Devoir surveillé no4 Mécanique
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 9 Janvier 2010 PCSI A Devoir surveillé no 4 Mécanique & Optique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Réalisation d'un spectroscope à prisme On considère un prisme d'angle au sommet A = 60, 0°, fabriqué dans un verre d'indice n. Ce prisme est placé dans l'air d'indice nair = 1, 00. A Étude de la déviation de la lumière Dans cette partie le rayon incident est constitué d'une lumière monochromatique de longueur d'onde ?. On note i et i? les angle d'incidence et d'émergence , r et r? les angles des rayons réfractés et D l'angle de déviation du prisme. Ces angles appartiennent tous à l'intervalle [0, 90°]. A.1 Faites un schéma faisant apparaître les différents angles. A.2 Déterminer la relation qui relie i, r et n ainsi que celle qui relie i?, r? et n. Montrer que r + r? = A et en déduire que la déviation D a pour expression D = i+ i? ?A.
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Lycée Brizeux Samedi 9 Janvier 2010 PCSI A Devoir surveillé no 4 Mécanique & Optique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Réalisation d'un spectroscope à prisme On considère un prisme d'angle au sommet A = 60, 0°, fabriqué dans un verre d'indice n. Ce prisme est placé dans l'air d'indice nair = 1, 00. A Étude de la déviation de la lumière Dans cette partie le rayon incident est constitué d'une lumière monochromatique de longueur d'onde ?. On note i et i? les angle d'incidence et d'émergence , r et r? les angles des rayons réfractés et D l'angle de déviation du prisme. Ces angles appartiennent tous à l'intervalle [0, 90°]. A.1 Faites un schéma faisant apparaître les différents angles. A.2 Déterminer la relation qui relie i, r et n ainsi que celle qui relie i?, r? et n. Montrer que r + r? = A et en déduire que la déviation D a pour expression D = i+ i? ?A.
- force supplémentaire
- expression de la force
- vitesse angulaire
- longueur d'onde
- onde ?
- équation précédente
- satellite
- rayon incident
- mouvements orbitaux
- lumière monochromatique de longueur
LycÉe Brizeux PCSI A & B
o Devoir surveillÉ n 4
MÉcanique
Samedi 21 janvier 2012
–La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice n’est pas autorisÉ. –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signale-rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme I Satellites d’observation terrestre On se propose d’tudier deux satellites d’observation terrestre SPOT et ENVISAT, rempla-Çant des satellites ERS. SPOT fournit des images haute rsolution de la Terre, dans le domaine visible et proche infra-rouge tandis que le satellite ENVISAT embarque un radar Ā synthse d’ouverture, mettant des ondes radar, permettant de dtecter des dplacements verticaux du sol. Donnes numriques : −11 3−1−2 – constante de gravitation :G= 6,7.10m kg s 24 – masse de la Terre :MT= 6,0.10kg – rayon de la Terre :RT= 6400km Formulaire numrique :
x √ x
2 1,4
3 1,7
5 2,2
6 2,5
7 2,7
8 2,8
10 3,2
Les orbites des satellites SPOT et ENVISAT sont des trajectoires circulaires trs proches. On considrera dans toute cette partie que leurs altitudes sont identiques soith= 800km(Figure ci-dessous).
A CaractÉristiques des orbites de SPOT et d’ENVISAT Acqurir plusieurs images d’une mme zone Ā des instants diffrents ncessite une bonne maïtrise des trajectoires des satellites. On se propose d’tudier certains aspects du mouvement d’un satellite(S)par rapport au rfrentiel gocentrique(Rg)considr comme galilen. Le satellite de massem, repr par un pointPest en orbite circulaire de centreOĀ une altitude h. On considrera que la Terre est une sphre homogne de rayonRTet de centreO(voir figure ci-dessous).
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−→ A.1Dterminer le champ gravitationnelG(P)s’exerÇant au pointP. A.2Etablir soigneusement la relation entre la priode rvolutionTdu satellite et son altitude h. Aprs l’avoir calcul approximativement, dterminer laquelle des valeurs suivantes correspond Ā la priodeTde rotation du satellite : 3 min 1 h 01min 1 h 41min 3 h 11min −→ A.3En dduire l’expression de la norme de la vitessev=||v||en fonction deG,MT,RTet h. Aprs l’avoir calcul approximativement, dterminer laquelle des valeurs suivantes correspond Ā la vitessevdu satellite : −1−1−1−1 2,8m.s1200m.s4000m.s7500m.s A.4Exprimer l’nergie potentielleEpdu satellite dans le champ de gravitation de la Terre en fonction deG,MT,RTeth. A.5En dduire la relation suivante, appele « thorme du viriel » :
2Ec+Ep= 0
B Prise en compte de frottements La Terre est entoure d’une atmosphre qui s’oppose au mouvement du satellite. La force de −→ frottementfcre par l’atmosphre est proportionnelle au carr de la vitessevdu satellite et −→ −→ elle s’exprime parf=−αmv v, oÙαest une constante de valeur positive. B.1Dterminer la dimension deα. B.2En considrant que dans ces conditions, le thorme du viriel tabli prcdemment est toujours valable, exprimer l’nergie mcanique du satelliteEet la norme de la vitesseven fonction deG,MT,RTeth. B.3á partir d’un thorme nergtique en dduire quehvrifie l’quation diffrentielle sui-vante : p dh =−2α GMT(RT+h) dt B.4Un satellite plac sur une orbite d’altitudeh= 800kmsubit une diminution d’altitude d’environ1mpar rvolution ; on suppose que sa vitesse est, en norme, peu affecte au bout d’une p 7 rvolution. On donneGMT(RT+h)≈3,2.10SI. En dduire un ordre de grandeur deα(ne pas s’tonner de la petitesse du rsultat). Calculer, avec la mme approximation, la perte d’altitude du satellite au bout de 10 ans de fonctionnement. Le fait d’avoir une augmentation de la vitesse en prsence d’une force oppose au mouvement est-il paradoxal ? B.5D’aprs les rsultats prcdents et en considrant le rÔle des satellites tudis, discuter succinctement du choix de l’altitude de l’orbite pour ces satellites.
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ProblÈme II Etude de l’accÉlÉromÈtre d’un stabilisateur d’images Les appareils photo reflex numriques, mme ceux d’entre de gamme, sont aujourd’hui qui-ps d’acclromtres pour la stabilisation d’image. Cela permet, en particulier sur les longues focales, de stabiliser la vise. Il est alors plus facile de faire le point sur un sujet trs lointain et il est plus ais de soigner son cadrage, les tremblements du photographe tant amortis. On se propose, dans cette partie, d’tudier le fonctionnement d’un acclromtre Ā dtection capacitive, ce systme tant le plus rpandu actuellement. Son principe est dcrit ci-aprs : Une poutre suspendue appele « masse sismique » constitue l’une des armatures d’un conden-sateur plan. L’autre armature est solidaire de l’appareil photo dont on veut mesurer l’acclration (voir figure ci-dessous). Les variations de capacit lies au dplacement de la masse sismique per-mettent de suivre son mouvement.
On modlise la structure mcanique tudie par une masse ponctuelleMde massem, sus-pendue Ā l’extrmit d’un ressort de constante de raideurket de longueur Ā vide`0, dont l’autre extrmit est fixe enOau bti solidaire de l’appareil photo (voir figure ci-dessous). −→ −→ Les amortissements sont modliss par une force) de frottement de la forme :Ff=−α(vM Rap −→ oÙ(vM)reprsente la vitesse du pointMdans le rfrentiel de l’appareil photo. Rap
On s’intresse Ā la dtermination de l’amplitudeZOde la vibration engendre par le tremblement du photographe. On considre pour cela que le pointOoscille verticalement Ā la pulsationωavec une amplitudeZOdans le rfrentiel terrestre considr comme galilen. Sa position y est repre par sa cotezO(t) =ZOcos(ωt). La position de la masseMest repre dans le rfrentiel de l’appareil photo par sa cotez. 1. On notezeqla position d’quilibre de la masseMpar rapport Ā l’appareil en l’absence de vibration. Dterminer son expression en fonction de`0, m, getk. 2. Etablir l’quation diffrentielle du mouvement de la masseMdans le rfrentiel de l’appareil photo en faisant apparaïtre les paramtresα, k, m, zeq, ωetZO. On noteZ=z−zeqla position de la masseMpar rapport Ā sa position d’quilibre dans l’acclromtre. 3. Montrer que l’quation du mouvement deMpeut se mettre sous la forme : ω0 2 2 ¨ ˙ Z+Z+ω 0Z=ZOω cos(ωt). Q
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Nommerω0etQ. Prciser leurs dimensions et leurs expressions en fonction dem, αetk. On s’intresse maintenant au mouvement de la masse en rgime tabli. 4. Expliquer pourquoiZ(t)peut se mettre sous la formeZ(t) =ZMcos(ωt+φ). Prciser la signification des diffrents termes apparaissant dans cette expression. ω 5. Etablir l’expression deZMen fonction deZO, Qet de la pulsation rduitex=. Il est ω0 conseill d’utiliser les notations complexes. 1 6. Montrer que la courbeZM(x)passe par un maximum pourQ >√et prciser l’expression 2 xrdexlorsqueZMpasse par ce maximum. Comparerxret 1. 7. Etudier les asymptotes basse et haute frquences deZM(x)puis tracer sur un mme gra-1 1 phique l’allure de la courbeZM(x)pourQ1<√,Q2>√etQ3> Q2en portant une 2 2 attention particulire au positionnement des maxima. 8. Comment faut-il choisir le facteur de qualit du systme et sa pulsation propre pour qu’il fonctionne sur une plage de frquences de tremblements la plus large possible ?
ProblÈme III Sismographe horizontal A RÉfÉrentiels non galilÉens Soit un rfrentiel not(R1)d’origineO1et d’axes orthogonauxO1x1, O1y1, O1z1et un autre rfrentiel not(R2)d’origineO2d’axes orthogonauxO2x2,O2y2,O2z2.Les deux rÉfÉrentiels sont en translation l’un par rapport À l’autre.On tudie le mouvement d’un point matrielMde massemdans ces deux rfrentiels. A.1Que peut-on dire des directions relatives des axes(O1x1, O1y1, O1z1)d’une part,(O2x2, O2y2, O2z2)d’autre part pour traduire le fait que les deux rfrentiels sont en translation l’un −→ par rapport Ā l’autre ? Dterminer la relation liant la vitessev1du point matriel, calcule dans −→ le referentiel(R1), et la vitessev2calcule dans le referentiel(R2). On fera intervenir la vitesse −→ du pointO2par rapport Ā(R1)qu’on noterav(O2/R1). On justifiera trs clairement les calculs faits. En dduire la relation existant entre l’acclration −→−→ a1calcule dans le rfrentiel(R1)et l’acclrationa2calcule dans le rfrentiel(R2). On fera −→ intervenir l’acclration du pointO2par rapport Ā(R1)qu’on noteraa(O2/R1). −→−→ A.2A quelle condition les deux acclrationsa1eta2sont-elles gales ? Montrer qu’alors le mouvement de(R2)par rapport Ā(R1)est rectiligne et uniforme. Une justification trs prcise est attendue. A.3On suppose que le rfrentiel(R1)? Donner unest galilen. Que signifie cette dfinition exemple de rfrentiel considr comme galilen en la commentant. Montrer que si les conditions de la question prcdente sont remplies alors si le rfrentiel (R1)est galilen, le rfrentiel(R2)est aussi galilen. A.4On suppose maintenant que(R1)est galilen mais que la condition de la question A.2. n’est pas remplie. On suppose que dans(R1)le point matriel est soumis Ā un ensemble de forces −→−→ −→ dont la rsultante estF. Quelle relation lie alorsF,meta1? Montrer qu’alors le rfrentiel(R2)n’est pas galilen. Justifier trs prcisment. Montrer qu’on peut quand mme appliquer la relation fondamentale de la dynamique ou deuxime loi −→ de Newton dans le rfrentiel(R2)Ā condition d’ajouter ĀFune autre force dont on donnera −→ l’expression en fonction demeta(O2/R1). Quel nom donne-t-on traditionnellement Ā cette « pseudo-force »supplmentaire ? A.5Ènoncer le thorme du moment cintique enO2dans le rfrentiel(R2).
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B Fabrication d’un sismographe horizontal Lors d’un tremblement de terre, les vibrations du sol font que ce dernier n’est plus galilen le temps de la secousse sismique. On peut donc dtecter les vibrations du sol par les effets non galilens qui sont engendrs. Pour cela, on considre une barre de masse ngligeable et de longueurL. Cette barre est lie enOĀ un bti solidaire du sol (voir figure1Ā l’autre extrmit, on fixe une masse ponctuelle) ; m, assimile Ā un point matrielM. Le mouvement (suppos plan) du pendule ainsi constitu −→ autour de l’axe passant parOet parallle Āuzest repr par l’angleθque la barre avec la −→ verticale,uztant un vecteur unitaire venant vers le lecteur. La liaison enOde la barre et de la partie haute du bti est suppose parfaite. Les oscillations de la barre sont freines par un dispositif non reprsent qui exerce un moment enO, rsistant −→ dθ−→ au mouvement et d’expressionM=−α uz,αtant une constante positive. dt
Figure1 – Evolution dex(t)
Le bti du sismographe est solidaire du sol. On suppose tout d’abord que le sol ne vibre pas. B.1Faire un bilan des actions mcaniques agissant sur le pointMet calculer le moment enO de chacune de ces actions. Montrer que, lorsque le sol ne vibre pas, l’angleθest nul Ā l’quilibre. B.2On carte la barre de sa position d’quilibre (θ= 0) et on la lche sans vitesse initiale depuis une position repre par l’angleθ(t= 0) =θ0(suppos petit). Dterminer l’quation diffrentielle vrifie parθlors du mouvement de la barre en utilisant le thorme du moment cintique pour de petits angles. B.3Retrouver le rsultat prcdent en faisant une analyse nergtique du problme. B.4Dterminer les relations liantα,m,Letgpour que le mouvement soit pseudopriodique, critique, apriodique. Pour la suite de l’exercice, on se placera dans le cas oÙ le mouvement est en rgime critique. On rappelle que le rgime critique correspond au cas oÙ le discriminant de l’quation caractristique associe Ā l’quation diffrentielle linaire du second ordre Ā coefficients constants, est nul. Quel peut tre l’intrt de se placer en rgime critique pour un sismographe ?
On suppose maintenant que le sol vibre horizontalement, la vibration est caractrise par une −→−→−→ acclration horizontale du sola=aux,uxtant un vecteur unitaire horizontal dirig vers la gauche (voir figure1). Lors de la vibration du sol, on peut tudier le mouvement de la barre par rapport au bti en utilisant les forces d’inertie. −→ B.5Exprimer la force d’inertie d’entraïnement s’exerÇant surMen fonction demeta. En −→ dduire le momentMiede cette force d’inertie d’entrainement enO.
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B.6En tenant compte de toutes les actions mcaniques appliques sur la barre et en appliquant le thorme du moment cintique enOdans le rfrentiel li au bti, dterminer l’quation diffrentielle vrifie parθlors du mouvement. En dduire, en fonction deaetg, l’angleθe lorsque la barre trouve une position d’quilibre par rapport au bti si l’acclrationaest une constante.
L’hypothseaconstante n’est pas raliste dans le cas d’un tremblement de terre. On va donc envisager un cas plus raliste d’ondes sismiques oÙavarie suivant la formea=a0cosωtoÙa0 etωsont des constantes. Il est conseill d’utiliser la notation complexea=a0exp(jωt)etθ=θ0exp(j(ωt+ϕ)) = θ0exp(jωt). B.7Montrer (toujours dans le cas des petites oscillations :sinθ≈θ,cosθ≈1) que l’amplitude complexeθ0vrifie a 0 L θ0=2α g −ω+j ω L2 mL Simplifier cette expression en fonction dea0,L,m,getω(on rappelle qu’on est rgime critique). B.8En dduire l’amplitudeθ0des oscillations forces du sismographe. Dterminer galement la phaseϕ. B.9Reprsenter l’allure gnrale de l’amplitudeθ0en fonction de la pulsationω. B.10On considre des ondes sismiques de frquence trs faible. Montrer queθ0est alors pro-portionnel Ā l’amplitude de l’acclrationa0du sol. Quel est le coefficient de proportionnalit ? Quelle(s) condition(s) doit vrifierωpour que l’hypothse soit valable ? B.11On considre des ondes sismiques de frquence trs leve. Montrer queθ0est alors proportionnel Ā l’amplitude dudÉplacement?du sol. Quel est le coefficient de proportionnalit Quelle(s) condition(s) doit vrifierωpour que l’hypothse soit valable ?
ProblÈme IV Voile Solaire Ce problme traite de rallier l’orbite de Mars depuis l’orbite terrestre Ā l’aide d’une voile solaire.
A Orbites hÉliocentriques Le rfrentiel hliocentrique est considr comme Galilen. Le mouvement des astres y est dcrit dans un repre de coordonnes polaires(r, θ)dont le Soleil occupe l’origineS. Les grandeurs −→−→ vectorielles seront exprimes dans le repre orthonormal associ (ur, uθ). Le Soleil est assimil Ā un corps parfaitement sphrique et son champ de gravit est donc un champ de force central. Tous les mouvements orbitaux de ce problmes sont plans. Donnes : 30 – masse du Soleil :MS= 2,0.10kg −11 3−2−1 – constante de gravitation :G= 6,67.10kgm s 8−1 – clrit de la lumire dans le vide :c= 3,00.10ms 11 – distance moyenne Terre-Soleil :rT= 1,5.10m 11 – distance moyenne Mars-Soleil :rM= 2,3.10m A.1? Dfinir le le rfrentiel hliocentrique.Qu’appelle-t-on rfrentiel −→−→ A.2Rappeler l’expression gnrale de la vitessevet de l’acclrationad’un corps ponctuel dans un repre de coordonnes polaires.
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−→ A.3Exprimer la force de gravitationFSexerce par le Soleil sur un corps de massemsitu Ā distancerdu centre de l’astre. Citer deux grandeurs conserves lorsque le corps est soumis Ā −→ la seule force de gravitationFS. A.4Appliquer le principe fondamental de la dynamique Ā un corps soumis Ā la seule force de −→ gravitationFS. A.5Montrer que dans le cas gnral, l’quation du mouvement pour la distance radialer(t) 2 d r0 0 se rduit Ā :m2=−E(r(t))oÙEdsigne la drive par rapport Ārde l’nergie potentielle p p dt 2 LGMSm effectiveEp(r) =2−. Que reprsente la grandeurL?dans l’expression ci-dessus 2mr r A.6L’nergie potentielle effectiveEp(r)est reprsente sur la figure suivante.
A partir de la conservation de l’nergie mcanique que vous justifierez, dcrire qualitativement la nature des trajectoires suivies par des corps dont les nergies totales seraient respectivement gales ĀEA,EBetECschmatises par des lignes horizontales sur la figure.
B Temps de transit À l’aide d’une voile solaire Une voile solaire est assimile Ā une surface plane d’aireSpourvue d’un revtement rflchis-sant et permet une propulsion en utilisant la pression de radiation mise par les toiles pour se dplacer dans l’espace Ā la manire d’un voilier. B.1On se place dans les conditions de la partie A et on considre un corps suivant une orbite hliocentrique circulairer(t) =r0. A un instant donn, on exerce sur le corps une force suppl-−→ −→ mentaireF=Frurpurement radiale, dirige vers l’extrieur, et d’intensit constante trs faible. L’nergie potentielle associ Ā cette force radiale est reprsente sur la figure ci-dessous par une droite dcroissante en traits pointills. On cherche Ā dterminer la modification de trajectoire rsultant de cette force supplmentaire.
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