Domination généralisée sur quelques

2008Dominationog?n?ralis?esur3097)quelquesPclassesctoraledeetgraphes4M?moireersidel-Vstage?coleMasterLorraine2d'InformatiqueRec(EherclehejuilletUnivMot?d?lisationauparerlaineleMetzLogicielDoMathieuIAEMChapelleLabEncadranratoiretTh?oriqueD.Appliqu?eKraAtschMetz, %
G = (V;E) SV G 8v2S jN(v)\Sj2
v2= S jN(v)\Sj2%
%
%
%
%
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Univundodeonibilit?,sommetsnidetes.graphet,sontel?queetun?ourapeerThomas,ttrouvRemerciemendetdemandebetde,particuli?remenetMetz,tierslesd'enparblesetensemerses,Pietrzaketcasses,deuxomme.par?t?ris?ancarac-en,reconnaissanceesttsch],son94aconseilselexcellenceTtes[tTelleLiedloffparaul-Vduitaidetroconseils.instructivDansensemcetm?moire2de,stage,pnouses.?tudionsncesesprobl?meourpSchleichourmarquequelMauricequreconned'uns?classesagedeJegraphes,lie?toutesamonvDieteroirprofesseurlpesdegraphesqualit?,d'inatervouralles,lalesimpgraphesenricd'intienstervremercierallesM.propresAetersit?lesrlainegraphesourdesalargeurbd'arbporescenceetbqueorn?e.onsNosJer?M.su,lMtatshercam?Lo?cliorendestsietnos?tendenconstruc-toublier?tord'autresM.caspd'eoriginales,n,ser?exionsmM.blespindeetla,souhaitedesgensternr?sultats?tred?j?usconnl'aideusautomatepd?terministeourlcegprobl?meunaire.surtscestiensclassespremierdeugraphes.t?moignerNousmamon?tronsencadranenM.particulierKraque,ldeseersit?s,probl?meourestsuiviptr?solynomialonne:sestoujourspvis?sourplessongraphesdansd'intransmissiontervconnaissancesalles,ortansietg?n?ralis?ehissanetJetion?galemenson?ttoutnistouMathieuconis,;TERl'UnivpPourelesdegraphespd'insonterv,allesdispasesvonsecetdegr?ourbr?exionsorn?,discussionspesournoustoutvdominaeuetble.probl?meremercie;ailleursVincenpDemangeour?tudianlesengraphesasterd'inRectervhe,allesM.propres,Colsonsiprofesseurl'unUnivderst?s,deuxourensemdivblesdiscussionsLetivouSansR?sum?les,cdesaersit?stsrespThomasde,eourCalculs,histoiresd?lisationsM.InVenezianospdusesTcopetsonJulienau,duourabamouretlasympathie.?sous-ensempetJebleennremercierM.pMareuvenprofesseurestUnivnietetonsablel'autrel'?quipquelconque;MoetpterfaceourlesLIgraphesA,deourlaccueilargeurseind'arblorescenceoratoirebsaorn?e,si %
%
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.tro.ductionv1.2.Notions.2.2.1.Complexit?..de.........................d'in.....erts...............erts...17.................propres..2.2.2.Graphes.et.arbres......orescence.....arb...unaire.cabu...............................19.analyse.....d'in.orn?.....4.4..3.2.3.Domination.g?n?ralis?ed'in.propri?t?s.....1.........ni,.......27.........Graphes.6.1.........29.......nis...30..5.2.4.Quelques.classes2de.graphes......33.........38.........Conclusion.......Algorithme.................Preuv.alidit?.temps6.2.4.1.Graphes.cordaux..4.3.alles.degr?.............ouv.................5.alle.5.1.es.alles.......25.mati?res....7.2.4.2.Graphes.d'in.terv.alles..5.3.................Probl?mes.................28.largeur.orn?e..............7.2.4.3.Graphes.d'inD?comptervtealles.propres........6.1.2.?.......V...................Algorithme........8.2.4.4.Graphes.de.largeur.d'Observa.rb.orescence.b.orn?e..........Probl?mes.................39.R?f?rences..10.3.?tat.de.l'art.de4.2.3la.domination.g?n?ralis?e.11.3.1.Graphes.quelconques......................4.2.4.e.v.et.de...................20.Graphes.terv.a.ec.b....11.3.2.Graphes.cordaux............23.Probl?mes.erts.................................23.Graphes.terv.s.25.Quelques.d.graphes.terv.propres13.3.3.Graphes.d'in.terv.alles....5.2.quelconque,.ni.................................26Indesquelconque.......................14.3.4.Graphes.de.largeur.d'arb.orescence5.4bouvorn?e..................................6.de.d'arb.b14294D?nitionsGraphes.d'in.terv.alle.s.15.4.1.Quelques.propri?t?s.d.es.graphes.d'in.terv.alles..........6.1.1.osition.orescen.jolie.....................2915Automates4.2d?terministesCaslangagedes.ensem.bles.able.et.T...nis6.1.3ouoconislaire.................................3.6.2......16.4.2.1.V.o.cabu.laire.et.notations..................6.3.ations................................16.4.2.2.T6.4ailleouvd.e.la.fen?tre............................7.40.41.G = (V;E) SV G
v2VnS S
NP
NP
(;%)
(;%)
G = (V;E) N %N v2 V
N(v) G
SV (;%) v2V
jN(v)\Sj2 v2S jN(v)\Sj2% v2= S
(;%) =f1; 2; 4g % =f1; 2; 3g
NP
(;%) NP
(;%)
%
%
(;%)
?vidence,petouronlesEnsemgraphesensemenetg?n?ral.th?orieDesuscitannomlabreuses?vetarianttesmoinsd'indet?r?tst,?unlalfoisdominanth?oriquespretappropratiqueslesoncertainstLe?t?vpro-tpetos?escet.sonl'untsous-ensem?tudi?esetdansgraphe.lunaminimlitt?raturede(v,oirLorsquep.ex.?me[tionHHS98at,leHHS98bcertains]).bienLadeplupartensemdeesquelscesceprobl?mesdeuxi?medeindomidenationasont?r?t.tsommet?galemengraphes,tensembleest1.1graphesapp-complets.sDansoursa,th?seledesdotctorat,DeTellel'on[usTdominationelcomplet94ad'un,deT-dominael94bprobl?me]-a?tudiepropbos?erunedominationg?n?ralisa-divtionhesdeossiblesceseutprobl?memespdeblesdomination,x?s,appt?resserel?eypdominapartictionlg?n?ralis?eprobl?meouourauxprobl?meappliqu?solynomial.algorithmiquesnousprobl?mes?tudi?dec-nousdominaplustionprobl?me.lesD?finitionau1.1,[inTEnel94ades,haqueTsiel94bsi]dominant(ensemel?bleFig.L'?tuder?soudre.ble?estprobl?mesdedes-dominan-dominanpt)bleSoitunundomainesgrtaphepl?liserud-graphemodonn?our?tanpd'ungraphetoutedelorsque,caract?riseetprobl?mesoientuenotiondelaumt-etsousutilisenformel'informatiqueprobl?medetaille.tPourbletouttionsommetledomainesrestedeunBeaucoupcomplet.,l'ononunnoteoductionltrodeIntrouv1consisteson-dominav,oisinageersesouvcertsondansple:grpaphe?tudierlaprobl?doncsur-completgraphesquelconquestionourourensemclassesdegraphesoriginal?tudi?ouquis'int?graphestterveslesgraphesd'inuliersvcaract?riserpropres,eslesblesdeetorescenceporn?e.lpleourdevientoutpsommetDansd'unm?moire,taendanons,lacepapproesthe,probl?menousCesommes.t?ress?grandparticuli?remendansauxoisinsvgraphes.unsursi.-dominaUnpensemblequelquesdedel'?tudetr?sestes,estsonapplesel?d'inensemalles,blegraphestter-actuellemenallestionetd'attengraphesdominationlargeurd'arb-dominanbt1siNP
O
P
kO(n ) k n
NP
NP
NP NP NP
PNP
P =NP P =NP
P =NP NP
NP
NP
NP P =NP
P
NP
NP
pd'unonprobl?me,classeand'algorithmedequi,d?ter-sminerleuneolynomialesbprobl?mesonnedum?thoUndeo?compr?hensionutiliservpusuellesourir?soudreparlecedeprobl?me.vrNouseutnuneeditrappeuvelleronsLaicisiqu'informellemencttlesprobl?mesnotionsl'ondeocomplexit?,r?soudresansquelquesendetrerestdansqu'illespd?tails.unePinstanceoursinon.ap-robl?profondirtempsceTsclassenotions,ompletnousclasserecommandonsr?duitleprobl?me.livre.deencoreGareylaetLaJohnsonv[tGJ79car]dessuraucunlaourdicult?r?soudrelatemps-cd?nitionompl?tude,,deainsiolynomial,queUnletliIn-vrfacilee-diciledecerticat,Punappadimitrioule[luiPr?pap93si]unesuretlancomplexit?.unOndeutiliseraalgorithmiquelaolynomialnotationhinernonusuelledepcrucialeourunenotertousledetempscomplexit?d'ex?cutiontd'untempsalgo-?rithme.touteCette2.1notationendanpsaitermetl'heurededenedeconserv?erjorit?queheurslestinformationspimputilesortanetesqu'ilssurtlasurcomplexit?quiasymptotiquetrouvdeolynomiall'algorithme,r?soudre.etcapablepseulermet-completdeolcompareralorsasymptotiquemenr?ductionsttalesl'ecacit?pdelesdi?renclassetstempsalgorithmesdoncptonsourestlas'ilr?solutionlad'unpr?senm?met,probl?mede.UnIlNousexistetousde2tr?sc'est-?-direnomexistebreusesalgorithmeclassesd?cisiondeolynomialcomplexit?,ourcprobl?mehacunelorsqu'onrepr?sendonnetaninstance,tondunaidegr?cettedeestdicult?solutiondesprobl?me,probl?mes.fauxCitonsOlespdeuxr?soudreclassespquimenouslainett?ressenentpici.surLamacclassededeuringcod?terministe.mplexit?probl?med'?tudielarepr?senenteestl'ensemnotionble-cdessiprobl?meslequeprobl?mesl'onlapesteutpr?soudreenen?tretempsenppollynomialynomialcesurDeune?vidence,macComplexit?hinem?moire.deCepTt,uringned?terministe,pasc'est-?-dire?qu'ilactuelleexisteceunsuitealgorithmeoup6ourlar?soudre.lemaprobl?medesdonhercttraleaillantempssurd'ex?cutionsujetestensendequela6formeronermet,pbiennoustraElleailleninformatique.depuispann?esourlestoutessles-complets,enn'atr?es,?o?penpestlesuneSiconstanesttedex?eunetprobl?metetestenlaptailleyndemial,l'enpartr?e.desLapclassedansdefondamencomplexit?onenourrag?n?ralemtousrepr?senprobl?mestelaplusonspenenpseet?notprici?me..ourprobl?meleditsquelsolynomialonappartienp?eutclassevcomplexit??rier.laformellemenvonalidit?aussid'uneprobl?mesolution.enprobl?metempsditpNotionsolsiynomialles?del'aided'unl'ensemeuvbletdesr?duirepceroblobl?mes2pG = (V;E) V
E V u;v2V
fu;vg2E u v uv2E
fu;vg fv;ug
u v u v uv2 E
v2 V N(v) =fu2 V : uv2 Eg
N[v] = N(v)[fvg S2 V
N(S) =[ N(v) N[S] =N(S)[S Sv2S
G G[S] = S;fuv2E : u;v2Sg
v2 V G