Dans ce qui suit designe l'ensemble des “etats du monde” et B l'algebre des evenements consideres sur Si est fini on pourra supposer que B P si est infini il faudra pour certaines proprietes enoncees supposer que B soit une algebre par exemple la algebre des boreliens Nous ne nous interessons pas ici a expliquer en details pourquoi ces precautions sont necessaires et renvoyons au cours de probabilites de L3 sur cet aspect
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Chapitre 2 Probabilite et esperance Dans ce qui suit, ? designe l'ensemble des “etats du monde” ? et B l'algebre des evenements consideres sur ?. Si ? est fini, on pourra supposer que B = P(?) ; si ? est infini, il faudra, pour certaines proprietes enoncees, supposer que B soit une ?-algebre, par exemple la ?-algebre des boreliens. Nous ne nous interessons pas ici a expliquer en details pourquoi ces precautions sont necessaires et renvoyons au cours de probabilites de L3 sur cet aspect. 2.1 Probabilite et esperance des v.a. elementaires Definition : On appelle probabilite sur (?,B) toute fonction P : B ?? [0, 1] telle que P(?) = 1 et P(A . ? B) = P(A)+P(B), ou A . ? B designe1 simplement l'union A?B tout en exprimant qu'on suppose que A ? B = ?. Une maniere d'interpreter P est que P(A) “mesure l'esperance2 qu'on peut avoir que l'evenement A se realisera”. Cette mesure n'a nullement besoin d'exprimer les “chances” qu'a A de se realiser (meme si, comme nous le verrons avec la loi des grands-nombres, cela peut servir a cela dans un sens a preciser).
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Chapitre 2 Probabilite et esperance Dans ce qui suit, ? designe l'ensemble des “etats du monde” ? et B l'algebre des evenements consideres sur ?. Si ? est fini, on pourra supposer que B = P(?) ; si ? est infini, il faudra, pour certaines proprietes enoncees, supposer que B soit une ?-algebre, par exemple la ?-algebre des boreliens. Nous ne nous interessons pas ici a expliquer en details pourquoi ces precautions sont necessaires et renvoyons au cours de probabilites de L3 sur cet aspect. 2.1 Probabilite et esperance des v.a. elementaires Definition : On appelle probabilite sur (?,B) toute fonction P : B ?? [0, 1] telle que P(?) = 1 et P(A . ? B) = P(A)+P(B), ou A . ? B designe1 simplement l'union A?B tout en exprimant qu'on suppose que A ? B = ?. Une maniere d'interpreter P est que P(A) “mesure l'esperance2 qu'on peut avoir que l'evenement A se realisera”. Cette mesure n'a nullement besoin d'exprimer les “chances” qu'a A de se realiser (meme si, comme nous le verrons avec la loi des grands-nombres, cela peut servir a cela dans un sens a preciser).
- probabilite de marche p?
- probabilite
- esperance
- loi uniforme
- meme resultat
- linearite de l'esperance postulee
Chapitre 2
Probabilite´etesp´erance
Danscequisuit,Ωde´signel’ensembledes“´etatsdumonde”ωetBgle`la’´eesedbrenemenv`disnocstse´re´ sur Ω. Si Ω est fini, on pourra supposer queB=Prp´ipsoriaenectrset´eseΩifinit(s;)Ωa,drurpo,iniaulf ´enonce´es,supposerqueBsoit uneσxpearee,lberm`pelgl-aaσerbebsede´roneil-g`als.Nousnenous inte´ressonspasicia`expliquerend´etailspourquoicespr´ecautionssontne´cessairesetrenvoyonsaucours deprobabilit´esdeL3surcetaspect.
2.1Probabilit´eetespe´rancedesv.a.e´le´mentaires
De´finition:On appellesurit´eabilprob(Ω,B) toute fonctionP:B→[0,1] telle queP(Ω) = 1 et . . 1 P(A∪B) =P(A) +P(Bu`o,)A∪Bd´esignesimpelemtn’lnuoinA∪Btout en exprimant qu’on suppose queA∩B=∅. 2 Unemanie`red’interpr´eterPest queP(Alerusem“)’oquencra´esp’eriuqle´’pnueatovntev`enemeA ser´ealisera”.Cettemesuren’anullementbesoind’exprimerles“chances”qu’aAis,eˆemer´edeser(malis comme nous le verrons avec laloi des grands-nombresria`ecaladsnnues,celapeutserv.)resice´rpa`sn Nous verrons ci-dessous des exemple d’autres mesures utiles. En revanche, nous attendons que cette espe´rancesoitlin´eairedanslesenssuivant:nousavonsvuqu’`atoute´v`enementAnous pouvons faire correspondre la v.a.IAu,`oIA(ω) vaut 1 ou 0 selon que “A-aideresolqneul“’´etatdutves`-tse’c”nonuoiar monde”ωrappneita`taAapronuoSin.onl’esd´neigE’lsenaec´preh´em(matue),atiqae´nilalve´e´tireeu´oq icisignifiesimplementquepourtouse´ve`nementsAetBdeBettousr´eeslaetb, on aE(aIA+bIB) = aE(IA) +bE(IB) =aP(A) +bP(B), et en particulierE(IA) =P(Aerquet,´tannollvedserioilpxuoas)N. donn´euneprobabilite´PsurBceaner`erdnete´pseenua,commentl’´E(Xniefid´)truopeuo.aet.vB-mesurable.Nousnedonneronslaconstructionquedanslecase´l´ementaireetindiquerons,sanspreuve,`a quelleformulesonaboutilorsqu’on´etendlanotiond’espe´ranceaumoyendesconstructionsclassiquesde lathe´oriedelamesure. Voicicecase´l´ementaire:consid´eronsunev.a.Xsur (Ω,B) et notonsX:=X(Ω). Supposons que cet ensemble des valeurs deXsoit fini :X={x1, x2, . . . , xn}N.uoe´t.velse.aunu’eletirsdsqonleme´ntaire. Pouri= 1..n, soitAi:={X=xi}, l’ensemble desω∈Ω tels queX(ω) =xi. Il est facile de voir . S que Ω =Aiet que lesAisont bien dansBpuisque la v.a.Xh`eseetsaphrpytoBmesurables i=1..n (expliquez cela!) ;doncP({X=xi}) =P(Aiuopiuotrt)tbesndiefin´exi∈ X. Cette petite construction nouspermetd’e´crireX=x1IA1+x2IA2+. . .+xnIAnntlavalenvisageaecale,en´vrefiize(nucdsruahce desdeuxmembresdel’e´galite´lorsqueω∈Ainos,deusnsvorit´n´eaarli).Psues-dcieel´tuospecnare´pse’lede donc poserE(X) =E(x1IA1+x2IA2+. . .+xnIAn) =x1E(IA1) +x2E(IA2) +. . .+xnE(IAn),et donc n X E(X) =xipio`upi:=P(Ai) (=E(IAi)).(2.1) i=1
. S S 1 Defac¸onanalogue,onnoteraAiinnoal´rueAitout en exprimant qu’on supposequeAi6=Ajsii6=j i∈I i∈I 2 lesensdelalocution“mesurerl’esp´erance”n’estpaspr´ecise´icietnouslaissonsaulecteurlalibert´edechoisirune intuition qui lui convienne. Avec l’exemple de paris sur une course de chevaux, nous lui proposons un peu plus loin un exempleou`cettemesuredel’esp´eranceestpeut-ˆetrediff´erentedecequiluivient`al’esprit.Nousfigeronsbientoˆtlesens dumotespe´rancedansunsensmath´ematique,d’ailleursd´eduitdeceluideprobabilite´,lemotmesureadmettantluiaussi unsensmathe´matique,quisera,lui,pre´cis´eenL3
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