Devoir Maison no Optique - Étude d’un appareil photo jetable
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Niveau: Supérieur
Devoir Maison no 3 Optique Problème 1 Étude d'un appareil photo jetable A Étude de la partie optique A.1 Conditions de Gauss A.1.1 Les rayons incidents sont peu inclinés et peu éloignés de l'axe optique. A.1.2 On se place dans les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme et un aplanétisme ap- proché. A.1.3 En pratique, on concentre les rayons lumineux vers le centre du système optique ou, on utilise un diaphragme pour respecter les conditions de Gauss au détriment de la luminosité. A.2 L'image d'un objet réel à travers une lentille divergente est virtuelle. La lentille L servant d'ob- jectif est donc une lentille convergente. A.3 Si l'objet est à l'infini, son image se formera dans le plan focal image de la lentille. Il faut donc mettre la pellicule dans ce plan, soit d = f ? A.4 tan ?2 = X/2 f ? soit X = 2 tan?f ? = 2, 6.10?4 m A.5 A.5.1 D'après la relation de conjugaison de Descartes on a : 1 OA? + 1dA = 1 f ? car d = ?OA, soit OA? = dAf ? dA?f ? . A.5.2 D'après le théorème de Thales, on a : DA?DL = OA??f ? OA? et d'après la question précédente, on a : OA? ? f ? = f ?2 dA?f ? soit : DA? = DL f ? dA A.
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Devoir Maison no 3 Optique Problème 1 Étude d'un appareil photo jetable A Étude de la partie optique A.1 Conditions de Gauss A.1.1 Les rayons incidents sont peu inclinés et peu éloignés de l'axe optique. A.1.2 On se place dans les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme et un aplanétisme ap- proché. A.1.3 En pratique, on concentre les rayons lumineux vers le centre du système optique ou, on utilise un diaphragme pour respecter les conditions de Gauss au détriment de la luminosité. A.2 L'image d'un objet réel à travers une lentille divergente est virtuelle. La lentille L servant d'ob- jectif est donc une lentille convergente. A.3 Si l'objet est à l'infini, son image se formera dans le plan focal image de la lentille. Il faut donc mettre la pellicule dans ce plan, soit d = f ? A.4 tan ?2 = X/2 f ? soit X = 2 tan?f ? = 2, 6.10?4 m A.5 A.5.1 D'après la relation de conjugaison de Descartes on a : 1 OA? + 1dA = 1 f ? car d = ?OA, soit OA? = dAf ? dA?f ? . A.5.2 D'après le théorème de Thales, on a : DA?DL = OA??f ? OA? et d'après la question précédente, on a : OA? ? f ? = f ?2 dA?f ? soit : DA? = DL f ? dA A.
- grandeurs posées
- intersection entre le rayon émergent
- taille de l'image
- oa??f ?
- profondeur de champ du microscope
- vision au ponctum proximum
- rayon incident
- champ de vision
- rayons lumineux vers le centre du système optique
o Devoir Maison n3 Optique
ProblÈme 1Etude d’un appareil photo jetable A Ètudede la partie optique A.1Conditions de Gauss A.1.1Les rayons incidents sont peu inclinÉs et peu ÉloignÉs de l’axe optique. A.1.2On se place dans les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme et un aplanÉtisme ap-prochÉ. A.1.3En pratique, on concentre les rayons lumineux vers le centre du systÈme optique ou, on utilise un diaphragme pour respecter les conditions de Gauss au dÉtriment de la luminositÉ. A.2L’image d’un objet rÉel á travers une lentille divergente est virtuelle. La lentilleLservant d’ob-jectif est donc une lentille convergente. A.3Si l’objet est á l’infini, son image se formera dans le plan focal image de la lentille. Il faut donc 0 mettre la pellicule dans ce plan, soitd=f X/2 α0 −4 A.4tan =0soitX= 2tanαf= 2,6.10m 2f A.5 1 1 1 A.5.1D’aprÈs la relation de conjugaison de Descartes on a :+ =0card=−OA, soit 0 d f OAA 0 0dAf OA=0. dA−f 0 0 D0OA−f A A.5.2D’aprÈs le thÉorÈme de Thales, on a :=et d’aprÈs la question prÉcÉdente, on a : 0 DLOA 020 0f f 0 OA−f=0soit :DA=DL 0 dA−f dA 0 DLf A.6Cela revient á direDA=, soit d’aprÈs la relation prÉcÉdente :dA=. L’application 0 numÉrique donnedA= 3,0m A.7
A.7.1 0 0 DLf0f A.7.2D’aprÈs le thÉorÈme de Thales, on a :=0soitd=f+ =3,03cm d−f DL 0 0 0OA OA−d0 A.7.3â partir de la relation de Thales on dÉtermine la position deA:=soitOA= DL 0 0 dDL11 1f OA et d’aprÈs la relation de conjugaison de Descartes on a :=0−s D− dAf OAoitdA=0 0 0 LOA−f 0 f dD 0L et en remplaÇantOA, on obtientdA=0= 1,5m. On obtient alors une photo dDL−f(DL−) nette lorsque l’objet est situÉ au delá de1,5mde la pellicule. On a augmentÉ la profondeur de champ de l’appareil photo.
B Ètudedu circuit primaire du flash B.1Au bout d’un temps trÈs long, le circuit a atteint un rÉgime permanent et les grandeurs sont des di(∞) constantes. On en dÉduituL(∞) =L= 0 dt 1
B.2Juste aprÈs la fermeture de l’interrupteur, l’intensitÉ qui traverse la bobine et la tension aux + + bornes du condensateur sont continus. Soiti(t) = 0= 0etuC(t= 0) = 0(condensateur initiale-+ ment dÉchargÉ). D’aprÈs la loi des mailles on obtientuL(t= 0) =E. B.3La loi des mailles nous permet d’Écrire :E=rii+uC+uL. En dÉrivant cette Équation et en 2 duCi duLd i remplaÇant paret parL2on obtient l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe par le couranti(t): dt Cdt dt 2 d iridi i 2+ += 0. En dÉrivant une deuxiÈme fois l’Équation donnÉe par la loi des mailles on obtient dt Ldt LC 2 22 d i1udi du diLd uLriduL1 ri2+ +2= 0et en remplaÇantpar ,on obtient :2+ +uL= 0 dt Cdt dtdt Ldt Ldt LC B.4Pour avoir un rÉgime pseudo-pÉriodique, il faut que le discriminant de l’Équation caractÉristique rt soit nÉgatif. En cherchant des solution de l’Équation diffÉrentielle ci-dessus sous la formeeon obtient : q 2 2 r r 2ri1i4i4L L r+r+ =0etΔ =2−=2(1−2).Δest nÉgatif siri<2. L LCL LCL rC C i B.5Avec les grandeurs posÉes, l’Équation diffÉrentielle vÉrifiÉe pari(t)est la suivante : 2 d idi2 2+ 2mω0dt+ω0i= 0. On en dÉduit quemest sans unitÉ etω0etωsont des pulsations qui s’exprime dt −1 enrad.s. −mω0t B.6En rÉgime pseudopÉriodique,i(t)est de la forme :i(t) =e(K1cosωt+K2sinωt), de plus di EE−mω0t i(t= 0) = 0etL(t= 0) =E, on dÉduit alors queK1= 0etK2=d’oÙi(t) =esinωt. dt LωLω di−mω0t ω0 De plusuL(t) =L=Ee(cosωt−msinωt) dt ω uL(t) B.7Le dÉcrÉment logarithmiqueδtraduit la dÉcroissance du signal sur une pseudopÉriodeδ== lnmω0T uL(t+T) Dans cette application on veut obtenir un circuit oscillant, on veut donc que les oscillations soient amor-ties le moins possible. On cherche donc á avoir un faible dÉcrÉment logarithmique. 5−1−5 B.8Avecr= 0,5 Ω,C= 200pFetL= 36mH, on obtientω0= 3,7.10rad.setm= 1,86.10, −4 soitδ= 1,17.10. L’amplitude des oscillations dÉcrot exponentiellement avec le temps. Le temps 1 caractÉristique de la dÉcroissance des oscillations est donnÉ parτ= =0,15s. Ce temps est 10000 mω0 fois plus grand que la pÉriode des oscillations. B.9Siri= 0,m= 0, l’Équation vÉrifiÉe paruL(t)devient alorsuL(t) =Ecosω0t. La pÉriode des 2π−5 oscillations est donnÉe parT1= =,7.10s. ω0
C Ètudedu circuit secondaire du flash C.1Avant fermeture de l’interrupteur, la tension aux bornes du condensateur est Égale áU0. L’Énergie 1 2 emmagasinÉe dans le condensateur est doncWC=CU= 6,75J 2 0 C.2On transforme dans un premier temps le gÉnÉrateur de ThÉvenin, en un gÉnÉrateur de Norton 0 r Rf U00i (0, r), puis on associe les deux rÉsistances en parallÈle :req=0et on transforme á nouveau r ir+Rf i i R U f0 0 00 le gÉnÉrateur de Norton en un gÉnÉrateur de ThÉvenin (E,r) avecE=0= 15,6Vet eq eqeq r+Rf i 0 r Rf i req=0= 9,47 Ω r+Rf i C.3Avec les transformations ThÉvenin-Norton, le circuit est Équivalent á un circuit RC sÉrie alimentÉ du0 0 00 0C C+u. par une source de tensionE. D’aprÈs la loi des mailles, on aE=r i+uC=req dt 0 0 eq eqeq C On obtient une Équation diffÉrentielle du premier ordre avec un second membre. La solution est de la t − 0 +E formeuC=Keeqavecτ=RCetKune constante d’intÉgration que l’on dÉtermine á partir de 0τ t 0 0− 0 la condition initialeu=U, d’oÙK=U−EOn)e+E. C0 0eq. obtientalors :uC(t) = (U0−Eeq 0 0τ eq C.4Le calcul de la constante de temps du circuit donne un ordre de grandeur du temps nÉcessaire 0 á la dÉcharge du condensateur.τ=r C= 1,4ms. En quelques milisecondes, une grande partie de eq l’Énergie stockÉe dans le condensateur s’est transformÉe en Énergie lumineuse dans le flash de l’appareil photo.
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ProblÈme 2Etude d’un Microscope A Prèliminaires 0 0 0 0 002fF A A.1Formule de conjugaison de Newton :F A.FA=−frtγ=−0=(cf Cours). f F A A.2MÉthodes á choisir parmi l’autocollimation, l’utilisation d’un collimateur, la mÉthode de Bessel, la mÉthode de Silbermann et l’utilisation de la formule de conjugaison de Descartes (cf TP)
B Positionnementde l’objet B.1L’oeil n’accommode pas s’il voit l’image de l’objet par le microscope á l’infini. On a alors le L1L2 0 002 ton, on aF A.F Fit schÉma suivant :A−→A≡F2−→∞. En utilisant la formule de New21 1=−f1so 02 f 1−2 F1A=−=−2,5.10mm. Δ B.2Le faisceau sortant deL2est parallÈle donc issu d’un pointB1qui est l’intersection entre le rayon Émergent passant par O et le plan focal objet deL2. Pour tracer les rayons incidents deL1, on trace les rayons parallÈles passant parO1, on cherche ensuite l’intersection cde ces rayons avec le plan focal objet deL1. Les rayons incidents passent par ces points et se croisent en au pointB.
B.3La profondeur de champ du microscope est la distance maximale entre deux points objet tels que leurs images soient vu nettement par l’oeil (vision au Ponctum Proximum et au Ponctum Remotum). 02 f 1 B.4Lorsque l’oeil voit l’image de l’objetABpar le microscope on a obtenuF1AP R=−. Pour une Δ L1L2 0 vision au Ponctum Proximum on a le schÉma suivant :A−→A−→AavecF A=− P P1P P2P P2 2P Pdm. 02 f 2 La formule de conjugaison de Newton appliquÉe á la lentilleL2nous donneF2A1P P=et la formule dm 0202 f f 1 1 =− −. La profondeur de champ s’Écrit de conjugaison appliquÉ áL1donneF1AP P0=f02 F A1P P2 1 Δ+ d m 02 11 −02) = 0,55µm. Le rÉglage se fait donc alorsl=AP RAP P=F1AP P−F1AP Rsoitl=f1(Δf 2 Δ+ d m par vis micromÉtrique.
C Expressiondu grossissement C.1L’angle maximal sous lequel on voitABest obtenu quand l’oeil est le plus proche possible de AB AB l’objet. Soittanθ0=. L’objetABÉtant petit on peut Écrireθ0=. dmdm C.2θest l’angle entre l’axe optique et les rayons Émergents du systÈme. D’aprÈs la figure prÉcÉdente, 0 f A1B1A1B1 1 on aθ=0. Le grandissementγ1deL1est donnÉ parγ1= =. De plus on a montrÉ á la f 2AB F1A 02 f 1ABΔABΔ question prÉcÉdente queF1A=−soitA1B1=−0etθ=0 0. Δf ff 1 12 θ dmΔ C.3G= =0 0= 667 θ0f f 1 2
D Positionde l’oeil D.1Le cercle oculaire est la section la plus Étroite du faisceau Émergent du microscope. Tous les rayons qui entrent dans le microscope par l’objectif sortent donc par le cercle oculaire. On doit placer la pupille de l’oeil dans ce cercle afin qu’un maximum de lumiÈre entre l’oeil.
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0 02 D.2Cest l’image deOparLet. En utilisant la formule de Newton, on obti 2entF C.F2O1=−f2 2 02 f 0 00 02 +F O=−Δ−f. On obtient alorsF C=0= 5,55mm F2O1=F2F1 11 12f+Δ 1 0 0 D.3Dest l’image deDparL2doncD=γ2DoÙγ2est le grandissement deL2et d’aprÈs les 0 00 CF−f f 2 202 relations de Newtonγ2= =0. SoitD=0D= 2,04mm. Le diamÈtre du cercle oculaire 0 f+Δf+Δ O2F1 1 2 est de l’ordre de grandeur du diamÈtre de la pupille. Une grande partie de la lumiÈre incidente sera donc captÉe par l’oeil.
E Pouvoirde rèsolution du microscope E.1Il faut que l’image de l’objet par le microscope soit vue sous un angle supÉrieur á. L’image est 0 0 f f ABΔ1 2 vue sous l’angleθ=0 0. Doncθ > conduit áAB >= 0,16µm. Il ne faut pas oublier de f fΔ 1 2 transformer les minutes d’arc en radians. En fait cette taille limite est infÉrieure aux longueurs d’onde e du visible et c’est la diffraction qui limite la rÉsolution d’un microscope (CF cours de 2 annÉe)
ProblÈme 3Le rtroviseur A Lerètroviseur est un miroir plan 0 A.1Aest le symÉtrique deApar rapport au miroir plan. A.2cf document rÉponse α L A.3tan =. 2 2D A.4Application numÉrique :α= 22,6.
B Lerètroviseur est un miroir sphèrique convexe B.1Un rayon qui passe par le centre optique n’est pas dÉviÉ et l’image d’un objet infini se trouve dans le plan focal image du miroir sphÉrique. B.2cf document rÉponse 0 α L1 1 20RD B.3tan =0et d’aprÈs la relation de conjugaison de Descartes :+ =soitSA= 0 2 2SA RR+2D SA SA 0 L(2D+R) α d’oÙtan = 2 2RD 0 B.4Application numÉrique :α= 62.
C Comparaisondes deux dispositifs C.1Le champ est considÉrablement augmentÉ avec un miroir convexe. C.2Pour un miroir plan, le grandissement est Égal á 1 la taille de l’image est donc de1ml’angle 1 apparent est donctanβ= =0,1, soitβ= 5,7. Pour le miroir convexe le grandissement est de 10 0 SA R γ=−= =0,024. La taille de l’image est alors de2,4cmet l’angle apparent sous lequel est 2D+R SA 0 0 vu cet objet est detanβ= 0,1. On a doncβ=β= 5,7. L’automobiliste voit l’objet avec le mme angle apparent alors que le champ de vision est beaucoup plus important avec le miroir convexe. D Anglemort On trace l’image du pointOpar le miroir et on dÉtermine le champ de vision de l’automobiliste. Le motard est dans ce champ de vision. Il est donc vu. 4
Document rÉponse 1
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Document rÉponse 2
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