Devoir Maison no Régime sinusoïdal forcé
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Niveau: Supérieur
Devoir Maison no 9 Régime sinusoïdal forcé Problème 1 Bobine en régime sinusoïdal forcé On dispose d'une bobine B que l'on assimilera à l'association série d'une inductance L et d'une résistance r. (L et r sont des constantes positives, indépendantes de la fréquence). A Détermination de r A.1 La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la tension u(t) a ses bornes en fonction de r, L, i(t) et de sa dérivée par rapport au temps. A.2 On réalise le circuit suivant, en plaçant, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 ? . L'alimentation est un générateur de tension continue, constante, de force électromotrice E0 = 1, 0V et de résistance interne r0 = 2, 0 ?. A.3 On mesure, en régime permanent, la tension UR aux bornes de R. Exprimer r en fonction des données de cette question. Calculer r avec UR = 0, 56 V . B Détermination de r et L à partir d'un oscillogramme On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 ? et un condensateur de capacité C = 10 µF . Le GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fréquence f = 250 Hz (la pulsation sera notée ?) et de valeur crête à crête de 10 V.
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Devoir Maison no 9 Régime sinusoïdal forcé Problème 1 Bobine en régime sinusoïdal forcé On dispose d'une bobine B que l'on assimilera à l'association série d'une inductance L et d'une résistance r. (L et r sont des constantes positives, indépendantes de la fréquence). A Détermination de r A.1 La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la tension u(t) a ses bornes en fonction de r, L, i(t) et de sa dérivée par rapport au temps. A.2 On réalise le circuit suivant, en plaçant, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 ? . L'alimentation est un générateur de tension continue, constante, de force électromotrice E0 = 1, 0V et de résistance interne r0 = 2, 0 ?. A.3 On mesure, en régime permanent, la tension UR aux bornes de R. Exprimer r en fonction des données de cette question. Calculer r avec UR = 0, 56 V . B Détermination de r et L à partir d'un oscillogramme On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 ? et un condensateur de capacité C = 10 µF . Le GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fréquence f = 250 Hz (la pulsation sera notée ?) et de valeur crête à crête de 10 V.
- amplitude ue de la tension ue
- bobine
- série avec la bobine
- régime permanent
- transfert de puissance
- expression littérale du taux de transfert tp
- filtre
- intensité du courant électrique
- tension précédente
o Devoir Maison n9 RÉgime sinusodal forcÉ
ProblÈme 1Bobine en rÉgime sinusodal forcÉ On dispose d’une bobineBque l’on assimilera À l’association srie d’un inductanceLet d’une rsistancer. (Letrsont des constantes positives, indpendantes de la frquence).
A DÉterminationde r A.1La bobine est parcourue par un couranti(t). Exprimer la tensionu(t)a ses bornes en fonction der, L, i(t)et de sa drive par rapport au temps. A.2On ralise le circuit suivant, en plaÇant, en srie avec la bobine, un rsistor de rsistanceR= 40 Ω . L’alimentation est un gnrateur de tension continue, constante, de force lectromotriceE0= 1,0V et de rsistance interner0= 2,0 Ω.
A.3On mesure, en rgime permanent, la tensionURaux bornes deR. Exprimerren fonction des donnes de cette question. CalculerravecUR= 0,56V.
B DÉterminationde r et L À partir d’un oscillogramme On place, en srie avec la bobine, un rsistor de rsistanc R= 40 Ωet un condensateur de capacitC= 10µF. Le GBF (gnrateur basses frquences) est rgl pour dlivre une tension sinusodale de frquencef= 250Hz(la pulsation sera noteω) et de valeur crte À crte de 10 V. Deux tensions sont visualises sur un oscilloscope numrique. On obtient un oscillogramme quivalent au graphe suivant :
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B.1Dterminer l’amplitudeUede la tensionueet l’amplitudeURde la tensionuR. B.2Dterminer l’amplitudeIdu couranti. B.3Rappeler l’expression gnrale de l’impdanceZd’un dipÔle quelconque (module de l’impdance complexe). Calculer alors l’impdanceZAMdu dipÔleAM. B.4Des deux tensions,uR(t)etue(t), laquelle, et pourquoi d’aprs l’oscillogramme, est en avance sur l’autre? B.5Dterminer prcisment, À partir de l’oscillogramme, le dphasageφentr ue/ieueeti, (c’est À dire entreueetuR). B.6Ecrire l’expression gnrale de l’impdance complexeZAMen fonction der, R, L, C,ω. B.7Ecrire l’expression de l’impdance complexeZAMen fonction de son moduleZAMet du dpha-sageφuei. rimerren fonctiontφ/i. Calculer sa valeur. B.8Exp deR, ZAMeue B.9ExprimerLen foue/ia valeur.. C nction deC, ω, ZAMetφalculer s
C Etudede la fonction de transfert C.1Rappeler la dfinition de la fonction de transfertHdu filtre ainsi form avecuepour tension d’entre etuRpour tension de sortie. C.2Proposer un schma quivalent en basses puis en hautes frquences et en dduire la nature probable du filtre. C.3ExprimerHen fonction der, R, L, C, ω. Hmax C.4MettreHsous la forme :H= . On exprimera littralementHmax, le para-ω ω0 1 +jQ− ω0ω mtreω0ainsi que le facteur de qualitQde ce circuit en fonction der, R, L, C. C.5La figure ci-dessous reprsente (en partie) le diagramme de Bode du filtre prcdent. Rappeler la dfinition du diagramme de Bode. C.6Dterminer, À partir du graphe et des donnes initiales, les valeurs deretL.
D Facteurde puissance On reprend le circuit de la partieBavecf= 250Hz. D.1Rappeler la dfinition du facteur de puissance. 2
D.2On place alors, en parallle surADune bote de condensateurs À dcades (figure ci-dessous) et 0 l’on fait varier cette capacitCjusqu’À ce que, en observant l’oscilloscope,uRetuesoient en phase.
Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuitAM? D.3Quelle est alors la valeur du facteur de puissance du circuitAD? D.4Quelle particularit prsente alors l’admittance complexeYADdu circuitAD? 0 D.5ExprimerYADen fonction der,L,C,Cet de la pulsationω 0 D.6DterminerCen fonction der,L,C,ω. Faire l’application numrique avec les valeurs deret Lcalcules prcdemment.
ProblÈme 2Alimentation Électrique d’un four À induction A Transfertde puissance À un dipÔle inductif On maintient une tensionu=Umcos(ωt)aux bornes d’une bobine inductive de rsistanceRet d’inductanceL. L’intensit du courant lectrique est alors :i=Imcos(ωt+φ). Pour les applications numriques, on prendraR= 100 Ω,Lω= 400 Ωlorsquef= 4kHz, Um= 1,50V. A.1Dterminer littralement : A.1.1l’amplitudeImet la valeur efficaceI, en fonction deωet des donnes; A.1.2la puissance lectrique moyenne P transfre À la bobine; A.1.3la valeur maximalePmaxdeP, pourR,LetUmfixs ; P A.1.4le taux de transfert de puissanceT P=. Pmax A.2Calculer numriquement la valeur deT Ppour la frquencef= 4000Hz.
B AmÉliorationdu facteur de puissance On ajoute un condensateur de capacitCen srie avec la bobine prcdente. Cet ensemble est aliment par la tension prcdenteu=Umcos(ωt). B.1Donner l’expression littrale du taux de transfertT P,Pmaxtant le mme qu’en A.1. B.2Etablir l’expression littrale de la valeurC0deCpermettant un transfert optimal de puissance lectrique À la bobine, À la frquence imposef= 4000Hz. Calculer numriquementC0etT P(C0). Conclure. B.3Tracer, aprs une tude asymptotique, une reprsentation graphique deT Pen fonction deC. B.4LorsqueC=C0, donner l’expression littrale deImetφ.
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C Introductiond’une charge non ferreuse dans la bobine On ralise le circuit ci contre avecUm= 1,500V, r= 30 Ωetf= 4000Hz. La sensibilit verticale sur les deux voies est de0,5V /division. C.1vide »,La bobine tant «on rgle la valeur de la capacit ÀC= 37,5nFpour obtenir l’oscil-o logramme n1 (rappel :Vppest la tension crte À o crte). Dduire de l’oscillogramme n1 les valeurs, lorsque la bobine est «vide »,de la rsistanceRv de cette bobine et de son inductance « À vide »Lv. C.2; on observe alorsOn insre un morceau d’aluminium (substance non ferreuse) dans la bobine o un dcalage des courbes (oscillogramme n2). Dterminer le dphasage deipar rapport Àu. o0 C.33, on doit faire passer la capacit À la valeurPour obtenir l’oscillogramme nC= 43,7nF. Dterminer, lorsque la bobine contient un morceau d’aluminium, les valeurs de sa rsistanceRcet de son inductanceLc.
D Pilotagedu four À induction La charge mise À fondre dans le four change les paramtres lectriquesRetL; ende ce four particulier, l’inductanceLbaisse en cours de chauffe. On dsire que le four travaille constamment À puissance optimale. Dans la pratique, on choisitCde manire À optimiser le transfert de puissance « À froid »,puis on rgule en cours de chauffe en jouant sur un autre paramtre. Prciser quel est ce paramtre et quel doit tre le sens de son volution en cours de chauffe. Justifier votre rponse.
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ProblÈme 3Etude de filtres du second ordre A Filtrepassif On ralise le circuit suivant :
A.1Ètudier le comportement du circuit en basse et haute frquences et en dduire la nature du filtre. v3 1 A.2Montrer que la fonction de transfert de ce filtre s’crit :H(jω) ==4jRCωet retrouver e 1+ 2 2 2 1−R C ω la nature du filtre À partir de la fonction de transfert. A.3Donner les pulsations de coupure de ce filtre. A.4Tracer le diagramme de Bode de ce filtre. A.5Donner le signal en sortie quand on applique À l’entre de ce filtree(t), signal sinusodal de frquence1000Hzet d’amplitude2V.
B Filtreactif Un dfibrillateur automatique avec dtection du rythme cardiaque dtecte l’impulsion lectrique cre par le muscle cardiaque. Il faut amplifier ce signal trs faible. Le dfibrillateur comporte donc un tage amplificateur dont la modlisation est la suivante :
L’Amplificateur oprationnel est idal et fonctionne en rgime linaire. La tensione(t)est sinusodale. On pose :Z=Z=RetY=Y=jCω. 1 32 4 V s B.1Dterminer la fonction de transfertH=en fonction deα,R,Cetω. e A B.2Montrer queHpeut se mettre sous la forme :H= 2et donner les expressions de ω ω 1+2jm− ω ω 0 0 m,Aetω0. B.3Pour quelle frquence le gain de ce montage peut-il prsenter un maximum? A quelle condition surm?ce maximum existe-t-il B.4Tracer l’allure du diagramme de Bode (en gain) des trois courbes correspondant aux cas suivants : m= 0,1,m= 0,707etm= 1.
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