Departement de Mathematiques de l'universite de Nice M1 Enseignement
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Departement de Mathematiques de l'universite de Nice, M1 Enseignement, 2011-2012 UE 5, feuille III. Series entieres. Les series entieres I. D'apres la premiere epreuve 2006 1. Montrer que ∑ (?1)n?1 t n n (n ≥ 1) converge simplement sur ]? 1, 1]. On note S sa somme. 2. Montrer que S est derivable sur ] ? 1, 1[. Calculer S? sur ] ? 1, 1[ et en deduire une expression de S sur cet intervalle. 3. Montrer que S est en fait continue sur ]? 1, 1]. En deduire ∑+∞ n=1 (?1)n?1 n . II. a. Rayon de convergence de ∑ nn n! z n, ∑ a √ nzn (a > 0), ∑ nlnnzn, ∑ (1 + an)zn, ∑ P (n)zn (P est une fonction polynomiale), ∑ (?1)n 2n+1 z 2n+1, ∑ enzn 3 . b. On suppose que la serie entiere ∑ anzn a un rayon de convergence R. Si p est un entier fixe, quel est le rayon de convergence de la serie entiere ∑ anzpn? Calculer le rayon de convergence de∑ nn n! z 2n.
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Departement de Mathematiques de l'universite de Nice, M1 Enseignement, 2011-2012 UE 5, feuille III. Series entieres. Les series entieres I. D'apres la premiere epreuve 2006 1. Montrer que ∑ (?1)n?1 t n n (n ≥ 1) converge simplement sur ]? 1, 1]. On note S sa somme. 2. Montrer que S est derivable sur ] ? 1, 1[. Calculer S? sur ] ? 1, 1[ et en deduire une expression de S sur cet intervalle. 3. Montrer que S est en fait continue sur ]? 1, 1]. En deduire ∑+∞ n=1 (?1)n?1 n . II. a. Rayon de convergence de ∑ nn n! z n, ∑ a √ nzn (a > 0), ∑ nlnnzn, ∑ (1 + an)zn, ∑ P (n)zn (P est une fonction polynomiale), ∑ (?1)n 2n+1 z 2n+1, ∑ enzn 3 . b. On suppose que la serie entiere ∑ anzn a un rayon de convergence R. Si p est un entier fixe, quel est le rayon de convergence de la serie entiere ∑ anzpn? Calculer le rayon de convergence de∑ nn n! z 2n.
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Français
D´epartementdeMath´ematiquesdel’universit´edeNice,M1Enseignement, 2011-2012 UE5,feuilleIII.Se´riesentie`res.
Less´eriesentie`res
I.alrpme`i’Dpa`rseuve2006ere´epre Pn n−1t 1.Montrer que(−1) (n≥1) converge simplement sur ]−1,1]. OnnoteSsa somme. n 0 2.Montrer queSrl]esaubiverd´ste−1,1[. CalculerSsur ]−1,seisno1ete[nd´eduireuneexpr deSsur cet intervalle. P n−1 +∞(−1) 3.Montrer queSest en fait continue sur ]−1,´dde.]nEiuer.1 n=1n √ PnP PP P n nn nlnn nnn n II. a.Rayon de convergence dez,a z(a >0),n z+, (1a)z,P(n)z(P n! P P3 n (−1) 2n+1n n est une fonction polynomiale),z,e z. 2n+1 P n b.Oeerposensupsae´uqletn`iireeanza un rayon de convergenceR. Sip,eestunentierfix´ P pn quelestlerayondeconvergencedelase´rieenti`ereanz? Calculerle rayon de convergence de Pn n2n z. n! P PP n nn III.Soientanz,bnzetcnzleuqonsepusnesoprembstorsi´si`eres.Oeriesentan,bnet cnnefiire´vtlseesro´ntls’iquet 0≤an≤bn≤cn pour tout entiernles rayons de convergence respectifs. ComparerRA,RBetRCdire des. Que rayonsdeconvergencededeuxse´riesentie`resde´finiespardessuitese´quivalentesdenombresr´eels positifs?
IV.emi`epe´uxDe8ervu2e00 P r a.Montrer la convergence der. 2 Pn x b.Rayondececteosmmnoevgrneeerii`nteled´easerenriedas´eantld´er,´veee´ircnE.isno 2 P +∞n montrer quen= 2. n=1 2 P n (−1) n V.`ireree´leeltneeire´saltioSx(n≥2),RCalculer sa sommeson rayon de convergence. n(n−1) P n +∞(−1) sur ]−R, R[. Calculer. n=2n(n−1)
VI.erP´ere`emi200v7eeupr Pn x a.Pour quelles valeurs dex∈Rle´saererieenti`2est-elle convergente? n Pn +∞x b.Pour toutx∈[−1,1], on posef(x) =2que. Montrerfest continue sur [−1,1] et n=1n 0 calculerf(x) pour toutx∈]−1,1[. c.urtoutr´eeloPx∈[−1,egt´inl’leraocno,[1ere`disn Z x ln(1−t) Li(x) =−dt. t 0 Justifierl’existencedecetteint´egralepourtoutre´elx∈[−1,1[ et montrer que pour toutx∈]−1,1[ on a Li(x) =f(x).
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VII.enuocr,ter’etusqeetsnuqMileoepnpteim`eenr’tuennds´´eevreidetsxueiiesxiledi`aqure suitesre´elles(an) et (bn)ee´leutrnU >0 tel que +∞+∞ X X n n anx=bnx n=0n=0 pour toutx∈]−U, U[ alorsan=bnpour tout entiern≥0. x1 VIII.erenerers´enie`etiDeve´ppolf:x7→Arctg(x),x7→ln(1 +x) etx7→e,x7→2, (1−x) 1 z7→2(z∈C). (1−z) 2R2 x −x /2t /2 1 IX.Soitf:x7→e edt. MontrerquefestCsurRnioatqu´el’deonettsosulituqe’llee 0 diffe´rentielle 0 y+xy= 1 avec la condition initialey0(=)oM.0ertn’uqrxeliteisssdemeomessde´irseneite`erssolutionsde cettee´quationdiffe´rentielle.End´eduirequefetslepo´dveeenspablee.enti´`eerri X.Transformation enZ Soitfnurusiefin´endioctonefR+appelle. On´teeenransformzde la fonctionfla fonction de la variable complexez´dpienrfiae +∞ X −n F(z) =f(n)z n=0 P n 1.ceenrgveers´ladeareleuqenocednoypposOnsueineite`erf(n)zestR.Pr´eciserlmodeenia ded´efinitiondelafonctionF. 2.stleerullcCanesee´mrofsnarzdes fonctions suivantes: •finpe´dfiea,rf(t) = 1 pour toutt≥0, t •gnfie´apeird,f(t) =apour toutt≥0 (a >0), •hr,ap´edifineh(t) = costpour toutt≥0. P P +∞+∞ −n−n 3.Calculerf(n+ 1)zetf(n+ 2)zen fonction deF(z). n=0n=0 4.on suppose queApplication :foinv´erifiel’´equat f(n+ 1) =af(n) +b, flaC.eluctalrsnarrmfoee´en(0)´etantfix´ezde la fonctionf.redeiunE´df(n) pour tout entiern. P P cos(nα)sin(nα) n n XI.mrete´Dsolaerins´esedmmi`ereseriesentxetx(x∈R,α∈R). n!n!
XII.996uve1epre`ime´ererP Onconside`rel’´equationdiffe´rentielle
200 0 −t y−2ty+y=arctan(t)
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P p a.On suppose qu’une solutionyest, sur l’intervalle ]−R, Rerneeie`it’unes´er[,sommedapt. p≥0 Montrer quea2k= 0 et exprimera2k+1en fonction dek. b.s´erieainsiobteneuC?nolcruseru’lisexncte’uedsone-ulstleueQndyoralegrevnocealedecne tionde´veloppableense´rieenti`ereauvoisinagede0.
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