Devoir Maison no Théorème de Gauss AO en régime saturé

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Devoir Maison no 13 Théorème de Gauss - AO en régime saturé Problème 1 Étude d'un capteur de rotation Le dispositif est constitué d'un disque muni de pignons solidaire de la roue d'un véhicule et de deux capteurs à effet Hall, fixes par rapport au châssis. La figure ci-dessous montre en coupe (le schéma est simplifié, le rayon de la roue étant suffisamment grand pour que les arcs de cercles paraissent confondus avec des segments de droite) le profil d'une dent de pignon avec son bord d'attaque et son bord de fuite, ainsi que deux capteurs à effet Hall dont les sorties sont amplifiés avec un gain supplémentaire. Les signaux E1(t) et E2(t) issus de ces capteurs correspondent alors au profil temporel de l'image du champ magnétique capté par les transducteurs de Hall. La distance séparant deux bords d'attaque successifs est p. Les signaux peuvent s'écrire au premier harmonique : E1(t) = 5 + 2, 5 cos( 2pit T ) et E2(t) = 5 + 2, 5 cos( 2pit T ? pi 3 ) (exprimés en volts) Il conviendra de noter le décalage temporel des deux signaux E1(t) et E2(t), lié au décalage d des positions des deux capteurs. La tension de différence E(t) = E1(t) ? E2(t) est injectée à l'entrée du montage électronique à amplificateur opérationnel représenté sur la figure ci-dessous.

champ électrostatique entre les armatures ??

condensateur plan

calcul de la capacité

charge surfacique

équilibre électrostatique

parfait de potentiel nul

rayon r1

potentiel

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PCSI B

Math´ematiques

D e v o i rM a i s o n1 3

Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010

Inverses`adroiteetsurjectivite´.

` A rendre pour le mercredi 31 mars. Vousdevezapporterleplusgrandsoin`alare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavance´s.Lesre´sultats doiventeˆtreencadre´s.

SoientEunK−espace vectoriel etfun endomorphisme deE.On dit quefnunievsr`edaortieadmets’il existeg,endomorphisme deE, tel que f◦g= IdE. Dans ce cas, on dit quefestteoielbirda`nisrevet on dit quegestitesr`edaornunievdef. Onseproposedecaracte´riserlesendomorphismesf´teetpuuidsrooniuseel`qadniveeqrutineduensaso´sp exemplesdetelsendomorphismespourdiﬀe´rentsespacesvectoriels. On rappelle que sifsi´eeugnndneoromsihpedemdE,alors

0 avec la convention quef= IdE.

i f=f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f | {z } i fois

PartieI-Caract´erisationd’unendomorphismeinversiblea`droite

fse´dengihirpedsmenunmodouK−espace vectorielE. 1. Onsuppose quefioeta`rd.stineiblevers (a) Montrerquefest alors surjectif. (b) MontrerqueE= ker(f)⊕Im(g). ˜ (c)End´eduirequef ,la restriction def(Im`ag),est un isomorphisme de Im(g) surE.Quelle est la ˜ re´ciproquedef? 2. Onsuppose quefest surjectif et que ker(fpl´eme)natdmetunsupiaerFdansE. ˜ (a) Montrerquefla restriction defa`Fest un isomorphisme deFdansE. (b)End´eduirequefnitumeadetiorda`esrevngque l’on explicitera. 1 3. Conclurequefinesttseevnibisra`eloidrsiteseetemulfest surjective et ker(f´lppusnuriatnemeedmet)a dansE. i i 4. Montrerque sifetioesrerda`tumenvniadg,alorsfadmetgdaorti.enievsr`epour 5. Soientf1etf2des endomorphismes deE.Montrer que sif1etf2rsselbrda`etioola,reisitvnsnof1◦f2 estinversiblea`droite.

´ Partie2-Etuded’ope´rateursdiffe´rentiels

∞ IciEeneligesd´R−espace vectorielC(R,R). 1 Onpeutenfaitmontrerquetouts.e.v.admetunsuppl´ementaire.Nouslemontreronsdanslecasparticulierou`Eest de dimension ﬁnie.

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