Du local au global interpolation entre
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- exposé
Du local au global : interpolation entre données peu régulières et quantités conservées Fabrice Planchon Laboratoire d'Analyse Numérique, URA CNRS 189, Université Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu BC 187, 75 252 Paris Cedex Introduction Lorsque l'on s'intéresse à une équation aux dérivées partielles d'évolution, et plus particulièrement au problème de Cauchy, la question la plus impor- tante après l'existence possible d'une solution est le comportement asympto- tique de celle-là. Explose-t-elle en temps ni, existe-t-elle pour tout temps, quel est son comportement à temps grand ? Si l'on laisse de coté les cas où l'on attend l'explosion sous une forme ou une autre, il existe essentiellement deux façons d'aborder l'existence globale de solutions. La première consiste à préa- lablement étudier la question de l'existence locale : on considère l'équation aux dérivées partielles comme une équation diérentielle dans un Banach, et l'on applique alors le formalisme usuel des équations diérentielles ordi- naires (généralement, le théorème de point xe de Picard). Ensuite, il s'agit de prolonger ces solutions locales globalement. Pour cela (en ignorant les cas où l'on dispose d'un principe du maximum), on s'appuie sur les lois de conservation associées aux symétries de l'équation.
- méthode
- unicité dans la classe du point xe local
- origine des méthodes
- changement d'échelle
- contexte de navier-stokes
- existence globale
certaines
Du
th?or?me
lo
d'?tudier
cal
princip
au
l'?quation
global
.
:
cales
in
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Num?rique,
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189,
lois
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Marie
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LC
4
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place
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Jussieu
Il
BC
Cau-
187,
au
75
dire
252
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P
toujours
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In
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de
Lorsque
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P
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de
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Ces
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l'on
t
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b
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a
sous
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la
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1
il
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aux
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de
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olev
t
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fa?ons
sen
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Plus
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?
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s
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?
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t
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lo
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le
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y
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our
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?
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Le
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un
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Sc
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dimension
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la
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b
([7]).
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he
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t
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conserv
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t
on
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p
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deux
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t
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solutions
but
lo
exp
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C'est
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par
en
exemple
lo
comme
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cela
conserv
qu'on
l'exemple
mon
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tre
:
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globale
s
p
s
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l'?quation
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des
c
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,
.
emen
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p
+
en
u
terp
3
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=
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0
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dans
?
R
dans
?
R
mon
3
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,
t
[13].
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L'a
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v
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an-
tion
tage
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de
te
cette
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sa
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est
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donne
particulier
non
prop
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pro
t
e
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de
mais
est
aussi
plus
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an
Dans
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con
s
?nien
c
qu'il
=
?nien
s
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,
des
le
que
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:
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est
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la
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c'est
mais
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du
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de
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p
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de
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dans
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le
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situations
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cas
s
s
c
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s
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,
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ce
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t
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he
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esp
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mais
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on
H
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c
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Une
alors
relativ
d'une
t
appro
se
c
ose,
he
eut-on
di?ren
quelque
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"in
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oler"
sur
tre
les
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m?tho
grande
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En
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p
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J.
conserv
a
ation
tr?
qui
p
fournit
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b
mon
orne
l'exis-
a
globale
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grande
et
dans
une
cadre
appro
p
ximation
l'?qua-
(de
de
la
hr?
donn?e
cubique
et
calisan
de
en
l'?quation)
deux
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Ses
on
(et
c
m?tho
herc
on
he
?t?
?
et
passer
?
?
?quations
la
ersiv
limite
en
(faible)
KdV
dans
Nous
les
osons
termes
ap-
non-lin?aires
c
p
alternativ
our
?
ob-
m?tho
tenir
de
une
qui
solution
en
globale.
sorte
L'exemple
simple.
historique
v
est
tage
le
la
cas
est
des
probable
?quations
de
de
m?tho
Na
dans
vier-Stok
ts
es
textes,
incompressibles
v
([18]).
t
Le
est
