Cours de Probabilités Approfondies au format pdf
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Annee universitaire 2004-2005 UNIVERSITE D'ORLEANS Olivier GARET Probabilites Approfondies (Master 1ere annee semestre 2)
- existence des chaınes de markov
- loi µ
- processus gaussiens stationnaires
- theoreme de levy
- convergence des martingales de carre integrable
- rappels sur la convergence en loi
Ann´ee universitaire 2004-2005
´ ´UNIVERSITE D’ORLEANS
Olivier GARET
Probabilit´es Approfondies
(Master 1`ere ann´ee semestre 2)2Table des mati`eres
Table des mati`eres i
1 Th´eor`eme de Levy 1
1.1 Rappels sur la convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Th´eor`emes de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Martingales 9
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Premi`eres in´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Martingales et fonctions convexes . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 In´egalit´e de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Convergence des martingales de carr´e int´egrable . . . . . . . . 12
2.4 Temps d’arrˆets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
12.5 Convergence L des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.1 Th´eor`eme des travers´ees montantes . . . . . . . . . . . 17
2.5.2 Le th´eor`eme de convergence de Doob . . . . . . . . . . 18
2.6 D´ecomposition de Doob (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Loi d’un processus 25
3.1 Loi d’un processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Th´eor`eme d’existence de Kolmogorov (admis) . . . . . . . . . 27
3.3 Processus r´eels stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Pro gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Condition d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.3 Processus gaussiens stationnaires . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i`ii TABLE DES MATIERES
4 Chaˆınes de Markov 35
4.1 Dynamique markovienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Matrice stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Existence des chaˆınes de Markov . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Puissances des matrices stochastiques . . . . . . . . . . 37
4.3 Graphe associ´e `a une matrice stochastique . . . . . . . . . . . 38
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 R´ecurrence et mesures invariantes 45
5.1 Temps d’arrˆet et propri´et´e de Markov forte . . . . . . . . . . . 45
5.2 Classification des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Th´eor`eme de la probabilit´e stationnaire . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Th´eor`eme ergodique des chaˆınes de Markov . . . . . . . . . . 53
5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Chapitre 1
Th´eor`eme de Levy
1.1 Rappels sur la convergence en loi
dOn dit qu’une suite (μ ) de mesures de probabilit´es surR convergen n≥1
faiblement vers la mesure de probabilit´e μ lorsque pour toute fonction f
dcontinue born´ee deR dansR, on a
lim f dμ = f dμ.n
d dn→+∞ R R
Par extension, on dit qu’une suite de variables al´eatoires X converge enn
loi vers la variable al´eatoire X (ou vers la loi μ) si la suite de mesures PXn
converge faiblement vers P (ou vers la loi μ).X
Ainsi, dire que X converge en loi vers X signifie que pour toute fonctionn
continue born´ee,Ef(X ) converge versEf(X).n
Rappel : si μ et ν sont deux mesures telles que pour toute fonction f
dcontinue born´ee deR dansR, on a df dμ = df dν, alors μ=ν.R R
On rappelle deux th´eor`emes tr`es utiles dont la preuve peut ˆetre trouv´ee
dans le cours de licence.
Th´eor`eme1(Th´eor`emeduporte-manteau). Lespropositionssuivantes
sont ´equivalentes
1. μ converge faiblement vers μ.n
d2. Pour toute fonction f uniform´ement continue born´ee deR dansR, on
a
lim f dμ = f dμ.n
d dn→+∞ R R
3. Pour tout ferm´e F, μ(F)≥ μ (F).lim n
n→+∞
1
RRZZZZ´ `2 CHAPITRE 1. THEOREME DE LEVY
4. Pour tout ouvert O, μ(O)≤ lim μ (O).n
n→+∞
5. Pour tout bor´elien A dont la fronti`ere ∂A v´erifie μ(∂A) = 0, on a
lim μ (A)=μ(A).n
n→+∞
d dTh´eor`eme2. Siunesuite(μ ) demesuresdeprobabilit´essur(R ,B(R ))n n≥1
dest telle que pour toute fonction f continue positive `a support compact deR
dansR, on a
lim f dμ = f dμ,n
d dn→+∞ R R
alors μ converge faiblement vers μ.n
Th´eor`eme 1. Soit X une suite de variables al´eatoires r´eelles, X une autren
variable al´eatoire. Alors X converge en loi vers X si et seulement si pourn
tout point x ou` F est continue, F (x) tend vers F(x) lorsque n tend versX Xn
l’infini.
1.2 Tension
dD´efinition: On dit qu’une familleM de mesures de probabilit´es surR est
dtendue si pour tout ε > 0, il existe un compact K deR tel que pour tout
cμ∈M, on a μ(K )≤ε.
dExemple: Une famille constitu´e d’une unique mesure μ surR est tendue.
cD´emonstration. Consid´ererlasuited’ensembleA =B(0,n):LasuiteA estn n
d´ecroissanteetsonintersectionest?,doncd’apr`esleth´eor`emedecontinuit´e
c ds´equentielle d´ecroisante μ(A ) tend vers μ(R ), ce qui montre que bien quen
cpour n assez grand μ(A ) ne d´epasse pas ε.n
Lemme 1. La r´eunion de deux familles tendues est une famille tendue.
D´emonstration. SoitM etN deux familles tendues. Soit ε>0. CommeM
cest tendue, il existe un compact K tel que ∀μ ∈ Mμ(K ) ≤ ε. De mˆeme,1 1
cil existe un compact K tel que∀μ∈Nμ(K )≤ ε. Maintenant, si l’on pose1 2
K =K ∪K , K est compact et il est facile de voir que1 2
c∀μ∈M∪Nμ(K )≤ε.
AinsiM∪N.
dCorollaire 1. Toute famille finie de mesures surR est tendue.
ZZ1.2. TENSION 3
Le lemme suivant peut ´egalement ˆetre utile
Lemme 2. Pour k entre 1 et d et x on note π (x) la k-i`eme composante dek
dx. Soit M une famille de mesures surR . M est tendue si et seulement si
−1pour tout k entre 1 et d la famille π M est tendue.k
D´emonstration. – Supposons que M est tendue. Soit k entre 1 et d et
ε>0. Il existe un compact K tel que pour tout μ∈M μ(K)≥1−ε.
Alors, il est clair que π K est compact est que pour tout μ∈M, on ak
−1 dπ μ(π K)=μ(x∈R :π (x)∈π K)≥μ(K)≥1−ε.k k kk
−1– R´eciproquement, supposons que pi M est tendue. Soit ε > 0. Pourk
tout k entre 1 et d il existe un compact K tel que pour tout μ∈Md
−1 cπ μ(K ) ≥ 1− ε/d. Posons K = K × K × ...K . On a K =k 1 2 dk
−1d c∪ π (K ), donci=1 k k
d
c −1 cμ(K ) ≤ μ(π (K ))k k
i=1
d
−1 c= π μ(K )k k
i=1
d
≤ ε/d
i=1
≤ ε
D´efinition: On dit qu’une famille M de mesures de probabilit´es est rela-
tivement compacte si et seulement toute suite d’´el´ements de M admet une
sous-suite convergente.
Th´eor`eme 2 (Th´eor`eme de Prohorov). Toute famille tendue est relati-
vement compacte.
Afin de ne pas se perdre dans des d´etails techniques, on va donner la
preuve uniquement dans le cas ou` d = 1. On va s’appuyer sur le lemme
suivant
Lemme 3 (Th´eor`eme de Helly). De toute suite (F ) de fonctionsn n≥1
de r´epartition on peut extraire une sous-suite (F ) telle qu’il existe unen k≥1k
fonction F croissante continue `a droite avec
F (x)→F(x)nk
en chaque point de continuit´e de F.
XXX´ `4 CHAPITRE 1. THEOREME DE LEVY
`D´emonstration. Al’aideduproc´ed´ediagonald’extraction,oncommencepar
extraireunesuite(n ) tellequeF (x)convergeentoutpointxrationnel.k k≥1 nk
OnnoteG(x)lalimiteobtenue.C’estunefonctioncroissante.Ond´efinitalors
F(x)=inf{G(r);r∈Q∩]x,+∞[}.
IlestencoreclairqueF estcroissante.MontronsqueF estcontinue`adroite.
Soit x∈R et ε> 0. Par d´efinition de F, il existe r >x, avec r rationnel tel
que G(r)<F(x)+ε. Maintenant, on a
∀y∈[x,r[ F(x)≤F(y)≤G(r)<F(x)+ε,
ce qui montre bien que F est continue `a droite. Reste `a montrer que Fnk
converge vers F en chaque point de continuit´e de F. Soit x un point de
continuit´e de x et ε > 0. On peut trouver η tel que |F(x)−F(y)| ≤ ε en
tout y de [x−η,x+η]. Comme Q est dense dans R, on peut trouver des
rationnels r et s tels que x−η≤r≤s≤x+η. On a pour tout k≥1 :
F (r)≤F (x).n nk k
On en d´eduit
F(r)= lim F (r)= lim F (r)≤ lim F (x),n n nk k k
k→+∞ k→+∞ k→+∞
ce qui implique que pout tout ε>0
F(x)−ε≤ lim F (x).nk
k→+∞
On en d´eduit finalement que
F(x)≤ lim F (x).nk
k→+∞
De la mˆeme mani`ere, on montre que
lim F (x)≤F(x).nk
k→+∞
Finalement, on a
F(x)≤ lim F (x)≤ F (x)≤F(x),limn nk k
k→+∞ k→+∞
ce qui montre bien que
lim F (x)=F(x).nk
k→+∞1.2. TENSION 5
On peut maintenant prouver le th´eor`eme de Prohorov.
D´emonstration. Soit μ une suite form´ees de mesures appartenant `a unen
famille M tendue. On note F la fonction de r´epartion de μ . D’apr`es len n
th´eor`eme de Helly, on peut trouver une suite strictement croissante n etk
une fonction continue `a droite croissante telle q
