Cours PC Brizeux Brizeux Ch E2 Les équations de Maxwell
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Cours PC Brizeux Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell 16 - 16 - C H A P I T R E E 2 LES ÉQUATIONS DE MAXWELL Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels tout l'électromagnétisme classique peut être construit: 1. LES EQUATIONS DE MAXWELL 1.1. Expression 1.1.1. Formes locale et intégrale - interprétation physique - Equation du flux magnétique M1 : div ? B = 0 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant : ? S ? ? B. ? dS = 0 précise sa signification : Le flux de ? B à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété intrinsèque de ? B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et s'impose donc à tout cham magnétique, en régime permanent comme en régime variable. - Equation de Maxwell-Faraday M2: ? rot ? E = - ? ? B ? t Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est: ? rotE.dS S ? = ? C ? ? E . ? dl = - ? ? d dt B.
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Cours PC Brizeux Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell 16 - 16 - C H A P I T R E E 2 LES ÉQUATIONS DE MAXWELL Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels tout l'électromagnétisme classique peut être construit: 1. LES EQUATIONS DE MAXWELL 1.1. Expression 1.1.1. Formes locale et intégrale - interprétation physique - Equation du flux magnétique M1 : div ? B = 0 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant : ? S ? ? B. ? dS = 0 précise sa signification : Le flux de ? B à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété intrinsèque de ? B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et s'impose donc à tout cham magnétique, en régime permanent comme en régime variable. - Equation de Maxwell-Faraday M2: ? rot ? E = - ? ? B ? t Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est: ? rotE.dS S ? = ? C ? ? E . ? dl = - ? ? d dt B.
- ?0
- distributions surfaciques de charges
- linéarité des équations
- arqs
- champ
- équation de maxwell
- brizeux brizeux
- superposition des distributions d1
Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell16C H A P I T R EE 2L E SÉA X W E L LDE MQ UA T IO NS Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels tout l'électromagnétisme classique peut être construit: 1.LES EQUATIONS DE MAXWELL 1.1.Expression 1.1.1.Formes locale et intégrale -interprétation physique - Equation du flux magnétique M: div= 0 1 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant : . =0
précise sa signification :Le flux deà travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété intrinsèque dequi montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et simpose donc à tout cham magnétique, en régime permanent comme en régime variable. - Equation de Maxwell-Faraday M:= -2
Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est:
= .= -=-Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique variable peut créer un champ électrique à circulation non nulle. - 16 -
Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell17ρ - Equation de Maxwell-Gauss M: div= 3ε 0 Cette équation relie le champ électrique à ses sources. Sa forme intégrale est :
div dτ =d. =τ =
Ce résultat qui exprime que le flux du champ électrique à travers toute surface fermée est égal à la somme des charges intérieures surεest connu sous le nom de théorème de Gauss. Il montre que le 0 champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le théorème de Gauss », issu dune équation indépendante du temps est donc vrai en régime permanent comme en régime variable.
-1 La constanteε0, appeléepermittivité du videsexprime en F.met vaut :ε0=
- Equation de Maxwell-Ampère M4: =µ(+ε0)0
-1 F.m
Cette équation relie le champ magnétique à ses sources et au champ électrique. Sa forme intégrale est : . =. =µ0 .+µ0ε0.
En régime stationnaire, nous retrouvons le théorème dAmpère qui montre que le champtourne autour des courants. Le terme supplémentaire enindique quun champ électrique variable est source de champ magnétique. -1-7 -1 La constanteµ0, appeléeperméabilité du videet vaut :sexprime en H.m µ0= 4πH.m. 10 Nous verrons par la suite que les constantes µ0etε0ne sont pas indépendantes .
Rq.1équations couplent bien Cesne peuvent être, dans le cas général, calculéset qui indépendamment l'un de l'autre. 4 0( ) soit,e Rq.2 En prenant divM , on obtientdiv +ε0 nintervertissant les dérivationsdiv = ∂ρ par rapport au temps et à l'espace, et en utilisant M: div+ =0. Léquation de conservation de 3 ∂t la charge est bien satisfaite ! - 17 -
Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell181.1.2.Linéarité des équations La linéarité des équations de Maxwell est fondamentale : elle permet daffirmer que si une distribution de charges et de courants D1le champ ( crée1,1) et une distribution D2champ le (2,2), la superposition des distributions D1et D2crée le champ ((1+2,1+2). 2.CONTINUITES ET DISCONTINUITES DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE Le modèle limite des distributions surfaciques de charges et de courants entraîne des discontinuités des champset àla traversée de telles distributions. Les équations de Maxwell permettent de déterminer ces discontinuités : n 12
Ces relations font apparaître la possibilité d'unediscontinuité de la composante normale deet la continuité de la composante tangentielle de.Elles font également apparaître la possiblediscontinuité des composantes tangentielles de etla continuité de la composante normale de. Il est important de bien comprendre que les discontinuités des champs disparaissent pour des distributions volumiques de charges et de courants : cest le modèle surfacique qui les provoque. 3.CHAMPS ET POTENTIELS 3.1.Existence de potentiels associés aux champs M impliquequ'il existe un vecteur, appelé potentiel-vecteur= ,puisque tout, tel que 1 champ de vecteurs à divergence nulle dérive d'un rotationnel. En reprenant M, on a alors : 2 = -= -
D'où (+ )= - 18 -
Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell19Or, tout champ de vecteurs à rotationnel nul dérivant d'un gradient, il existe donc un scalaire V, appelé potentiel, tel que la parenthèse puisse s'écrire : + =- V le signe - étant ici purement conventionnel. Au couple (, ),on vient donc d'associer un couple (,V) de potentiels reliés aux champs par :
= -V -; =Notons dès à présent que le lien entreet estle même en régie variable et en régime permanent, puisquil est directement issu de div= 0, ce qui nest pas le cas de. Nous exploiterons plus loin cette remarque. Remarque,V) possibles.: Pour un couple (, )donné, on a en fait une infinité de couples ( Supposons en effet qu'on en ait trouvé un noté (,V )et soitφ(M,t) une fonction scalaire 0 0 quelconque. Si l'on écrit= +φ, on a encore, il suffit= .Pour obtenir le même 0 de définir un nouveau potentiel V tel que : - V- =- V0-
∂φ ce qui donne V = V+ .On peut construire ainsi une infinité de couples de potentiels donnant 0 ∂t les mêmes champs. Cette indétermination des potentiels ne pose pas de réels problèmes puisquelle ne remet pas en cause lunicité des champset pourune distribution de charges et courants donnée. Notons quil existe un moyen de lever au moins partiellement cette indétermination en imposant une relation supplémentaire entre, ce qui constitue un choix de jauge ». 4.LAPPROXIMATION DES REGIMES QUASI-STATIONNAIRES (ARQS)
Les équations de Maxwell et les champs qui en découlent pourront être étudiés dans 3 grands types de circonstances: -Le cas le plus général correspondant aux régimes variables,où les 4 équations sécrivent dans leur forme complète : div =0 =- div= =µ0( +ε0)
- 19 -
Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell20-Le cas particulier des régimes permanents, où toute dépendance vis à vis du temps disparaît. Les 4 équations prennent alors la formesimplifiée mais exacte: div =0 =div ==µ0-Le cas intermédiaire des régimes quasi-stationnaires, encore appeléApproxiamtion des RégimesQuasiStationnaires (ARQS) où les 4 équations prennent une formeapprochée, et que nous allons définir à présent : Des 4 équations de Maxwell, seule la dernière fait intervenir une somme de deux termes: +ε0. Il est alors légitime denvisager une situation ou lun ou lautre de ces deux termes serait négligeable devant lautre. Encore faut-il quils existent tous deux, cest-à-dire en fait que le courant soit non nul (ce qui exclut le cas du vide par exemple). En revanche, dans un conducteur parcouru par un courant, nous pouvons dégager un ordre de grandeur de ces deux termes. Dans un conducteur ohmique en effet, nous pourrons écrire=γ .En régime variable, le terme ε0, pour un champvariant sinusoïdalement et écrit en notation complexe, sécrit :ε0jω. La comparaison des deux termes nous conduit donc à évaluer le rapport :. Pour un bon conducteur comme le cuivre, ce rapport ne devient de lordre de 1 que pour des 17 fréquences gigantesques (de lordre de 10Hz) où la loi dOhm ne peut même plus être écrite ! En tout état de cause, dans un conducteur, et pour des fréquences usuelles »,le termeε0 pourratoujours être négligé devant le courant de conduction. LARQS consiste donc tout simplement à garder les 3 premières équations de Maxwell dans le cas général età ne garder dans la quatrième que lecourant : Les équations de Maxwell de lARQS sont : ρ = -div = ε0 =µ0 div= 0 Le cadre de lARQS est celui des régimes lentement » variables : Les équations relatives àet qui permettent de le calculer, indépendamment de, sont les mêmes quen régime permanent : Un champ magnétique se calcule de la même façon en régime permanent et dans lARQS. En revanche, le champ électrique de lARQS diffère du champ électrique permanent. En particulier, dans lARQS, il est faux décrire =- V. En outre, dans l'ARQS, on aura encore div= 0 (on le voit facilement en prenant divM), c'est à 4 dire que l'intensité du courant, dans un circuit filiforme par exemple, pourra cette fois dépendre du temps (régime non permanent) mais aura encore même valeur à chaque instant en tout point du circuit. - 20 -
