Deuxième petit contrôle d'algèbre linéaire
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Deuxième petit contrôle d'algèbre linéaire Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 17 février 2012 1. Soit E un ensemble et soit : EE Ñ E une loi interne associative sur E. On suppose que E admet un élément neutre ? pour . 1 On suppose qu'il existe trois éléments u, v, w P E tel que : (a) u v ? ; (b) v w ?. Montrer que u w. On a : u u ? (puisque ? est un élément neutre pour .) u u pv wq (par hypothèse 1b) u pu vq w (car est associative) u ? w (par hypothèse 1a) u w (car ? est un élément neutre pour la loi ) 2. Comment appelle-t-on l'élément u de la question précédente ? L'élément u est l'inverse de v. 3. La famille pp1, 2, 3, 4q, p2, 1, 4, 3q, p4, 5, 10, 11qq de R4 est-elle une base ou non, une famille libre ou liée, une famille génératrice ou non, dans le R-espace vectoriel pR4, . , . q ? Donner en une preuve. La famille pp1, 2, 3, 4q, p2, 1, 4, 3q, p4, 5, 10, 11qq n'est pas génératrice, car elle ne contient que trois vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 4.
- question pour le produit
- famille pp1
- contrôle d'algèbre linéaire
- espace vectoriel de dimension
- matrice add5p3
- l3 ?
E : E E E E E
" u;v;w E
u v "
v w "
u w
u u " "
u u v w
u u v w
u " w
u w "
u
u v
41;2;3;4 ; 2;1;4;3 ; 4;5;10;11 R
: :4R R ; ;
1;2;3;4 ; 2;1;4;3 ; 4;5;10;11
4
: :: : :
; ; R 1;2;3;4 2;1;4;3 4;5;10;11 0;0;0;0
2 4 0
2 5 0
3 4 10 0:
2 4 0
3 3 0
2 2 0:
2
:
u E u " u " u u
&tchede1.la(b)questionassopr?c?deetitnteq?unL'?l?mentl'?l?menestl'inverseteldqepelle-t-onOn.3.OnLaternefamilblele#ppreappdirtdeCommenneutr2.(puisque).Monloiqtsla'pAlorsourpneequeneutr?l?ment'ununeestsoitqunarf?vrierpLIENS(cAinsitr?le)Deuxi?me1acteerseoth?SoitqqPde:hypparaest-ellequnebaseounon,:unetelfamilletroislipbroseeqou$li?e,%uneourfamilleg?n?ratricetouadmetnon,dans.le(p:-espace'vectoriel?petensemciative)Soitasso2012estEtqF?lin?airearour.d'alg?buneconpreuvpe.?solutionLea:familTleavailppr(ccher:qe?l?mentpunque)estq1bp:eOnsoth?uehyptrerarp(p.qq;qp(a)pqueP.)?l?menexisterouilqqqunsupp'est1p.as:g?n?r'atric'e,.carpelreleutnec?l?menontientquetroseoisuppsvesurcteursedansciativunPuisesp$ac&e%veinctorielloidedimensionp.Cen'estdoncpasunebase17non:plus.(INRIA,?NS,CNRS)PourlaeretlibJ?r?meert?,1.onpdonnetoutdeuxPm?tho,des:etParlarDonner1en: :: :
2 1;2;3;4 1 2;1;4;3 4;5;10;11 0;0;0;0 :
1;2;3;4
2;1;4;3
4;5;10;11
1;2;3;4
2;1;4;3
4;5;10;11
1;2;3;4
0; 3; 2; 5 L L 2 L ;L L 4 L2 2 1 3 3 1
0; 3; 2; 5
1;2;3;4
0; 3; 2; 5 L L L3 3 2
0;0;0;0
1;2;3;4 ; 0; 3; 2; 5 ; 0;0;0;0
1;2;3;4 ; 2;1;4;3 ; 4;5;10;11
1 2 3
3 4
2 1 3
5 2
3 1 2
2
1 1 1 1
:
0 0 0 0
1 1
0 0
1 1 1 1 1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1 1
0 0
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
:
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 3
0 1 0 0 0 4 5
0 0 1 4 0 2 7 :
0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 1 12 10
3;4;45
4 4 3
vecteurpnli?e.ul).matricDoncpla6.familleqppqipp:qaOn::Pardactionqp?matr(icpfamilleRprtsi,:lapfamillela?qourpestfamilleppqplibre,eqqpn'estDoncpasgauchelatriibre.si,4.gQueqvPuisautqleqpro:duitmilledematrices).qquestionpro?qp((libre:estqqqetL?deLteAddproqduluitationnar'estepeaseetd?nlailacearlaPuispremlaifamille?rpepmatricD'o?e?pp3acolonnes,falorsOrquelasecondeestaM?mepe.le5.duitM?mequestionpour?leprolibreduit:ql'algorithmeetLasi)plepdeqmatricpulementttienPosonslamquestltsiiplications:acone(ellegaucheibresllapasen'esteqqplap.mqtpplic?qplaemi?rpmpcqaqourd'ajouterpfoisligne?qlinseulemenladeuxi?me2lignes.1 0 0 0 0 1 3 1 3
0 1 0 0 0 4 5 4 5
0 0 1 4 0 2 7 6 7 :
0 0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 1 12 10 12 10
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