Deug MIAS 2eme annee Janvier Duree 3H
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
EPREUVE D'ANALYSE Deug MIAS 2eme annee Janvier 2004 Duree 3H 1. Pour n ≥ 1, on pose un = ln(1 + n?) n? . Determiner les couples (?,?) ? R2 pour lesquels la serie numerique ∑ un est convergente (on etudiera separement les cas ? < 0, ? = 0 et ? > 0). Representer le resultat sur un dessin. (4 p) 2. a) Soit a ? C, avec |a| < 1. Calculer ∞∑ n=1 an. (0,5 p) b) Rappeler l'enonce du theoreme de derivation terme a terme des series de fonctions de classe C1. (1,5 p) c) On pose I = ] 0,+∞ [ et, pour x ? I, f(x) = ∞∑ n=1 e?nx n . Montrer que f est C1 sur I, et calculer f ?(x) a l'aide des questions a) et b). En deduire que f est de la forme : f(x) = ? ln(1? e?x) + C, ou C est une constante. (3,5 p) d) Calculer lim x?+∞ f(x) (a l'aide de la question a) par exemple).
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EPREUVE D'ANALYSE Deug MIAS 2eme annee Janvier 2004 Duree 3H 1. Pour n ≥ 1, on pose un = ln(1 + n?) n? . Determiner les couples (?,?) ? R2 pour lesquels la serie numerique ∑ un est convergente (on etudiera separement les cas ? < 0, ? = 0 et ? > 0). Representer le resultat sur un dessin. (4 p) 2. a) Soit a ? C, avec |a| < 1. Calculer ∞∑ n=1 an. (0,5 p) b) Rappeler l'enonce du theoreme de derivation terme a terme des series de fonctions de classe C1. (1,5 p) c) On pose I = ] 0,+∞ [ et, pour x ? I, f(x) = ∞∑ n=1 e?nx n . Montrer que f est C1 sur I, et calculer f ?(x) a l'aide des questions a) et b). En deduire que f est de la forme : f(x) = ? ln(1? e?x) + C, ou C est une constante. (3,5 p) d) Calculer lim x?+∞ f(x) (a l'aide de la question a) par exemple).
- critere de riemann
- cv ?
- deug mias
- ?e ?nx
- serie
- zone
- ?nx ≤
- expression entre parentheses
- lorsque ?
EPREUVE D’ANALYSE
DeugMIAS2e`meanne´e Dure´e3H
Janvier 2004
1. Pourn≥1, on pose α ln(1 +n) un=. β n P 2 De´terminerlescouples(α,β)∈R´mreqieu´sreeiunelruopalsleuqsunest convergente (on e´tudierase´par´ementlescasα <0,α= 0 etα >R.pe)0´esurlerenter´es.nissednurustatlp)(4
∞ X n 2. a) Soita∈C, avec|a|<1. Calculera. (0,5 p) n=1 b)Rappelerl’´enonce´duthe´ore`medede´rivationtermea`termedesse´riesdefonctionsdeclasse 1 C . (1,5 p)
c) On poseI= ] 0,+∞pour[ et, x∈I,
∞ −nx X e f(x) =. n n=1
10 Montrer quefest C surI, et calculerf(xiostuesqdedeail’a`)ueireqe´udE.dnte)bsn)af −x est de la forme :f(x) =−ln(1−e) +C,`ouCest une constante. (3,5 p)
d) Calculer limf(xmpxe).led´Enuiedalerelacedru)(`al’aidedealuqseitno)aaperC. (1,5 p) x→+∞
3.a)Rappelerlere`gled’Abelpourlaconvergenceuniformedesse´riesdefonctions.(1p)
b)End´eduirelacontinuite´sur]0,2π[ de la fonctiongepniefid´ar
Onpourra´ecrire
∞ X inx e g(x) =. n+ ln(n+x) n=1
1 1 1 1 =− −.(4 p) n+ ln(n+x)n n n+ ln(n+x)
4.a)Onconside`relafonctiond´efiniesurRpar
∞ n X (−1) Φ(x) =. 2 n+x n=1
a)Rappelerlad´efinitiond’unese´riealtern´eeetler´esultatquipermetdemajorerlerested’une tellese´rie.(1p) +∞ Z b) Montrer que Φ est continue surReΦ(tne´rglateuqlei’x)dxest convergente. (3 p) −∞
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