Cours de Probabilités et Modélisation Stochastique au format pdf

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Niveau: Supérieur, Master
Annee universitaire 2008-2009 UNIVERSITE DE NANCY 1 Olivier GARET Probabilites et Modelisation Stochastique (Master 1ere annee semestre 1)

exercices sur les sommes de variables independantes

processus gaussiens stationnaires

exercices sur les chaınes de markov

theoreme de convergence de doob

exercices sur les martingales

convergence des martingales de carre integrable

matrices stochastiques

rappels sur la convergence en loi

Voir

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Annee universitaire 2008-2009
UNIVERSITE DE NANCY 1
Olivier GARET
Probabilites et Modelisation Stochastique
(Master 1ere annee semestre 1)2Table des matieres
Table des matieres i
1 Sommes de variables aleatoires independantes 1
1.1 Theoremes de Lindeberg et Lyapounov . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Theoreme de Lindeberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Condition de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sommes et series de variables aleatoires independantes . . . . 5
1.2.1 Loi zero-un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Une inegalite maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Lien entre les modes de convergence . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Criteres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2Convergence L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Theoreme des trois series . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Exercices sur les sommes de variables independantes . . . . . . 10
2 Vecteurs gaussiens 13
2.1 Quelques rappels sur la matrice de covariance . . . . . . . . . 13
2.2 Image ane d'un vecteur gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Lois et independance . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Lois a densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Fonction caracteristique des vecteurs gaussiens . . . . . . . . . 19
2.8 Theoreme de la limite centrale en dimension d . . . . . . . . . 19
2.9 Exercices sur les vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Esperance conditionnelle 23
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Inegalite de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii TABLE DES MATIERES
3.2.3 Esperance conditionnelle sachant une variable (ou un
vecteur) aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Exercices sur l'esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 33
4 Martingales 37
4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Premieres inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Martingales et fonctions convexes . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Inegalite de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Convergence des martingales de carre integrable . . . . . . . . 40
4.4 Temps d'arr^ets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.5 Convergence L des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Theoreme des traversees montantes . . . . . . . . . . . 45
4.5.2 Le theoreme de convergence de Doob . . . . . . . . . . 47
4.6 Decomposition de Doob (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Exercices sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Loi d'un processus 53
5.1 Loi d'un processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Theoreme d'existence de Kolmogorov (admis) . . . . . . . . . 55
5.3 Processus reels stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Pro gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.1 Caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 Condition d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.3 Processus gaussiens stationnaires . . . . . . . . . . . . 60
5.5 Exercices sur les processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Cha^nes de Markov 63
6.1 Dynamique markovienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Matrice stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.1 Existence des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . 65
6.2.2 Puissances des matrices stochastiques . . . . . . . . . . 66
6.2.3 Graphe associe a une matrice stochastique . . . . . . . 66
6.3 Propriete de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Exercices sur les cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Recurrence et mesures invariantes 77
7.1 Temps d'arr^et et propriete de Markov forte . . . . . . . . . . . 77
7.2 Classication des etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Theoreme de la probabilite stationnaire . . . . . . . . . . . . . 84TABLE DES MATIERES iii
7.5 Theoreme ergodique des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . 87
7.6 Retour a la classication des etats (*) . . . . . . . . . . . . . . 92
7.7 Exercices sur la recurrence et les mesures invariantes . . . . . 94
A Theoreme de Levy 99
A.1 Rappels sur la convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.2 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.3 Theoremes de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B Indications 107
B.1 Exercices sur les sommes de variables independantes . . . . . . 107
B.2 sur les vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.3 Exercices sur l'esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 109
B.4 sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B.5 Exercices sur les processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.6 sur les cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.7 Exercices sur la recurrence et les mesures invariantes . . . . . 114
C Probleme 117iv TABLE DES MATIERESChapitre 1
Sommes de variables aleatoires
independantes
1.1 Theoremes de Lindeberg et Lyapounov
1.1.1 Theoreme de Lindeberg
Theoreme 1. Soit (X ) des variables aleatoires centrees admettantn;k n;k1
un moment d'ordre 2, (N ) un suite d'entiers tendant vers l'in

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