DES ECOLES DES MINES D'ALBI ALES DOUAI NANTES
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Niveau: Supérieur
CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Lundi 19 mai 2008 de 14H00 a 18H00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve commune de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le si- gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PREMIER PROBLEME Dans tout ce probleme, n designe un entier non nul, a et b sont deux nombres reels. La notation Rn[X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients dans R et ayant un degre inferieur ou egal a n. Pour tout P ? Rn[X], on pose : ?n(P ) = (X ? a)(X ? b)P ? ? n ( X ? a + b 2 ) P CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 1/4
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CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Lundi 19 mai 2008 de 14H00 a 18H00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve commune de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le si- gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PREMIER PROBLEME Dans tout ce probleme, n designe un entier non nul, a et b sont deux nombres reels. La notation Rn[X] designe le R-espace vectoriel des polynomes a coefficients dans R et ayant un degre inferieur ou egal a n. Pour tout P ? Rn[X], on pose : ?n(P ) = (X ? a)(X ? b)P ? ? n ( X ? a + b 2 ) P CONCOURS COMMUN SUP 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathematiques (toutes filieres) Page 1/4
- abscisses des points d'intersection de cf avec l'axe
- courbe
- matrices m21
- base de l'espace vectoriel
- nantes epreuve de mathematiques
- allure de la courbe representative
- determiner
- matrice de passage de la base b1
CONCOURS COMMUN 2008 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
´ EpreuvedeMath´ematiques (toutesfili`eres)
Lundi19mai2008de14H00a`18H00
Instructionsg´en´erales:
Lescandidatsdoiventve´rifierquelesujetcomprend4pagesnum´erot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´esa`porteruneattentionparticulie`re`alar´edaction:lescopiesillisibles oumalpre´sente´esserontpe´nalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl’´etiquette`acode`abarres correspondanta`l’e´preuvecommunedeMath´ematiques.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
Remarqueimportante:
Siaucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonc´e,illesi-gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ila´et´eamen´e`aprendre.
` PREMIER PROBLEME
Danstoutceproble`me,ntnenuengunnonreil,si´edaetbrse´bmerle.ssouxnontde La notationRn[Xlenge]dsi´eRem`scaeocffieitndstorieldespolynˆoe-capscevesnaRet ayant undegre´inf´erieurou´egala`n.
Pour toutP∈Rn[X], on pose : 0a+ b ϕn(P) = (X−a)(X−b)P−n X−P 2
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Partie A : Etude deϕ1
Dans toute cette partie, on suppose quen= 1. On pose donc : 0a+b ∀P∈R1[X], ϕ1(P) = (X−a)(X−b)P−X−P 2 1.qrDeurentmo´eϕ1est un endomorphisme deR1[X]. 2.SoitB1= (1, X) la base canonique deR1[Xerinrmte´e.D]M1= MatB1(ϕ1). 3.asriceseno´niditeconerunrmin´eteDesnturtseesauffiaetbpour queϕ1soit bijective. 4.On suppose, dans cette question seulement, quea6=b. (a).De´montrerquelafamilleB={X−a, X−b}est une base deR1[X]. (b). Calculerϕ1(X−a) etϕ1(X−b´eduirep)iudsM= MatB(ϕ1). (c).D´eterminerlamatricedepassagedelabaseBesabla`aB1n,e´toePB,B1´ete.Derrmin demˆemelamatricedepassagedelabaseB1sabala`eBee´ton,PB1,B. (d).Donner,sansde´monstration,unee´galite´reliantlesmatricesM,M1,PB,B1etPB1,B. p (e). Soitp∈N. CalculerMla`aesquonti(d4.nu,)pxeesserdnoieceˆagre,irdu´endesiup p M(on donnera l’expression de chacun des coefficients de cette matrice). 1 2 34 5.elbm=Γ’la`esne’intOnsssed´ereteetnacsitnouqse{αI2+βM1+γM+δM ,(α, β, γ, δ)∈R}. 1 1 (a).D´emontrerqueΓestunsous-espacevectorieldeM2(R). 2 3 s escombin (b). Prouverque les matricesMetM1sniliaosrise´naeontddeM1etI2. 1 (c).D´eterminerunebasedeΓ. 6.On suppose dans cette question quea= 4 etbasileltne´rstlus.E=2tinuoineutsleqatads 2 5.(b),d´eterminerl’applicationϕatanelirdu´end.Erudeeϕ1´ementserses´elpt´rcesie 1 caracte´ristiques(ondonneraunebasedechacundesdeuxespacesvectorielsconcern´es).
PartieB:Quelquesge´ne´ralit´essurϕn
7.´Dnomererteuqϕnest un endomorphisme deRn[X]. 8.(rreeKmrniOsnttecsnadesoporpete´eedndiostueeqϕn). On poseα= max(a, bere`ni’locnodisn)etrvtelealI=]α,+∞[. 2x−(a+b) (a).De´montrerquelafonctionf:x7−→est continue surI. 2 x−(a+b)x+ab (b).D´etermineruneprimitiveFde la fonctionfsurI. (c).R´esoudresurl’intervalleI´ffidnoitauqe´’lreneitleel(E) :
a+b nx−n 02 y−y= 0 (x−a)(x−b)
∗ (d). Onsuppose quenrctinoee´pastetirn= 2pavecp∈N.D´eedelduiroitseuqa)c(.8n une base de l’espace vectoriel Ker(ϕ2p). (e). Onsuppose maintenant quenesti´nceirtpmiaerotn= 2p+ 1avecp∈N´e.Dederiud la question 8.(c) une base de l’espace vectoriel Ker(ϕ2p+1) (On pourra discuter suivant les valeurs deaetb).
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PartieC:Intersectionsdecourbesdanslecasou`n= 2
Dans toute cette partie, on suppose quen= 2,a=beta >1. −→−→−→−→ Onmunitlepland’unrepe`reorthonormalR= (O, i, j) aveckik=kjk= 1cm. 2 9.Calculerϕ2(1),ϕ2(X) etϕ2(Xrigespane,eti´dnotestnuaouDs.a)lfetgles fonctions 2 polynoˆmialesassoci´eesrespectivementauxpolynˆomesϕ2(1) etϕ2(X). On noteCfetCg lescourbesrepr´esentativesdecesdeuxfonctions. 10.(a). Montrer que les courbesCfetCgadmettent exactement deux points d’intersection : les pointsAaetBa´needrnocsooodtnelesdaiennt´esscarsnRsont respectivement 1 2 Aa(a,0) etBa,−+ 2a. a a (b).D´emontrerque,lorsqueavarie dans ]1,+∞[, tous les pointsBaappenneartinutna` mˆemeensembleEnd(iedtanndpe´eaiseraune´equatiocnra´tseeinn.enod)ce´rpnot (c). Montrerque l’ensembleEenutsnocefiatiusejnl(eraseice´rpnotnodeuqiruenatatnl) (aucuneautreinformationn’estdemande´esurE). (d).Apre`sunerapide´etude,tracerl’alluredelacourbeEdansR.
` SECOND PROBLEME ∗ Onconsid`eredanstoutceprobl`emelesdeuxfonctionsFetGe´deinfirussRpar : + sin(x) 1−cos(x) F(x) =G(x) = x x
Partie A : Etudes de deux fonctions
∗ 1.(a). Montrerque les fonctionsFetGsont continues surR. + (b). MontrerqueFetGntcoarspeet´uiinlorptnoselbaegnoeeraencorn0.OnnotFetG ces prolongements. ∗ 2.(a). Montrerque les fonctionsFetGssrubaelerivntd´soRctlae.see´iverd´rseurllecu + (b).De´montrer,a`l’aideded´eveloppementslimite´s,quelesfonctionsFetGselbavirsontd´e 0 0 en0.Pre´ciserlesvaleursdeF(0) etG(0). 3.eMont(a).uelererqictrmete´esrsseletsfuqsloptnitisF(x) = 0 constituent une suite (ak)k≥1strictement croissante. On donnera explicitement la valeur deak. (b).Montrerquelesre´elsstrictementpositifstelsqueG(x) = 0 constituent une suite (bk)k≥1strictement croissante. Y-a-t’il un lien entre les suites (ak)k≥1et (bk)k≥1? 0 ∗ 4.(a). Soitk∈NM.nolee´rnuetsixeli’quullccanssaertrxk∈]ak, ak+1[ tel queF(xk) = 0. 0 ∗ (b). Montrerque la fonctionFˆemueqdesnegmeitseh:x7→xcos(x)−sin(x) surR. + ∗ (c).De´montrerquepourtoutk∈N, la fonctionhest strictement monotone sur [ak, ak+1]. (d).End´eduirel’unicite´dur´eelxkd´(a).on4.itseuqalsnadinfie ∗π (e). Etablirque :∀k∈N, xk∈]ak, ak+ [. 2 (f). Calculerlimxkerminerupuisd´etteil(tenispme´lneqdeailuuasvxk). k→+∞
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