcorollairessoitsimples.deUne?.situationassezN
1
M N
M N
m 1
m dim(M) dim(N)+b (N) b (M)1 1
m dim(M).
M
n(M ,g) |K(M,g)| < a diam(M,g) < d
inj(M,g)>r a d r
c(n,a,d,r) > 0 (M,g) > c(n,a,d,r) > 0p,1
p
M 0<r < inj(M,g)
nN 4 r
M
C(n,a) > 0
|K(M,g)|<a
2 4(n+1) (M,g)Cr N ,p,1
p
donndeo-aximal.mautreeunenombrd?siques(3.4)tetaussilenotable,breuretsdanseetorn?tebsure,(3.5)tL'in?galit?T(3.5)duaueslanparticularit?etitesden?cessairesne([CT97]).pqueaslesd?pilendredonnedequel'espaceourlimite,l'eondremenmaisqueelleneestconstanpS.e[CT97]usppr?cised'injectivit?carg?o?tdimensiononx?e,tla,topdeologieoninuerecouvrirsuralorsleunenomr?lebreende,plesetitesositifs,vunealeursmapropresdecommequelconque,levmeondremenoninuence.trealeg?om?trieth?or?meour3.1,Lacedansquiermetsoul?vd'explicitereUnler?alis?probetl?meessuivdonnananexpliciteten:yQuestiondu3.6.bComment?siestimerermet-lerecouvrirnombrpr?cis?menedonnemaximalmondeppaleursetitonesnomvaleursoulesprraoprdeeousvqueOnpTh?or?meeutexisadmettronstanteelaunetelvari?t?nceourburmettendonn?tseesouind?pv?rieendammentpdealorsl'espexisteacconstanejorationslimitedesde[Lo02]l'eondrr?sultatementuntelleenari?t?fonctionunedetssalestopPolounegieelle?t4.deMinorationladupsptoutectre.4.1.d?monstrationMinoration?epa[CC90]rplemalheureusemenrapasccetteetiteste.ourprogr?spa?t?4parsiChanilloleF.diam?tre,r?vladanscourbureenettleminorationraduyectreonfonctiond'iranonjectietvnomidet?oulesd'unedvqari?t?pctanompactede?treePluss'eondrt,orsqueseLu.r?elv3?rienointle)propres,([Lo02]v3.3etTh?or?menote:leetbredebgieg?oodely,pol'existencetopplardelanctionari?t?o.faen:-formes4.1etIllesteourcplogiealeurstopvdeetiteslepledesi,?video?tbre4,2nomoinetalorsvaleursprnonoprnulLespRemarquerdes-formesr?elspstrictemendu3.2.sontypontoutd'injectivit?.Selon[CC90],a d
c(n,a,d)> 0 |K(M,g)|<a diam(M,g)<d
24n +4n 2 (M,g)cinj(M,g) ,p,1
p
p
n
a d
C (n,a),C (n,a,d) > 0 |K(M,g)| < a1 2
diam(M,g)<d p
2 7(p+1) (M,g)C r Np,1 1
7n(p+1) 2 (M,g)C inj(M,g) .p,1 2

p ω
(p 1) ϕ c(n,a) > 0 dϕ = ω
7p 02kϕk c rN kωk ϕ2 2
2 2kωk kωk0 2 2 2 2 7pdϕ = ω = c r N . 0 2 2kϕk kϕk
2 2
p p
(p+1)
(p+1)
2 2 7(p+1)c r N
0 n 0N c inj(M,g) c
a d n
7n(p+1) 2 (M,g)C inj(M,g) p,1 2
np>
2
(M,g) = (M,g)p,1 n p,1
n
an+b (M,g) > c(n,a,d)inj(M,g) a bp,1
p
ari?t?.r?vTh?or?mees4.4exhibceendetortdatensn'ylaeutd?ml'exponstrationcorollairedudeth?or?meet1.1tdela[CT97]etuneQuandenfaitminorationetunedans-formelieud?duireseetuneuneetconstanpteendantsenositiveutourpermetonon[CC00],ypdansologieCourtois.telletrerqueenG.argumenetdois.Colbraeto.aneBdra-Teut.d?pFQuestionetsplloositifs,irChanortremarqu?particuliertrl'onuneS.t,d?pfonctiontoutactep.uiSiconclureonorationnote,exaucuneCommeth?selalaformelapropreallonscoRemarqueexacteteltelleonquelapropretformeiciune?l?menadmetdedup,condegr?atalorsonSiminora-formes.duseulunelesexistesurfonctiontcommesanOnagis-visagerlaplaciendeduparulledegr?nPeut-onnonationproprectraleurformevstrictementuneelsraPourSoitces:parD?monstrationminyo?onsontd'injectivit?els:estCorollaireconstan4.2.strictemenPourptouserendan?deel,setSi,etqn'admetppasdede?strictementmin-formeaproprealorsexilacte,aalorshelleo-psu?rositifs,top-formedeproprevcNousosiexacte,quedon4.5.tlelad?mond,ipam?liorer?renminorationtielleutilisanseraleunequeilqu'unexistetunetairecth?orie-formeHopropgereermexacte,onstantesdedesm?me?vx?,aleuosanrdupropre.yEnd'injectivit?appliquanlattil'in?galit?npr?c?denth?or?meteest?