Divers exemples de modèles dynamiques feuille réponse

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Niveau: Supérieur
NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 6 Divers examples de modeles dynamiques Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique de deux populations en competition, dont nous avons vu un premier exemple lors de la seance 2. Notre objectif dans les deux cas est d'etudier les possibilites de coexistence de ces deux populations. Exercice 1. : Le premier exemple illustre ce que l'on appelle le principe d'exclusion competitive. Voici son systeme differentiel et, plus bas, son champs de vecteurs : { x? = (1? 0.5x? 0.33y)x y? = (1? x? 0.5y)y (1) 0 0.5 1 1.5 2 y 0.5 1 1.5 2 x extinction de l'espece 2 1. Calculer les equations de deux droites qui sont les isoclines x? = 0 du systeme (1). 2. Meme question pour les deux isoclines y? = 0. 3. A droite de la figure, tracer dans un plan (x, y) les isoclines du systeme puis tracer dans chaque region (et sur les isoclines) les fleches donnant l'allure du champs de vecteurs. 1

fleche indiquant la direction du champs

taux de croissance intrinseque des larves

bassin d'elevage de poissons

fleches donnant l'allure du champs

Voir

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NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD6 Diversexamplesdemode`lesdynamiques

. .

Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique dedpxueitnoe´itennsmpcoulopioat, dont nousavonsvuunpremierexemplelorsdelase´ance2.Notreobjectifdanslesdeuxcasestd’e´tudierles possibilit´esdecoexistencedecesdeuxpopulations. Exercice 1.:Le premier exemple illustre ce que l’on appelle lenciop´omexd’usclnirpepictetivie. Voici sonsyst`emediﬀ´erentielet,plusbas,sonchampsdevecteurs:  0 x= (1−0.5x−0.33y)x (1) 0 y= (1−x−0.5y)y

1.5

y 1

0.5

extinction de l'espece 2

0.5

1 x

1.5

0 1.Calculerles´equationsdedeuxdroitesquisontlesisoclinesx=us0d`tsy(eme.)1

0 2.Meˆmequestionpourlesdeuxisoclinesy= 0.

3. A droitede la ﬁgure, tracer dans un plan (x, ydreccsnaiupeartsquhael)sesiusyst`emoclinesd r´egion(etsurlesisoclines)lesﬂe`chesdonnantl’allureduchampsdevecteurs.

4.Combienlesyst`eme(1)a-t-ildepointsd’e´quilibres?Calculerleurscoordonne´es,lesrep´erersurla ﬁgure.

5.De´terminerlanaturedechaque´equilibre(noeud,col,foyeroucentre)etve´riﬁervosr´esultatssur votre ﬁgure. Ajouter quelques trajectoires.

6.Quepensez-vousdel’e´volutiondesdeuxpopulationsseloncemode`le:vont-ellescoexisteroul’une d’elleva-t-elledisparaıˆtre?Expliquer.

7. Tracerapproximativement les deux graphes des composantesx(t) ety(t) de la solution de (1) issue du pointM= (2,1).

Exercice 2.:me`tdedexuespedevtcuesrsaosci´e`aunautresysserugﬁaLretnaviuenesr´epamchlete espe`cesencompe´tition  0 x= (1−x−2y)x (2) 0 y= (1−2x−y)y ou`x(t) ety(t) s’expriment en milliers d’individus. 1.Ajoutersurcedessinlesisoclinesetlespointsd’e´quilibre(indiquervoscalculsci-dessous).

coexistence improbable: extinction de l'une des deux especes

0.8

0.6 y

0.4

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.81 x

2.D´eterminerlanaturedese´quilibres.

3. Tracerla trajectoire issue de (1,1). Peut-on parler dans ce cas de coexistence des deux populations ? Expliquer pourquoi.

4.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1,1−ε), pourε >0 petit.

5.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1−ε,1).

6.Expliquerpourquoiladynamiquedecemod`eleconduitenge´n´eral`al’extinctiondel’unedesdeux populations.

Exercice 3.:e´elavegabssni’dsiumpepnotseuenquel’onOanledtnocxuatsnpansnﬂrupodesois larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble`acelled’unmod`eledeLotka-Volterramaiselleendiﬀe`reparlefaitqueletauxdecroissance intrinse`quedeslarvesn’estpasproportionela`latailledecettepopulationmaisilestsuppose´constant aucoursdutemps.Onadoncdanscecasunmod`eledutype  0 x=α1−β1xy (3) 0 y=−α2y+β2xy

o`ux(tlimne(sete)sreilre)esp´neetalatlieledalpopulationdelarvy(t) celle de la population de poissons. Cetypedemod`eles’appelleunmode`leressource-consommateur. On suppose queα1= 20,β1= 0.04, α2= 0.75 etβ2= 0.03. 1.Quelest,seloncemode`le,letauxdemortalite´parteˆtedespoissons?Querepre´sentelescoeﬃcients β1etβ2?

0 2.Ecrirelesyste`mediﬀ´erentielpourcemod`elepuiscalculerles´equationsdesdeuxisoclinesx= 0 et y’=0etlescoordonn´eesdel’´equilibre.

3. Dans le quadrantx≥0, y≥chacuneds,etdansnoqs’uleser4e´ig0tceracosienilselrxuedsel de´limitentplaceruneﬂ`echeindiquantladirectionduchampsdevecteursassocie´.

4.Peut-onend´eduirelecomportementdesdeuxpopulationslorsquettend vers +∞?

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