Cours PC Brizeux Ch DF4 Fluides réels viscosité
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Niveau: Supérieur
Cours PC Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 46 - 46 - C H A P I T R E D F 4 FLUIDES RÉELS : VISCOSITÉ Dans ce chapitre des écoulements de fluides incompressibles réels et examinerons l'influence de leur viscosité sur ces écoulements. 1. EQUATION DE NAVIER-STOKES Il s'agit tout simplement de l'équation d'Euler dans laquelle on a rajouté la force volumique (ou massique) de viscosité. Cette équation prend alors la forme : ?[ ? ? r v ? t + ? ( r v .grad) r v ] = ? r f v - ? gradP + ? ? r ? r v ? ? r v ?t + ? ( r v .grad) r v = ? r f m - ? gradP ? + ? ? r ? r v Equation de Navier -Stokes Pour mieux comprendre cette équation, revenons sur la signification physique de la viscosité : 2. INTERPRETATION DE LA VISCOSITE 2.1. Transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion Il est clair que, par son mouvement même, un fluide transporte de la quantité de mouvement : ce type de transport dû au mouvement est appelé transport convectif.
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Cours PC Brizeux Ch. DF4 : Fluides réels : viscosité 46 - 46 - C H A P I T R E D F 4 FLUIDES RÉELS : VISCOSITÉ Dans ce chapitre des écoulements de fluides incompressibles réels et examinerons l'influence de leur viscosité sur ces écoulements. 1. EQUATION DE NAVIER-STOKES Il s'agit tout simplement de l'équation d'Euler dans laquelle on a rajouté la force volumique (ou massique) de viscosité. Cette équation prend alors la forme : ?[ ? ? r v ? t + ? ( r v .grad) r v ] = ? r f v - ? gradP + ? ? r ? r v ? ? r v ?t + ? ( r v .grad) r v = ? r f m - ? gradP ? + ? ? r ? r v Equation de Navier -Stokes Pour mieux comprendre cette équation, revenons sur la signification physique de la viscosité : 2. INTERPRETATION DE LA VISCOSITE 2.1. Transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion Il est clair que, par son mouvement même, un fluide transporte de la quantité de mouvement : ce type de transport dû au mouvement est appelé transport convectif.
- viscosité
- force proportionnelle
- vitesse angulaire
- fluide réel
- importance relative des phénomènes convectif
- ordre de ?
- fluide de masse volumique
- ecoulement
- sphère en translation uniforme
Cours PC BrizeuxCh. DF4 :Fluides réels : viscosité46 C H A P I T R ED F 4F L U I D E SRÉ: VE L SI S C O S I TÉDans ce chapitre des écoulements de fluides incompressibles réels et examinerons linfluence de leur viscosité sur ces écoulements. 1.EQUATION DE NAVIER-STOKES Il sagit tout simplement de léquation dEuler dans laquelle on a rajouté la force volumique (ou massique) de viscosité. Cette équation prend alors la forme : rr rrrr "vr rr"vr rgradPr +(v.grad)v]= -gradP +η"v(v.grad)v=fm-ρ[fv ++ν"v"t"t" Equation de Navier -Stokes Pour mieux comprendre cette équation, revenons sur la signification physique de la viscosité : 2.INTERPRETATION DE LA VISCOSITE 2.1.Transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion Il est clair que, par son mouvement même, un fluide transporte de la quantité de mouvement : ce type de transport dû au mouvement est appelétransport convectif. Ainsi, à un fluide en translation de rr dans un référentiel R, il est poss vitessev =vexible dassocier la quantité de mouvement volumique r rrr quantité de mouvement élémentaire"ptraversant une surfacedS =dSeale à ρv.Lax orthogon rr rrr 2 lécoulement pendant le tempsδt sécrit alors"p=ρvvδt.dS =ρvδtdS. La force associée en quelque sorte au mouvement du fluide est : r rr "p 2 dF= =ρvdS"t 2 qui fait apparaître la notion de pression dynamiqueρv . Considérons alors lexemple dun cylindre rempli de fluide et mis en rotation à vitesse angulaireΩ0autour de son axe; nous observons alors la mise en mouvement progressive du fluide à partir de la paroi du cylindre.Au bout dun certain temps, si les effets de bord (dus à la longueur finie du cylindre) sont négligés, lensemble du fluide tourne à la vitesse angulaireΩ0. - 46 -
Cours PC BrizeuxCh. DF4 :Fluides réels : viscosité47
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A partir de létat de repos, le fluide est donc mis en mouvement des bords du cylindre vers son centre, cest-à-dire radialement. Cependant, la vitesse du fluide est en tout point et à tout instant orthoradiale : le transport de quantité de mouvement permettant la mise en mouvement du fluide ne peut être convectif. Il sagit ici duntransport diffusif, de nature microscopique, en tout point analogue à un transfert thermique par exemple : nous assistons, par diffusion de quantité de mouvement, à une propagation radiale de proche en proche de la mise en mouvement du fluide. Cest la viscosité du fluide qui assure en fait, par lintermédiaire de la force de friction qui sexerce entre les différentes couches concentriques du fluide, le transport diffusif de la quantité de mouvement : La viscosité peut sinterpréter comme une diffusion de quantité de mouvement . Le rôle du coefficient de viscosité cinématiqueν esten fait tout à fait analogue à celui des " coefficients D etdes lois de Fick et Fourier. Pour mieux nous en convaincre, écrivons léquation de #c rr y, t)e. Cet Navier-Stokes pour un écoulement dont le champ des vitesses est de la forme:vv( =x écoulement est structurellement laminaire et laccélération convective est nulle. La force massique de viscosité sécrit : 2 r "vr f=νemvis cos ité2x "y Si on suppose de plus que la pression ne varie pas dans le sens de lécoulement, léquation de N-S en projection sur x sécrit : 2 "v"v-ν= 0 2 "t"y 22 λ "n"n"T"T formellement identiqueà des équations du type :-D0 =et -0 dans des = 2ρc2 "t"y"t"y milieux unidimensionnels selon la direction y.... Cette équation devient bien alors une équation de diffusion. On comprend bien alors quun écoulement visqueux est essentiellement dissipatif et irréversible. - 47 -
Cours PC BrizeuxCh. DF4 :Fluides réels : viscosité48 3.LE NOMBRE DE REYNOLDS 3.1.Étude expérimentale de la force de traînée dune sphère en translation uniforme dans un fluide réel Considérons une sphère de rayon R, immergée dans un fluide de masse volumiqueρet de viscosité η, et se déplaçant en translation de vitesse uniforme U dans le fluide. Une étude expérimentale de la force subie par la sphère de la part du fluide, encore appelée force de traînée, conduit aux résultats suivants : - à faible vitesse, la force de traînée est proportionnelle à la vitesse, au rayon de la sphère et à la viscosité. Elle obéit à la formule de Stokes : rr F6= -π ηRUformule de Stokes - à forte vitesse, elle devient proportionnelle aux carrés de la vitesse et du rayon : r 1r 2 2 F= -πRρUex 2 si on désigne par x laxe de translation de la sphère. Comment expliquer cette différence ? Nous avons vu lexistence de transports convectifs et diffusifs de quantité de mouvement dans le fluide. Sur lexemple du cylindre en rotation nous avons même pu séparer les deux effets par orthogonalité entre leur propagation. Dans cet exemple en revanche les deux effets entrent en compétition : A forte vitesse, leffet convectif lemporte. Nous avons vu quil conduit à lidée dune pression 1 2 dynamique associée au fluide. Ici cette pression vautρsapplique à la projection de la surfaceU et 2 2 de la sphère sur un plan orthogonal à la vitesse :πR , doù lexpression de la force. A faible vitesse en revanche, leffet diffusif, associé à la viscosité lemporte. Lanalyse dimensionnelle et les valeurs typiques des grandeurs de lécoulement montrent que la force volumique U de viscosité est de lordre deη, ce qui donne bien finalement une force proportionnelle au produit 2 R ηUR. Cette évolution de la force de traînée va nous permettre de mieux caractériser limportance relative des phénomènes convectif et diffusif en introduisant un nombre caractéristique de lécoulement : le nombre de Reynolds. - 48 -
Cours PC BrizeuxCh. DF4 :Fluides réels : viscosité49 3.2.Le nombre de Reynolds 3.2.1.Définition par la comparaison des expressions de la force de traînée Lexemple précédent nous montre que pour un obstacle de dimension caractéristique transversale L, placé dans un écoulement de vitesse U, les phénomènes diffusifs entraînent une force proportionnelle à 2 2 ηUL, et les phénomènes convectifs une force proportionnelle àρU L . Par définition nous appellerons nombre de Reynolds la grandeur sans dimensions égale au rapport de ces deux grandeurs : 2 2 force caractéristique convectiveρU LUL Re == = force caractéristique diffusiveηULν Rq. Ondéfinit également le coefficient de traînée Cdle rapport de la force commeréellepar subie 12 lobstacle sur la valeurρSU ,où S est la surface projetée orthogonalement à lécoulement . Ce 2 coefficient de traînée peut être calculé expérimentalement pour différentes valeurs de la vitesse U. On peut alors construire la courbe expérimentale Cxf(Re). Dans le cas de la sphère en translation, on = trouve : C x
1
Re
6"#RU24 Ainsi, à faible vitesse, : Cd== 1 Re 2 2 "R$U 2 A forte vitesse en revanche ce coefficient tend vers une constante. Remarque: Cettedéfinition du nombre de Reynolds par comparaison de forces macroscopiques de r r traînée est en fait déjà contenue dans léquation de N-S . Le terme caractéristique de la diffusion estν"v2 Ur rU de lordre deν. Le terme caractéristique de la convection est(v.grad)v.de lordre de 2LL - 49 -
Cours PC BrizeuxCh. DF4 :Fluides réels : viscosité50 On retrouve alors : terme de convection de N -SUL Re == terme de diffusion de N -S" 3.2.2.Définition par la comparaison des temps caractéristiques de diffusion et de convection Une autre définition possible du même nombre de Reynolds peut être donnée à partir de la comparaison des temps caractéristiques associés aux deux phénomènes. Ces temps seront eux-mêmes évalués à partir des grandeurs caractéristiques U et L précédemment introduites : L - le tempsτCcaractéristique de la convection se réduit simplement au quotient U 2 "v"v - le tempsτD: -de la diffusion peut être déduit de léquation caractéristiqueν =0. Dun 2 "t"y 2 L point de vue dimensionnel en effet elle introduit le tempsτDsoit la définition de Re par := , " temps caractéristique de diffusionτDUL Re == = temps caractéristique de convectionτCν Nous aboutissons bien à la même expression... 3.3.Classification des écoulements Lintérêt du nombre de Reynolds est quil permet de classer les différents écoulements. Rien quen observant lécoulement deau issu dun robinet, nous pouvons constater de grandes différences suivant le débit imposé : pour des faibles débits, le jet deau est stable alors quaux forts débits il devient instable avec émission de gouttelettes. La nature du fluide intervient également : la stabilité est beaucoup plus grande pour un jet dhuile issu de la vidange dun carter par exemple. Revenons alors au nombre de Reynolds associé à lécoulement dun fluide : Pour des nombres de Reynolds faibles (typiquement petits devant lunité), la viscosité joue un rôle prépondérant. Les écoulements seront très stables et bien définis (on parle découlements rampants). Ce type découlements est associé aux fluides très visqueux (ηélevé), aux faibles vitesses, pour des systèmes de petites taille... r r Remarquons dailleurs quà ces faibles nombres le terme convectif en(v.grad)vde léquation de N-S est négligeable. Cest la disparition »de ce terme non linéaire qui confère alors à ces écoulements leur grande stabilité. Pour des nombres de Reynolds élevés, la convection joue un rôle prépondérant et les écoulements deviennent instables etturbulentson rencontre ce type découlements pour des fluides peu visqueux, : aux fortes vitesses, pour des systèmes de grande taille. La encore la prépondérance du terme de convection non linéaire est à lorigine des phénomènes de turbulence - 50 -
Cours PC BrizeuxCh. DF4 :Fluides réels : viscosité51 Cependant, pour ces nombres élevés, il est possible de rencontres des configurations géométriques maintenant des écoulements stables dont la configuration reste la même que pour un nombre faible : ce sera évidemment le cas des écoulements laminaires pour lesquels, structurellement, le terme convectif de léquation de N-S est nul Pour un écoulement laminaire, le calcul du nombre de Reynolds semble donc a priori inutile puisque le terme convectif nintervient pas. En fait ce calcul devient pertinent pour discuter de la possibilité même dune structure laminaire de lécoulement, ou plus exactement de sa stabilité. Laugmentation de la vitesse par exemple dans un écoulement laminaire pourra créer des instabilités faisant évoluer lécoulement vers un régime turbulent .Des études dordre purement expérimentalpermettent alors de définir une valeur limite numérique du nombre de Reynolds séparant les deux types de régime. Cette valeur dépend évidemment de chaque écoulement, mais on peut retenir une valeur usuelle de lordre de 2000 3.4.Notion de couche limite Dans un écoulement laminaire à grand nombre de Reynolds, loin de tout obstacle, le fluide peut être considéré comme parfait : les forces de viscosité sont alors négligeables. En revanche, lorsquonintroduit un obstacle, au voisinage de ce dernier les phénomènes de diffusion ( viscosité) et de convection doivent être pris en compte simultanément. Il existe ainsi une zone où la vitesse du fluide évolue rapidement de sa valeur en labsence dobstacle jusquà zéro si lobstacle est immobile : cette zone est appelée couche limite. Lécoulement dans la couche limite peut lui-même être laminaire ou turbulent. La couche limite est la zone de fluide de faible épaisseur située au voisinage dun obstacle et dans laquelle le fluide ne peut plus être considéré comme parfait.
En dehors de cette zone, toute la dynamique des fluides parfaits précédemment étudiée reste valable. Notons enfin que la forme de lobstacle joue un grand rôle sur celle de la couche limite. Ainsi, pour des obstacles mal profilés», se produit lephénomène de décollement de couche limite. Celui-ci engendre la création dun grande zone de turbulence dans le sillage de lobstacle. Ce type de phénomène doit par exemple être contrôlé et évité au mieux dans le calcul des profils aérodynamiques, comme ceux des ailes davion...
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